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滚动习题(九)
1.C　[解析] 函数y=ln x的零点为方程ln x=0的根,可得x=1.故选C.
2.C　[解析] 易知f(x)在R上单调递增,∵f(-2)=e-2-2-2<0,f(-1)=e-1-1-2<0,f(0)=e0+0-2<0,f(1)=e+1-2>0,∴f(1)f(0)<0,∴零点所在的一个区间是(0,1).
3.A　[解析] 函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,由零点存在定理知,当f(a)·f(b)<0时,函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点,充分性成立;当函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点时,f(a)·f(b)<0不一定成立,如函数y=x2在开区间(-1,1)内有零点x=0,但f(-1)·f(1)>0,必要性不成立.则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点”的充分且不必要条件.故选A.
4.D　[解析] 当x>0时,f(x)=3x-1有一个零点,为,因此,当x≤0时,f(x)=ex+a有一个零点.由ex+a=0(x≤0),得a=-ex(x≤0),所以函数y=-ex在(-∞,0]上的图象与直线y=a有一个交点,则-1≤a<0.故选D.
5.D　[解析] 由表中数据可知函数模型需满足:①在定义域内单调递减;②函数图象过点(0,W0).对于A,函数W=W0+0.5x单调递增,不符合条件;对于B,x=0时,W=0,则函数W=0.5W0x的图象不过点(0,W0),不符合条件;对于C,x=0时,W=0,则函数W=W0·log0.5(x+1)的图象不过点(0,W0),不符合条件;对于D,函数W=W0·(0.5)x满足上述条件,选项D正确.故选D.
6.D　[解析] 函数f(x)=ln|x|+8-x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当x<0时,f(x)=ln(-x)+8-x,显然函数y=ln(-x),y=8-x在(-∞,0)上都单调递减,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,又f(-e-9)=-1+e-9<0,f(-1)=9>0,所以函数f(x)在(-∞,0)上有唯一零点.当x>0时,f(x)=ln x+8-x,由f(x)=0,得ln x=x-8,则f(x)在(0,+∞)上的零点即为函数y=ln x的图象与直线y=x-8的交点横坐标,在同一坐标系内作出函数y=ln x的大致图象与直线y=x-8,如图所示,由图可知,函数y=ln x的图象与直线y=x-8有两个交点,即ln x=x-8有两个解.所以函数f(x)=ln|x|+8-x的零点个数为3.故选D.
7.ABD　[解析] 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上图象连续不断,并且f(a)·f(b)<0,A,B中的图象不存在函数值小于0的部分,D中函数图象不连续.故选ABD.
8.ABD　[解析] 因为当29.1　(-∞,0)∪(1,+∞)　[解析] 易知f(x)=2x-在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,且当x∈(-∞,0)时,f(x)>0恒成立.令f(x)=0,可得2x=,解得x=1,则函数f(x)的零点个数为1.f(x)>0即为2x>,可得x<0或x>1,即不等式的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).
10.　[解析] 令f(x)=2x3+3x-3,因为f(0)=-3<0,f(1)=2+3-3=2>0,所以第一次取区间(0,1)的中点x1==,又f=2×+3×-3=-<0,所以f·f(1)<0,所以第二次取区间的中点x2==.
11.(4,5)　[解析] 令|3x-1|=t,作出f(x)=|3x-1|的大致图象,如图所示.由图知,当t<0时,方程|3x-1|=t无解;当t=0或t≥1时,方程|3x-1|=t有1个解;当012.解:(1)图象如图所示.
(2)方程f(x)-k=0的实数解个数等价于函数y=f(x)与y=k图象的交点个数,
∴当解的个数为1时,k的取值范围为k<-4;
当解的个数为2时,k的取值范围为k=-4或k>-3;
当解的个数为3时,k的取值范围为-413.解:(1)选择模型y=nax(n>0,a>1),理由如下.
两个函数模型y=nax(n>0,a>1),y=p+n(p>0,n>0)在(0,+∞)上都单调递增.
随着x的增大,y=nax(n>0,a>1)的增长速度越来越快,符合题意;
而y=p+n(p>0,n>0)的增长速度越来越慢,不符合题意.
故函数模型y=nax(n>0,a>1)满足要求.
由题意知解得
所以y=·(x∈N).
(2)由·>240×,解得x>lo240,
又lo240==≈5.67,所以x≥6,即该水域中水葫芦生长的面积在7月份起是元旦开始研究时生长面积的240倍以上.
14.解:(1)因为f(-1)=-2=0,
所以f[f(-1)]=f(0)=log21=0.
(2)当x<0时,f(x)>2即为-2>2,
则2-x>4,可得x<-2;
当x≥0时,f(x)>2即为log2(x+1)>2=log24,
所以x+1>4,可得x>3.
故原不等式的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞).
(3)设f(x1)=f(x2)=t,由题意可知f(x)在(-∞,0)上单调递减且f(x)∈(-∞,-1),
在[0,+∞)上单调递增且f(x)∈[0,+∞),所以t≥0.
不妨设x1<0则-2=t,log2(x2+1)=t,可得x1=lo(t+2),x2=2t-1,
所以|x1-x2|=2t-1+log2(t+2)(t≥0),
易知h(t)=2t+log2(t+2)-1在[0,+∞)上单调递增,
所以h(t)min=h(0)=1,
即|x1-x2|的最小值为1.滚动习题(九)
(时间:45分钟　分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.函数y=ln x的零点是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(1,0) B.0
C.1 D.不存在
2.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是 (　 )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
3.函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点”的 (　 )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.已知函数f(x)=在R上有两个零点,则a的取值范围是 (　 )
A.(-∞,-1) B.(-∞,1)
C.(-1,0) D.[-1,0)
5.某研究性小组的同学为了研究活性炭对污水中某种污染物的吸附能力,设计了一种活性炭污水净化装置.污水中该种污染物的初始含量为W0(单位:mg/L),测得污水通过长度为x(单位:m)的净化装置后污染物的含量W如表:
x 0 1 2 3
W W0 0.5W0 0.2W0 0.125W0
以下关于W与x的函数模型中,与表格中数据吻合的是 (　 )
A.W=W0+0.5x
B.W=0.5W0x
C.W=W0·log0.5(x+1)
D.W=W0·(0.5)x
6.函数f(x)=ln|x|+8-x的零点个数为 (　 )
A.0 B.1
C.2 D.3
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.[2025·华南师大附中月考] 下列函数图象与x轴均有公共点,其中不能用二分法求零点的是 (　 )
8.已知函数f(x)=若方程f(x)=m有四个不等实根x1,x2,x3,x4,且x1A.x1x2=1
B.0C.x3+x4=6
D.x3+10m=4
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.函数f(x)=2x-的零点个数为　　　　,不等式f(x)>0的解集为　　　　　　　.
10.用二分法求方程2x3+3x-3=0在初始区间(0,1)内的近似解,则第二次取区间的中点x2=　　　　.
11.已知函数f(x)=|3x-1|,g(x)=4x2-ax+1.若方程g[f(x)]=0有4个不相同的实数根,则实数a的取值范围为　　　　.
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)已知函数f(x)=
(1)在如图所示的坐标系中画出函数f(x)的图象;
(2)求使方程f(x)-k=0的实数解个数分别为1,2,3时k的相应取值范围.
13.(15分)云南省昆明市某环保组织自2025年元旦开始监测滇池某水域中水葫芦生长面积的变化情况,并测得最初水葫芦的生长面积为n(单位:m2),此后每月月底测量一次.通过近一年的观察发现:自2025年元旦起,水葫芦在该水域中生长面积增长的速度越来越快.记2025年元旦最初测量时间x的值为0,部分测量数据如表.
第x月月底 2 3
水葫芦生长面积y(m2) 24 64
(1)水葫芦生长的面积y(单位:m2)与时间x(单位:月,x∈N)的关系有①y=nax(n>0,a>1);②y=p+n(p>0,n>0)两个函数模型可供选择,请你判断哪个函数模型更适合,说明理由,并求出该函数模型的解析式;
(2)根据(1)中选择的函数模型,求该水域中水葫芦生长的面积在几月份起是元旦开始研究时生长面积的240倍以上 (参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
14.(15分)[2025·江苏无锡一中高一期末] 已知函数f(x)=
(1)求f[f(-1)];
(2)解关于x的不等式f(x)>2;
(3)若存在x1,x2,使得f(x1)=f(x2),且x1≠x2,求|x1-x2|的最小值.(共31张PPT)
滚动习题（九）
范围
一、单项选择题（本大题共6小题,每小题5分,共30分）
1.函数 的零点是( )
A. B.0 C.1 D.不存在
[解析] 函数的零点为方程的根，可得 .故选C.
√
2.函数 的零点所在的一个区间是( )
A. B. C. D.
[解析] 易知在上单调递增，
,,
,,，
零点所在的一个区间是 .
√
3.函数在闭区间 上的图象是一条连续的曲线，则“
”是“函数在开区间 内至少有一个零点”
的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
[解析] 函数在闭区间 上的图象是一条连续的曲线，由
零点存在定理知，当时，函数在开区间
内至少有一个零点，充分性成立；
当函数在开区间 内至少有一个零点时，
不一定成立，如函数 在开区间内有零点，但
，必要性不成立.
则“”是“函数在开区间 内至少有一个零点”
的充分且不必要条件.故选A.
4.已知函数在上有两个零点，则 的取值范围
是( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，有一个零点，为,因此,当
时，有一个零点.
由 ，得，所以函数在
上的图象与直线 有一个交点，则 .故选D.
√
5.某研究性小组的同学为了研究活性炭对污水中某种污染物的吸附能
力，设计了一种活性炭污水净化装置.污水中该种污染物的初始含量
为（单位：），测得污水通过长度为（单位： ）的净化
装置后污染物的含量 如表：
0 1 2 3
以下关于与 的函数模型中，与表格中数据吻合的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由表中数据可知函数模型需满足：①在定义域内单调递减；
②函数图象过点.
对于A，函数 单调递增，不符合条件；
对于B，时，，则函数 的图象不过点，
不符合条件；
对于C，时， ，则函数的图象不过
点 ，不符合条件；
对于D，函数 满足上述条件，选项D正确.故选D.
6.函数 的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 函数 的定义域为，
当 时，，显然函数 ,
在上都单调递减，上单调递减，
又, ，
所以函数在上有唯一零点.
√
当 时，，由，得，
则 在上的零点即为函数 的图象与直线
的交点横坐标，在同一坐标系内作出函数
的大致图象与直线 ，如图所示，
由图可知，函数的图象与直线 有两个
交点，即有两个解.
所以函数 的零点个数为3.故选D.
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
7.[ 华南师大附中月考］下列函数图象与 轴均有公共点，其
中不能用二分法求零点的是( )
A. B. C. D.
[解析] 能用二分法求零点的函数必须在给定区间 上图象连续不
断，并且 ，A，B中的图象不存在函数值小于0的部分，
D中函数图象不连续.故选 .
√
√
√
8.已知函数若方程 有四个不等
实根，，，，且 ，则下列说法正确的是
( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 因为当 时，
，所以 的图象关于对称.
当时，
所以 .
所以作出 的图象（横、纵坐标
单位长度不同）与直线 ，如图所示.
由图可得 ，即，所以 ，所以 ，
故A正确；
因为方程 有四个不等实根，
所以 ，故B正确；
对于C，由题意可得函数的图象不关
于对称，所以 ，故C错误；
因为，关于 对称，所以，所以 ，
又因为,所以 ，所以，所以
，故D正确.故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
9.函数的零点个数为___,不等式 的解集为
__________________.
1
[解析] 易知在, 上单调递增,且当
时,恒成立.
令,可得,解得 ,则函数的零点个数为
即为,可得或 ,即不等式的解集为
.
10.用二分法求方程在初始区间 内的近似解，
则第二次取区间的中点 __.
[解析] 令，因为 ，
，所以第一次取区间 的中点
，
又 ，所以,
所以第二次取区间的中点 .
11.已知函数， .若方程
有4个不相同的实数根，则实数 的取值范围为______.
[解析] 令，作出 的大
致图象，如图所示.
由图知，当 时，方程无解；
当或 时，方程有1个解；
当 时，方程有2个解.
因为方程 有4个不相同的实数根，所
以方程在区间 上有2个不同实根，
则 解得
，所以实数的取值范围为 .
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
12.（13分）已知函数
（1）在如图所示的坐标系中画出函数 的图象;
解：图象如图所示.
12.（13分）已知函数
（2）求使方程 的实数解个数分别为1，2，3时 的相应
取值范围.
解：方程 的实数解个数等价于函
数与 图象的交点个数，
当解的个数为1时，的取值范围为 ;
当解的个数为2时，的取值范围为或 ;
当解的个数为3时，的取值范围为 .
13.（15分）云南省昆明市某环保组织自2025年元旦开始监测滇池某
水域中水葫芦生长面积的变化情况，并测得最初水葫芦的生长面积
为（单位： ），此后每月月底测量一次.通过近一年的观察发现：
自2025年元旦起，水葫芦在该水域中生长面积增长的速度越来越快.
记2025年元旦最初测量时间 的值为0，部分测量数据如表.
2 3
24 64
（1）水葫芦生长的面积（单位：）与时间（单位：月， ）
的关系有； 两
个函数模型可供选择，请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，
并求出该函数模型的解析式；
解：选择模型 ，理由如下.
两个函数模型, 在
上都单调递增.
随着的增大， 的增长速度越来越快，符合题意；
而 的增长速度越来越慢，不符合题意.
故函数模型 满足要求.
由题意知解得
所以 .
13.（15分）云南省昆明市某环保组织自2025年元旦开始监测滇池某
水域中水葫芦生长面积的变化情况，并测得最初水葫芦的生长面积
为（单位： ），此后每月月底测量一次.通过近一年的观察发现：
自2025年元旦起，水葫芦在该水域中生长面积增长的速度越来越快.
记2025年元旦最初测量时间 的值为0，部分测量数据如表.
2 3
24 64
（2）根据（1）中选择的函数模型，求该水域中水葫芦生长的面积
在几月份起是元旦开始研究时生长面积的240倍以上？（参考数据：
, ）
解：由，解得 ，
又，所以 ，即该水域中水
葫芦生长的面积在7月份起是元旦开始研究时生长面积的240倍以上.
14.（15分）［2025·江苏无锡一中高一期末］ 已知函数
（1）求 ；
解：因为 ，
所以 .
14.（15分）［2025·江苏无锡一中高一期末］ 已知函数
（2）解关于的不等式 ；
解：当时，即为 ，
则，可得 ；
当时，即为 ,
所以，可得 .
故原不等式的解集为 .
14.（15分）［2025·江苏无锡一中高一期末］ 已知函数
（3）若存在，，使得，且，求 的
最小值.
解：设,由题意可知在 上单调递减且
，
在上单调递增且，所以 .
不妨设 ，
则，，可得 ，
，
所以 ，
易知在 上单调递增，
所以 ，
即 的最小值为1.
快速核答案
1.C 2.C 3.A 4.D 5.D 6.D 7.ABD 8.ABD 9.1
10. 11.
12.（1）图略 （2）当解的个数为1时，的取值范围为;当解的个数为2时，
的取值范围为或; 当解的个数为3时，的取值范围为.
13.（1）选择模型，理由略.
（2）7月份
14.（1）（2）（3）1

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