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3.1 函数的概念与性质
3.1.3 函数的奇偶性
第1课时 函数的奇偶性
探究点一 函数奇偶性的判断
探究点二 奇函数、偶函数的图象及应用
探究点三 利用函数的奇偶性求值
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.结合具体函数了解函数奇偶性的概念和几何意义, 掌握函数奇
偶性的判断和证明方法;
2.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.
知识点 函数奇偶性的概念及图象特点
偶函数 奇函数
条件 结论
图象特点 关于_____对称 关于______对称
（1）奇偶性定义:如果一个函数是________或是________,则称这个
函数具有奇偶性.
轴
原点
偶函数
奇函数
（2）既不是奇函数也不是偶函数定义:设函数的定义域为 ,如果
存在,但,即函数 的定义域不关于原点对称，或对
任意的,都有,且存在,， ，
,则 既不是奇函数也不是偶函数.
【诊断分析】
（1）为什么奇、偶函数的定义域一定要关于原点对称
解：由定义知,若是定义域内的一个元素, 也一定是定义域内的一
个元素,所以函数具有奇偶性的一个必不可少的条件是定义域关于原
点对称.如果所给函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具
有奇偶性.
（2）对于定义在上的函数,若,则函数 一定是
偶函数吗
解：不一定.仅有 ,不足以确定函数的奇偶性,不满足定义
中的“任意”,故 不一定是偶函数.
（3）函数 是偶函数吗
解：是. 符合偶函数的定义.
（4）若函数的图象关于原点对称,则 的图象是否一
定过点
解：不一定.因为的定义域不一定包含 .
（5）有没有一个函数，既是奇函数又是偶函数？
解：有.如, ，既是奇函数又是偶函数.
探究点一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
解：因为的定义域是 ，
所以当时， .
因为 ，
所以 是奇函数.
（2） ；
解：因为，所以解得 ，
即函数的定义域为， ，
则 既是奇函数又是偶函数.
例1 判断下列函数的奇偶性：
（3） ；
解：因为的定义域为，所以当 时，
，又
，所以
为偶函数.
例1 判断下列函数的奇偶性：
（4） ；
解：的定义域为.
因为，且，所以 是非奇非偶函数.
例1 判断下列函数的奇偶性：
（5） ；
解：因为函数有意义，当且仅当
解得或 ，
所以函数的定义域为 ，关于原点对称，
所以，又 ，
所以函数 是奇函数.
例1 判断下列函数的奇偶性：
（6）
解：方法一：作出函数 的图象如图所示，因为
函数 的图象关于原点对称，所以函数是奇函数.
例1 判断下列函数的奇偶性：
方法二：当时，，此时 ，
所以 ，
所以 ；
当时，，此时 ，
，
所以 ；
当时，.
故对任意 ，总有，所以为 上的奇函数.
变式（1）设函数,的定义域为，且是奇函数， 是
偶函数，则下列结论中正确的是( )
A.是偶函数 B. 是奇函数
C.是奇函数 D. 是奇函数
√
[解析] 易知选项A，B，C，D中的函数的定义域均为.因为 是
奇函数，是偶函数，所以, .
对于A，，故 是奇函数，故A错误；
对于B，，故
是偶函数，故B错误；
对于C， ，故 是奇函数，
故C正确；
对于D，，故 是
偶函数，故D错误.故选C.
（2）判断下列函数的奇偶性：
①， ；
解：因为函数的定义域不关于原点对称，所以函数 ，
既不是奇函数也不是偶函数.
（2）判断下列函数的奇偶性：
② ；
解：依题意知函数的定义域为 ，
又 ，
所以函数 是偶函数.
③ ;
解：函数的定义域为且 ，不关于原点对
称，所以该函数是非奇非偶函数．
（2）判断下列函数的奇偶性：
④
解：的定义域关于原点对称.
当 时，,所以；
当时， ，所以.
所以 为奇函数.
（2）判断下列函数的奇偶性：
［素养小结］
判断函数奇偶性的方法：
（1）定义法：
（2）图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函
数的图象关于 轴对称，则函数为偶函数.此方法多用在解选择题和
填空题中.
注意：对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据 的取
值范围取相应的函数解析式.
探究点二 奇函数、偶函数的图象及应用
例2（1）已知函数 的图象如图所示，则
函数 的图象可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题图可得为偶函数，令 ，则
，所以 为奇函数，
排除C，D.
当 时,， ，排除B.故选A.
√
（2）已知函数是定义在上的偶函数，当 时，
.
①求函数 的解析式；
解：设，则， ，
是偶函数，，则， ，故
②作出函数的图象，并根据图象写出函数 的单调递增区间
和单调递减区间.
解： 的图象如图所示.
由图可知，的单调递增区间为
， ,
单调递减区间为， .
（2）已知函数是定义在上的偶函数，当 时，
.
变式（1）［2025·广东广州高一期末］函数 的图
象大致为( )
A. B. C. D.
[解析] 易知是偶函数，排除A,B；
当 时，，当时， ，排除C.故选D.
√
（2）已知是奇函数， 是偶函数，它们的定义域都
是，且它们在上的图象如图所示，则不等式
的解集为( )
A.或或
B.或或
C.或或
D.或或
√
[解析] 因为，所以 或
因为是奇函数，当
时，，当时， ，所以当
时，，当时， .
因为是偶函数，且当时，，
当 时，，
所以当时，，当 时，.
当时， 或；
当时， .
所以的解集为 或
或 . 故选A.
［素养小结］
巧用奇、偶函数的图象求解问题
（1）依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于轴
对称.
（2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较
大小及解不等式问题.
探究点三 利用函数的奇偶性求值
［探索］ ①若函数为奇函数，在区间上有最大值 ，则
其是否有最小值？若有，则最小值是多少？
②若函数是偶函数，且过点，则满足的 值有哪些？
解：①因为函数 为奇函数，其图象关于原点对称，所以其有最
大值，则一定有最小值，由对称性可知其最小值为 .
②因为偶函数的图象关于轴对称，所以函数的图象也过点 ，
所以满足的值至少有, .
例3（1）［2024·湖北十堰高一期中］已知函数 是
定义在区间上的奇函数，则 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
[解析] 函数是定义在区间 上的奇函数，
则，解得，则 的定义域为
，所以 ，则
，函数为奇函数，故 .故选C.
√
（2）已知函数若 为奇函数，且
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，，因为为
上的奇函数，所以 ，所以
，即 ，
所以或（舍去），因为，所以 .故选A.
√
变式（1）已知为奇函数，则 ( )
A.0 B.1 C. D.2
[解析] 由题意可知，不妨设 ，
则，所以 ，
则 .故选A.
√
（2）若函数是上的奇函数，则___， ___.
0
0
[解析] 因为是上的奇函数，所以，所以 ，
所以.因为，所以 ，
所以 .
［素养小结］
利用奇偶性求值的常见类型：
（1）求参数值：若解析式含参数，则根据或
列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参
数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.
（2）求函数值：利用或求解，有时需
要构造奇函数或偶函数以便于求值.
1.函数 是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数也是偶函数
[解析] 作出函数 的图象如图所示，因为
，所以函数 的图象不关于原点对
称，由图可知函数的图象不关于 轴对称，
故 为非奇非偶函数.故选C.
√
2.下列函数中是奇函数且图象经过坐标原点的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，显然当时， 没有意义，故A不符合题意；
对于B，设，则 ，所以该函数
是偶函数，故B不符合题意；
对于C，设 ，则，所以该函数
是奇函数，且 ，故C符合题意；
对于D，设，则 ，所以该函数是偶函
数，故D不符合题意.故选C.
√
3.已知偶函数 的部分图象如图所示，则
的值为( )
A. B.2 C.1 D.0
[解析] 由题得
.故
选B.
√
4.［2025·黑龙江哈尔滨高一期中］已知为 上的奇函数，当
时，，则当时， 的解析式为
( )
A. B.
C. D.
[解析] 为上的奇函数，当时， ，
当时， ，
则,
所以当 时， .故选C.
√
5.（多选题）已知是定义在 上的奇函数，则下列结论中一定正
确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由是定义在上的奇函数，得且 ，
因此，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
当时， ，此时无意义，故D错误.故选 .
√
√
1.理解函数的奇偶性要注意：
（1）函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”
性质，只有对其定义域内的每一个，都有 或
，才能说函数 是奇（或偶）函数；
（2）函数 是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义
域关于原点对称，换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，
则这个函数一定不具有奇偶性．例如，函数在区间
上是偶函数，但在区间 上却无奇偶性可言；
（3）若奇函数在原点处有定义，则必有 ；
（4）若，且，则 既是奇函数又是
偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即，， 是
关于原点对称的非空实数集.
2.复合函数的奇偶性：
①若是偶函数，则 ，而不是
;
②若是奇函数，则 ,而不是
;
③若函数是上的奇函数，则 .
3.判断函数的奇偶性常用定义法，还有图象法.
例1 已知则 为( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.不能确定奇偶性
√
[解析] 由题知，的定义域关于原点对称.
当时， ，
；
当 时，，
综上可知， 为奇函数.
本题也可以根据函数在不同连续定义域中的图象判断奇偶性，利用
函数图象判断奇偶性时，通常要结合函数本身的形式，如二次函数
会结合图象的开口方向及大小，对称轴等性质.
例2 已知函数，若实数， 满足
，则 ___.
4
[解析] 令，则的定义域为， ，
又，
所以 为奇函数，又，都在上单调递增，
所以在 上单调递增，又 ，
所以 ，
所以，则 ，
即 .
有些函数本身不是奇函数或偶函数，当加上一个常数后就成为奇函
数或偶函数.
例3 已知函数的定义域为 ，
，且当时， ，讨
论 的奇偶性.
解：令，则，得 .
令，得 ，
由整理可得 ，
将变换为，则 .
由得 ，
所以，故 是奇函数.
抽象函数的奇偶性通常会涉及赋值或令等变换，以寻求
和 之间的关系.
例4 （多选题）已知奇函数与偶函数的定义域均为 ，且在
区间 上都单调递增，则( )
A.
B.在区间 上单调递减
C.是奇函数，且在区间 上单调递增
D.是偶函数，且在区间 上单调递增
[解析] 对于A，因为为偶函数，偶函数图象关于 轴对称，所以
在轴两边单调性相反，又因为在区间 上单调递增，所以
,不异号，所以，故A正确；
√
√
对于B，因为 为奇函数，在区间上单调递增，所以在
上也单调递增，所以在上单调递减，又因为
为偶函数，且在区间上单调递增，所以在 上
单调递减，所以在区间 上单调递减，
故B正确；
对于C，令，因为为奇函数， 为偶函数，
所以, ，所以
，所以 为奇函数，令,，
满足题意，在 上单调递减，故C错误；
对于D，令，因为 为奇函数，为偶函数，所
以, ，所以
，所以为偶函数， ,且，因为在
区间 上单调递增，所以，而, 所在区间
无法确定，所以的正负号无法确
定，所以 在上的单调性不能确定，故D错误.故选 .
练习册
1.函数 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为的定义域为，且 ，
所以为偶函数，其图象关于 轴对称，故排除选项B，D；
当时， ，故排除选项C.故选A.
2.已知为偶函数，当时，，则当 时，
( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，，则 ，
又为偶函数，所以当时， ．故选D.
√
3.函数 的大致图象为( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，所
以函数为奇函数，故A选项错误；
当时， ，故C选项错误；
当时，，易知函数 在 上单调递
增，故B选项错误.故选D.
√
4.若是奇函数，则 ( )
A. B.7 C. D.9
[解析] 由 是奇函数，
得 .故选B.
√
5.已知函数为偶函数，当时， ，且
，则 ( )
A.2 B. C.4 D.
[解析] 因为函数为偶函数，且 ，
所以，
当时， ，则，解得 ，
故选A．
√
6.若函数是奇函数，函数 是偶函数，则
( )
A.函数是偶函数 B.函数 是奇函数
C.函数是偶函数 D.函数 是奇函数
[解析] 令， 函数 为奇函数，
， 函数为偶函数， ，
则 ，故函数
为奇函数，故A错误，B正确；
对于函数 ，取，，则
，此时函数 为非奇非偶函数，故C错误，D错误.
故选B.
√
7.（多选题）下列选项中结论正确的有( )
A.偶函数的图象一定与 轴相交
B.奇函数的图象一定过原点
C.偶函数的图象一定关于 轴对称
D.奇函数的图象一定关于原点对称
√
√
[解析] 偶函数的图象一定关于轴对称，但偶函数的图象不一定与
轴相交，如函数是偶函数，其图象与 轴不相交，故A错误，
C正确；
奇函数的图象一定关于原点对称，但奇函数的图象不一定过原点，
如函数 是奇函数，其图象不过原点，故B错误,D正确.故选 .
8.已知是奇函数，则实数 的值为____.
[解析] 易知的定义域为 ，由奇函数的定义可知，
，则 ，
整理得恒成立，所以，解得 .
9.已知函数， 是偶函数，则
___．
4
[解析] 因为函数， 是偶函数，
所以，解得，则 ，
又，所以 ，
整理得，则，即，所以 .
10.（13分）判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
解：函数的定义域是 ，不关于原点对称，
所以 既不是奇函数也不是偶函数.
（2） ；
解：函数的定义域为, ，关于原点对称，
，所以 既是奇函数也是偶函数．
（3）
10.（13分）判断下列函数的奇偶性：
解：对于 其定义域为
，关于原点对称.
当时， ，
则 ；
当时， ，
则 .
综上，对于任意，都有，所以
是偶函数.
11.“”是“函数 为奇函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 若，则 ，所以
，故充分性成立；
若函数为奇函数，则，
即 ，所以恒成立，则，
故必要性不成立.
故“ ”是“函数 为奇函数”的充分不必要条件. 故选A.
12.已知函数是奇函数，且 ，
，则 ___.
2
[解析] 由题知，即，可得 ，
又，所以.因为，所以 ，所以
，解得，所以或，所以或 ，
又，所以，，，所以 .
13.已知奇函数在 上的图象如图所示，
则不等式 的解集为________________.
[解析] 由奇函数的性质可得当时
的图象，如图所示.
当时， ，不等式不成立；
当时, 等价于,根据的图象可得;
当时， 等价于,则.
综上，不等式 的解集为 .
14.（13分）已知是定义在上的奇函数，当 时，
.
（1）求函数在 上的解析式；
解：设,则,所以 ,
又为奇函数,所以,
因为是定义在 上的奇函数,所以,
所以
（2）在给出的直角坐标系中作出的图象，并写出函数 的单
调区间.
解：作出函数的图象,如图所示，函数 的单调递增区间为
,,单调递减区间为 .
15.［2025· 河南洛阳高一期中］已知函数是定义在 上的
图象连续不间断的奇函数，且, ，若
，则 的值域是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由,，可知 ，
又因为为奇函数，且连续不断，所以，则 ，
又，所以，
由奇函数的性质可知当 时，，
且，，
所以 的值域为 .故选B.
16.（15分）（1）已知函数对任意,，都有
，求并证明在 上是奇函数；
解：由题知函数的定义域为 .
由对任意,都有 ，
令，则，所以 .
下面证明在上为奇函数：由 ，
令，则，即，
所以在 上是奇函数.
（2）已知的定义域为,且对任意实数, ,恒有
,求证: 是偶函数.
证明:在中,令,得 ,
则.
令,得,则 ，
则,
又的定义域为 ，所以 是偶函数.
快速核答案（导学案）
课前预习
知识点 轴 原点 偶函数 奇函数 【诊断分析】 （1）略 （2）不一定 （3）是（4）不一定（5）有
课中探究 探究点一 例1 （1）奇函数（2）既是奇函数又是偶函数（3）偶函数（4）非奇非偶函数（5）奇函数 （6）奇函数 变式 （1）C
（2）①既不是奇函数也不是偶函数 ②非奇非偶函数 ④奇函数
探究点二 例2 （1）A （2）① ②单调递增区间为，,单调递减区间为， 变式 （1）D （2）A 探究点三［探索］其最小值为的值至少有,
例3 （1）C （2）A 变式 （1）A （2）0 0
课堂评价 1.C 2.C 3.B 4.C 5.AC
备用习题 例1 A 例2 4 例3 奇函数 例4 AB
快速核答案（练习册）
基础巩固
1.A 2.D 3.D 4.B 5.A 6.B 7.CD 8. 9.4
10.（1）既不是奇函数也不是偶函数 （2）m>既是奇函数也是偶函数 （3）偶函数
综合提升
11.A 12.2 13.
14.（1）（2）单调递增区间为,,单调递减
区间为
思维探索
15.B 16.（1）奇函数（2）证明略3.1.3　函数的奇偶性
第1课时　函数的奇偶性
1.A　[解析] 因为f(x)的定义域为R,且f(-x)===f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除选项B,D;当x>0时,f(x)>0,故排除选项C.故选A.
2.D　[解析] 当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x,又f(x)为偶函数,所以当x<0时,f(x)=f(-x)=x2-x.故选D.
3.D　[解析] 由f(x)=,得f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,故A选项错误;当x>0时,f(x)=≥0,故C选项错误;当x>1时,f(x)==x-,易知函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,故B选项错误.故选D.
4.B　[解析] 由f(x)=是奇函数,得h(2)=f(2)=-f(-2)=-[(-2)3+1]=7.故选B.
5.A　[解析] 因为函数f(x)为偶函数,且f(-1)=4,所以f(1)=f(-1)=4,当x>0时,f(x)=2x2+,则f(1)=2+m=4,解得m=2,故选A.
6.B　[解析] 令F(x)=f(x)·g(x),∵函数f(x)(x∈R)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∵函数g(x)(x∈R)为偶函数,∴g(-x)=g(x),则F(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-F(x),故函数f(x)·g(x)为奇函数,故A错误,B正确;对于函数y=f(x)+g(x),取f(x)=x,g(x)=x2,则f(x)+g(x)=x+x2,此时函数f(x)+g(x)为非奇非偶函数,故C错误,D错误.故选B.
7.CD　[解析] 偶函数的图象一定关于y轴对称,但偶函数的图象不一定与y轴相交,如函数y=是偶函数,其图象与y轴不相交,故A错误,C正确;奇函数的图象一定关于原点对称,但奇函数的图象不一定过原点,如函数y=是奇函数,其图象不过原点,故B错误,D正确.故选CD.
8.-3　[解析] 易知f(x)的定义域为R,由奇函数的定义可知,f(-x)=-f(x),则=-,整理得2(a+3)x2=0恒成立,所以2(a+3)=0,解得a=-3.
9.4　[解析] 因为函数f(x)=ax2+(b-3)x+3,x∈[a-2,a]是偶函数,所以a-2+a=0,解得a=1,则f(x)=x2+(b-3)x+3,又f(x)=f(-x),所以x2+(b-3)x+3=(-x)2-(b-3)x+3,整理得(b-3)x=0,则b-3=0,即b=3,所以a+b=4.
10.解:(1)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,f(-1)=f(1)=0,所以f(x)既是奇函数也是偶函数.
(3) 对于f(x)=其定义域为(-6,-1]∪[1,6),关于原点对称.
当x∈(-6,-1]时,-x∈[1,6),
则f(-x)=(-x-5)2-4=(x+5)2-4=f(x);
当x∈[1,6)时,-x∈(-6,-1],
则f(-x)=(-x+5)2-4=(x-5)2-4=f(x).
综上,对于任意x∈(-6,-1]∪[1,6),都有f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.
11.A　[解析] 若k=1,则f(x)=,所以f(-x)===-f(x),故充分性成立;若函数f(x)=为奇函数,则f(-x)=-f(x),即=-,所以=恒成立,则k=±1,故必要性不成立.故“k=1”是“函数f(x)=为奇函数”的充分不必要条件. 故选A.
12.2　[解析] 由题知f(-x)+f(x)=0,即+=0,可得c=0,又f(1)=2,所以a+1=2b.因为f(2)<3,所以<3,所以<3,解得-113.(-2,-1)∪(1,2)
[解析] 由奇函数的性质可得当x<0时f(x)的图象,如图所示.当x=0时,xf(x)=0,不等式不成立;当x>0时,xf(x)<0等价于f(x)<0,根据f(x)的图象可得x∈(1,2);当x<0时,xf(x)<0等价于f(x)>0,则x∈(-2,-1).综上,不等式xf(x)<0的解集为(-2,-1)∪(1,2).
14.解:(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,又f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2-2x,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(x)=
(2)作出函数f(x)的图象,如图所示,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1],[1,+∞),单调递减区间为(-1,1).
15.B　[解析] 由{y|y=f(x),x∈[0,a]}=[m,M],可知m16.解:(1)由题知函数f(x)的定义域为R.
由对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),
令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0.
下面证明f(x)在R上为奇函数:由f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),所以f(x)在R上是奇函数.
(2)证明:在f(xy)=f(x)+f(y)中,令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),则f(1)=0.令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1),则f(-1)=0,则f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x),又f(x)的定义域为R,所以f(x)是偶函数.3.1.3　函数的奇偶性
第1课时　函数的奇偶性
1.函数f(x)=的图象大致为 (　 )
A B C D
2.已知f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=x2+x,则当x<0时,f(x)= (　 )
A.-x2+x B.-x2-x
C.x2+x D.x2-x
3.函数f(x)=的大致图象为 (　 )
A B C D
4.若f(x)=是奇函数,则h(2)= (　 )
A.-7 B.7 C.-9 D.9
5.已知函数f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=2x2+,且f(-1)=4,则m= (　 )
A.2 B.-2 C.4 D.-6
6.若函数f(x)(x∈R)是奇函数,函数g(x)(x∈R)是偶函数,则 (　 )
A.函数f(x)·g(x)是偶函数
B.函数f(x)·g(x)是奇函数
C.函数f(x)+g(x)是偶函数
D.函数f(x)+g(x)是奇函数
7.(多选题)下列选项中结论正确的有 (　 )
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.奇函数的图象一定过原点
C.偶函数的图象一定关于y轴对称
D.奇函数的图象一定关于原点对称
8.已知f(x)=是奇函数,则实数a的值为　　　　.
9.已知函数f(x)=ax2+(b-3)x+3,x∈[a-2,a]是偶函数,则a+b= 　　　　.
10.(13分)判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=+;
(3)f(x)=
11.“k=1”是“函数f(x)=为奇函数”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.已知函数f(x)=是奇函数(a,b,c∈Z),且f(1)=2,f(2)<3,则a+b+c=　　　　.
13.已知奇函数y=f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示,则不等式xf(x)<0的解集为　　　　　　.
14.(13分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.
(1)求函数f(x)在R上的解析式;
(2)在给出的直角坐标系中作出f(x)的图象,并写出函数f(x)的单调区间.
15.[2025·河南洛阳高一期中] 已知函数f(x)是定义在[-a,a]上的图象连续不间断的奇函数,且{y|y=f(x),x∈[0,a]}=[m,M],若M≥-m,则f(x)的值域是 (　 )
A.[m,M] B.[-M,M]
C.[m,-m] D.[-M,-m]
16.(15分)(1)已知函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),求f(0)并证明f(x)在R上是奇函数;
(2)已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y,恒有f(xy)=f(x)+f(y),求证:f(x)是偶函数.3.1.3　函数的奇偶性
第1课时　函数的奇偶性
【课前预习】
知识点
y轴　原点　(1)偶函数　奇函数
诊断分析
解:(1)由定义知,若x是定义域内的一个元素,-x也一定是定义域内的一个元素,所以函数具有奇偶性的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称.如果所给函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.
(2)不一定.仅有f(-2)=f(2),不足以确定函数的奇偶性,不满足定义中的“任意”,故f(x)不一定是偶函数.
(3)是.f(x)=c(c≠0)符合偶函数的定义.
(4)不一定.因为f(x)的定义域不一定包含{0}.
(5)有.如f(x)=0(x∈[-a,a],a>0),既是奇函数又是偶函数.
【课中探究】
例1　解:(1)因为f(x)=x-的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),所以当x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).因为f(-x)=(-x)-=-x+=-=-f(x),所以f(x)=x-是奇函数.
(2)因为f(x)=+,所以解得x=±2,即函数的定义域为,f(-2)=f(2)=0,
则f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)因为 f(x)=|x-1|+|x+1|的定义域为R,所以当x∈R时,-x∈R,又f(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f(x),所以f(x)为偶函数.
(4)f(x)的定义域为R.f(x)==
因为f(x)≠f(-x),且f(-x)≠-f(x),所以f(x)是非奇非偶函数.
(5)因为函数f(x)=有意义,当且仅当解得-1≤x<0或0所以函数f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,所以f(x)=,又f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.
(6)方法一:作出函数f(x)的图象如图所示,因为函数f(x)的图象关于原点对称,所以函数是奇函数.
方法二:当x>0时,f(x)=1-x2,此时-x<0,所以f(-x)=(-x)2-1=x2-1,所以f(-x)=-f(x);
当x<0时,f(x)=x2-1,此时-x>0,
f(-x)=1-(-x)2=1-x2,所以f(-x)=-f(x);
当x=0时,f(-0)=-f(0)=0.故对任意x∈R,总有f(-x)=-f(x),所以f(x)为R上的奇函数.
变式　(1)C　[解析] 易知选项A,B,C,D中的函数的定义域均为R.因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).对于A,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,故A错误;对于B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;对于C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;对于D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C.
(2)解:①因为函数的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)=x3+3x,x∈[-4,4)既不是奇函数也不是偶函数.
②依题意知函数f(x)=的定义域为{x|x≠0},
又f(-x)===f(x),所以函数f(x)=是偶函数.
③函数f(x)=的定义域为{x|x∈R且x≠1},不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数.
④f(x)=的定义域关于原点对称.当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-x(1+x)=-f(x);当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-x(1-x)=-f(x).所以f(x)为奇函数.
例2　(1)A　[解析] 由题图可得f(x)为偶函数,令g(x)=xf(x),则g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x),所以g(x)=xf(x)为奇函数,排除C,D.当x→+∞时,f(x)>0,g(x)=xf(x)>0,排除B.故选A.
(2)解:①设x>0,则-x<0,∴f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2+2x,
∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),则f(x)=-x2+2x,x>0,故f(x)=
f(x)的图象如图所示.
由图可知,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(0,1),
单调递减区间为(-1,0),(1,+∞).
变式　(1)D　(2)A　[解析] (1)易知f(x)=x2(x2-1)是偶函数,排除A,B;当01时,f(x)>0,排除C.故选D.
(2)因为f(x)g(x)>0,所以或因为y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)>0,当x∈(2,3)时,f(x)<0,所以当x∈(-2,0)时,f(x)<0,当x∈(-3,-2)时,f(x)>0.因为y=g(x)是偶函数,且当x∈(0,1)时,g(x)<0,当x∈(1,3)时,g(x)>0,所以当x∈(-1,0)时,g(x)<0,当 x∈(-3,-1)时,g(x)>0.当时,-30的解集为{x|-3探索 解:①因为函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,所以其有最大值,则一定有最小值,由对称性可知其最小值为-m.②因为偶函数的图象关于y轴对称,所以函数f(x)的图象也过点(-a,b),所以满足f(x)=b的x值至少有-a,a.
例3　(1)C　(2)A　[解析] (1)函数f(x)=x3+x+m是定义在区间[-2-n,2n]上的奇函数,则-2-n+2n=0,解得n=2,则f(x)的定义域为[-4,4],f(0)=m=0,所以f(x)=x3+x,则f(-x)=-x3-x=-f(x),函数f(x)为奇函数,故m+n=2.故选C.
(2)当a<0时,f(a)=g(a)=0,因为f(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,所以f(a)=-f(-a),所以g(a)=-f(-a)=-2a4+a2+3=0,即(a2+1)(2a2-3)=0,所以a2=或a2=-1(舍去),因为a<0,所以a=-.故选A.
变式　(1)A　(2)0　0　[解析] (1)由题意可知f(-x)=-f(x),不妨设x>0,则a(-x)3+(-x)2=-(x3-x2),所以a=1,则f(a)=f(1)=1-1=0.故选A.
(2)因为f(x)是[-1,1]上的奇函数,所以f(0)=0,所以a=0,所以f(x)=.因为f(-1)=-f(1),所以=-,所以b=0.
【课堂评价】
1.C　[解析] 作出函数f(x)的图象如图所示,因为f(0)=-3,所以函数f(x)的图象不关于原点对称,由图可知函数f(x)的图象不关于y轴对称,故f(x)为非奇非偶函数.故选C.
2.C　[解析] 对于A,显然当x=0时,没有意义,故A不符合题意;对于B,设f(x)=x2,则f(-x)=(-x)2=x2=f(x),所以该函数是偶函数,故B不符合题意;对于C,设g(x)=x,则-g(-x)=-(-x)=x=g(x),所以该函数是奇函数,且g(0)=0,故C符合题意;对于D,设h(x)=|x|,则h(-x)=|-x|=h(x),所以该函数是偶函数,故D不符合题意.故选C.
3.B　[解析] 由题得f(-2)+f(-1)=f(2)+f(1)=+=2.故选B.
4.C　[解析] f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x3+2x+1,当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)3+2(-x)+1=-x3-2x+1=-f(x),所以当x<0时,f(x)=x3+2x-1.故选C.
5.AC　[解析] 由f(x)是定义在R上的奇函数,得f(-x)=-f(x)且f(0)=0,因此f(-x)+f(x)=0,故A正确;f(-x)-f(x)=-2f(x),故B错误;f(-x)·f(x)=-[f(x)]2≤0,故C正确;当x=0时,f(0)=0,此时无意义,故D错误.故选AC.3.1.3　函数的奇偶性
第1课时　函数的奇偶性
【学习目标】
1.结合具体函数了解函数奇偶性的概念和几何意义, 掌握函数奇偶性的判断和证明方法;
2.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.
◆ 知识点　函数奇偶性的概念及图象特点
偶函数 奇函数
条件 设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D
结论 f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x)
图象特点 关于　　　　对称 关于　　　　对称
(1)奇偶性定义:如果一个函数是　　　　　或是　　　　　,则称这个函数具有奇偶性.
(2)既不是奇函数也不是偶函数定义:设函数f(x)的定义域为D,如果存在x0∈D,但-x0 D,即函数f(x)的定义域不关于原点对称,或对任意的x∈D,都有-x∈D,且存在x1,x2∈D,f(-x1)≠-f(x1),f(-x2)≠f(x2),则f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
【诊断分析】 (1)为什么奇、偶函数的定义域一定要关于原点对称
(2)对于定义在R上的函数f(x),若f(-2)=f(2),则函数f(x)一定是偶函数吗
(3)函数f(x)=c(c≠0)是偶函数吗
(4)若函数y=f(x)的图象关于原点对称,则y=f(x)的图象是否一定过点(0,0)
(5)有没有一个函数,既是奇函数又是偶函数
◆ 探究点一　函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x-;
(2)f(x)=+;
(3)f(x)=|x-1|+|x+1|;
(4)f(x)=;
(5)f(x)=;
(6)f(x)=
变式 (1)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 (　 )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
(2)判断下列函数的奇偶性:
①f(x)=x3+3x,x∈[-4,4);
②f(x)=;
③f(x)=;
④f(x)=
[素养小结]
判断函数奇偶性的方法:
(1)定义法:
(2)图象法:若函数的图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数的图象关于y轴对称,则函数为偶函数.此方法多用在解选择题和填空题中.
注意:对于分段函数奇偶性的判断,应分段讨论,要注意根据x的取值范围取相应的函数解析式.
◆ 探究点二　奇函数、偶函数的图象及应用
例2 (1)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=xf(x)的图象可能是 (　 )
A B C D
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=-x2-2x.
①求函数f(x)的解析式;
②作出函数f(x)的图象,并根据图象写出函数f(x)的单调递增区间和单调递减区间.
变式 (1)[2025·广东广州高一期末] 函数f(x)=x2(x2-1)的图象大致为 (　 )
A B C D
(2)已知y=f(x)是奇函数,y=g(x)是偶函数,它们的定义域都是[-3,3],且它们在[0,3]上的图象如图所示,则不等式f(x)g(x)>0的解集为 (　 )
A.{x|-3B.{x|-2C.{x|-3D.{x|-3[素养小结]
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据:奇函数 图象关于原点对称,偶函数 图象关于y轴对称.
(2)求解:根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.
◆ 探究点三　利用函数的奇偶性求值
[探索] ①若函数f(x)为奇函数,在区间[-a,a]上有最大值m,则其是否有最小值 若有,则最小值是多少
②若函数f(x)是偶函数,且过点(a,b),则满足f(x)=b的x值有哪些
例3 (1)[2024·湖北十堰高一期中] 已知函数f(x)=x3+x+m是定义在区间[-2-n,2n]上的奇函数,则m+n= (　 )
A.0 B.1 C.2 D.4
(2)已知函数f(x)=若f(x)为奇函数,且g(a)=0(a<0),则a= (　 )
A.- B.- C.± D.-1
变式 (1)已知f(x)=为奇函数,则f(a)= (　 )
A.0 B.1 C.-1 D.2
(2)若函数f(x)=是[-1,1]上的奇函数,则a=　　　　,b=　　　　.
[素养小结]
利用奇偶性求值的常见类型:
(1)求参数值:若解析式含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解;若定义域含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点和为0求参数.
(2)求函数值:利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解,有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
1.函数f(x)=是 (　 )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数也是偶函数
2.下列函数中是奇函数且图象经过坐标原点的是 (　 )
A.y= B.y=x2
C.y=x D.y=
3.已知偶函数f(x)的部分图象如图所示,则f(-2)+f(-1)的值为 (　 )
A.-2 B.2
C.1 D.0
4.[2025·黑龙江哈尔滨高一期中] 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x3+2x+1,则当x<0时,f(x)的解析式为 (　 )
A.f(x)=-x3-2x-1
B.f(x)=-x3-2x+1
C.f(x)=x3+2x-1
D.f(x)=-x3+2x+1
5.(多选题)已知f(x)是定义在R上的奇函数,则下列结论中一定正确的是 (　 )
A.f(-x)+f(x)=0
B.f(-x)-f(x)=2f(x)
C.f(-x)·f(x)≤0
D.=-1

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