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6.2.1　向量的加法运算
【课标要求】　1.理解并掌握向量加法的概念.2.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加法运算及运算法则，并理解向量加法的几何意义.3.了解向量加法的交换律和结合律．
【导学】
学习目标一　向量加法的定义及其运算法则
　师问：(1)某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？
(2)如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力F1与F2的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗？由此你能给出向量加法的另一个法则吗？
例1 (1)如图，已知向量a，b，求作a＋b.
(2)如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
利用加法法则求和向量的策略
跟踪训练1　如图，已知下列各组向量a，b，求作a＋b.
　　
学习目标二　向量加法的运算律及其应用
师问：(1)请你根据向量加法的三角形法则和平行四边形法则，探索|a＋b|与|a|，|b|之间的关系？
(2)实数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律与结合律呢？你能证明自己的猜想吗？
例2 化简：
(1)；
(2)；
(3).
总结：运用向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量，加快解题速度．
跟踪训练2　在正六边形ABCDEF中，＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
学习目标三　向量加法的实际应用
例3 如图所示，在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
利用向量的加法解决实际应用题的一般步骤
跟踪训练3　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，若船沿垂直水流的方向航行，则船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为________．
【导练】
1．化简＝(　　)
A．0 B．
C．0 D．
2．正方形ABCD的边长为1，则＝(　　)
A．1 B．
C．3 D．2
3．已知＝10，＝7，则的取值范围是(　　)
A．[3，17] B．(3，17)
C．(3，10) D．[3，10]
4．若向量a表示向东走1千米，b表示向南走1千米，则向量a＋b表示__________________．
【导思】
已知P为△ABC所在平面内一点，当成立时，点P位于(　　)
A．△ABC的AB边上
B．△ABC的BC边上
C．△ABC的内部
D．△ABC的外部
6．2　平面向量的运算
6．2.1　向量的加法运算
导　学
学习目标一　生答：(1)这个质点两次位移的结果，与从点A直接到点C的位移的结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即 可以算作与的和．
(2)F＝F1＋F2；平行四边形法则．
例1　解析：(1)将a的起点移至b的终点，应用三角形法则可得a＋b，如图．
(2)
三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图：
①在平面内任取一点O，作＝a，＝b；
②作平行四边形AOBC，则＝a＋b；
③再作向量＝c；
④作平行四边形CODE，则＝＋c＝a＋b＋c，因此即为所求．
跟踪训练1　解析：(1)将b的起点移至a的终点，即可得a＋b，如图：
(2)将b的起点移至a的终点，即可得a＋b，如图：
(3)以a，b所表示的有向线段为邻边作平行四边形，应用平行四边形法则可得a＋b，如图：
学习目标二　生答：(1)①当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b方向不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.②当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.③当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且 |a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.
(2)也满足交换律和结合律．
证明：如图，
满足图①a＋b＝b＋a，图②(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
例2　解析：(1)＝＝.
(2)＝＝＝.
(3)＝＝0.
跟踪训练2　解析：依题意，＝＝.
故选C.
答案：C
学习目标三　
例3　解析：设分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和是＝.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)．
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝ ＝＝800 (km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°，从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
跟踪训练3　解析：
如图，作平行四边形ABDC，则＝v实际，设船实际航向与岸方向的夹角为α，则tan α＝＝＝2，即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.
答案：2
导　练
1．解析：＝.故选B.
答案：B
2．解析：在正方形ABCD中，如图所示，
根据向量加法的平行四边形法则，＝，又因为正方形ABCD的边长为1，所以||＝||＝＝，故选B.
答案：B
3．解析：∵||－||≤||≤||＋||，∴3≤||≤17，当且仅当与共线时等号成立，故选A.
答案：A
4．解析：若向量a表示向东走1千米，b表示向南走1千米，则向量a＋b表示的方向为东南方向，大小为的向量，即a＋b表示沿东南方向走 千米．
答案：沿东南方向走 千米
导　思
解析：
＝，如图，根据平行四边形法则，可知点P在△ABC的外部．故选D.
答案：D

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