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(共64张PPT)
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第1课时 函数的零点
探究点一 求函数的零点
探究点二 判断函数零点的个数
◆
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
课堂评价
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.会结合函数的图象,判断方程实根的存在性及实根的个数；
2.能够从函数观点认识函数的零点与方程根的关系.
知识点一 函数的零点
一般地，如果函数在实数 处的函数值等于____，
即___________，则称 为函数 的零点.
零
【诊断分析】
（1）函数的“零点”是一个点吗？
解：不是，函数的“零点”是一个数，实际上是函数 的图象与
轴交点的横坐标.
（2）函数有零点吗？函数 呢？
解：函数的零点是0，函数 没有零点.
知识点二 函数的零点、方程的根、函数图象与 轴的交点
函数的零点就是方程 的________，也就是函数
的图象与轴的______________，即方程 有实数根
函数的图象与___________ 函数 ________.
实数根
交点的横坐标
轴有交点
有零点
探究点一 求函数的零点
例1（1）（多选题）下列函数有零点的是( )
A. B. C. D.
[解析] 函数 的零点有无数多个，故A符合题意;
函数对任意不能满足方程，
因此函数 没有零点;
有解，所以函数有零点;
有解，所以函数有零点.故选 .
√
√
√
（2）函数 的零点组成的集合是_________.
,3,
[解析] 函数的零点即方程 的实数根.
由，解得或 ，
故函数的零点组成的集合为，3， .
（3）若函数 有一个零点3，则函数
的零点是_______.
和0
[解析] 因为的零点是3，所以，即 ，
即，所以 ，
所以方程的两个根为和0，即函数的零点是 和0.
变式（1）函数 的零点是__________.
，0，4
[解析] 令，则，
解得或 或.
故函数的零点是 ,0,4.
（2）若函数有一个零点是1，则 ___.
6
[解析] 有一个零点为1，
则 ，
即，所以，故 .
［素养小结］
（1）求函数的零点就是求方程的解，求解时注意函数
的定义域;
（2）已知是函数的零点，则必有.
探究点二 判断函数零点的个数
例2（1）若函数只有一个零点，则实数 的取
值集合为_ _______________．
[解析] ①当，即时，函数为 ，显然该函数
的图象与轴只有一个交点，即函数只有一个零点．
②当 ，即时，函数是二次函数．
函数只有一个零点， 关于 的方程
有两个相等的实数根， ，
解得.
综上所述，实数的取值集合是 ．
（2）函数 的零点的个数是___.
2
[解析] 对于方程，因为 ，
所以方程有2个实数根，即函数 有2个零点.
变式 ［2025·辽宁抚顺高一期中］ 已知函数
若函数有三个零点，则
的取值范围为______.
[解析] 函数 有三个零点，
即与的图象有三个交点.
当 时，
，
当时， 在上有最大值4.
画出函数 的图象，如图所示，由图可知， .
［素养小结］
确定函数零点个数的方法:
（1）分解因式法:可转化为一元次方程根的个数问题,一般采用分解
因式法来解决.
（2）判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题,通常用判别式
法来解决.
（3）图象法:能够将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交
点个数问题,可用图象法解决.
（4）单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函
数,则零点只有一个.
拓展 定义域和值域均为（常数）的函数 和
的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.函数有且仅有3个零点 B.函数 有且仅有3个零点
C.函数有且仅有9个零点 D.函数 有且仅有9个零点
√
[解析] 对于选项A，函数的图象与 轴有3个交点，
则由可得有3个可能的取值，
又在 上单调递减，
所以方程 有且仅有3个根，故选项A正确；
对于选项B，由题图得函数为减函数，
则由方程 可得有1个可能的取值
且，则方程 有且仅有2个
根,故选项B错误；
对于选项C，函数的图象与 轴有3个交点，
则方程有3个根,,，
，
则方程,, 分别有
3，3，1个根，所以方程 有且仅有7个根，
故选项C错误；
对于选项D，由题图得函数为减函数，
则由方程可得 有且仅有1个
可能的取值，则方程 有且仅有1个根，
故选项D错误.故选A.
1.［2025·上海杨浦区高一期中］函数 的零点个数是
( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 令，即，解得 ，所以函数
有且仅有一个零点1.故选B.
√
2.函数则函数 的零点是( )
A.1 B. C.1， D.1，
[解析] 当时，由，得，即 ，
解得（舍去）或；
当时，由，得 ，解得（舍去）.
所以函数 的零点是1.故选A.
√
3.已知，若是函数 的一个零点，则
的值为( )
A.2 B.5 C. D.
[解析] 由是函数的一个零点，得 ，
即，令，
解得 ，，故 .故选B.
√
4.若关于的方程 有4个互不相等的实数根，则实数
的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 令 ，则方程有4个
互不相等的实数根，即函数 的图象与直线
有四个不同交点.由 得
为偶函数，其函数图象关于 轴对称.
当时，，当
时， ，作出函数的图象与直线，
如图所示.由图可知，当函数 的图象与直线有四个不同交点
时， .故选A.
5.若函数有2个零点，则 的取值范围是________.
[解析] 由已知得，所以，
故 的取值范围是 .
对于方程的解的个数问题，通常将其转化为对应函数图象与 轴的交
点或与为常数 的交点问题，再利用对应函数的单调性，最
值等性质判断交点个数.
例1 ［2025· 湖南衡阳高一期末］已知方程 恰有
4个解，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方程 恰有4个解，则函数 恰有4个零点，等价于 与 的图象有四个交点.
对于函数 ，显然为偶函数，
不妨令，则，
且当 时，，
当时， ，
函数在上单调递减，在 上单调递增，
作出 的大致图象，如图所示，
因为与 的图象有四个交点，所以
或 .故选B.
例2 ［2025·辽宁朝阳高一期末］函数 有___个零点
2
[解析] 令，则 ，
在同一坐标系中作出与 的图象，
如图所示，
由图知与 的图象有2个交点，即
函数 有2个零点.
练习册
1.函数 的零点是( )
A. B.0 C. D.1
[解析] 令，则，解得，即函数的零点是 .故
选C.
√
2.下列图象表示的函数中，没有零点的是( )
A. B. C. D.
[解析] 函数的零点就是函数的图象与 轴的交点的横坐标，而A选项
中的图象与 轴没有交点，所以A选项中的图象表示的函数没有零点.
故选A.
√
3.若函数 有一个零点为2，则函数
的零点是( )
A.0， B.0， C.0,2 D.2，
[解析] 因为，，所以， .
令，得或 .故选A.
√
★4.若 则函数
的零点个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 函数的零点即为方程 的根．
当时，方程 ，
即为，解得或 ，因为
，所以；
当 时，方程，即为，则 ，
符合题意．
综上，函数的零点为 和1．故选B.
√
［易错点］ 与分段函数有关的方程问题，一定要在各段区间之内分
别求解.
5.［2025· 江苏南通高一期中］已知分段函数
则函数 的零点的个数是
( )
A.4 B.3 C.2 D.1
√
[解析] 函数
令 ，得或
由解得 或；
由解得.
所以函数 有3个零点.故选B.
6.若方程有四个不相等的实根，则实数 的取值范
围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，
作出函数 的图象（如图），则由
图象可知，要使方程 有四个
不相等的实根，则 .
√
7.（多选题）下列说法中正确的是( )
A.，的零点为
B.，的零点为
C.函数的零点即为的图象与 轴的交点
D.函数的零点即为的图象与 轴交点的横坐标
[解析] 根据函数零点的定义可知，， 的零点
为，函数的零点即为的图象与轴交点的横坐标.故选 .
√
√
8.［2025·江西上饶高一期末］函数 的零点为
______.
3,
[解析] 由得或 ，
则或或.
由得或 ，所以不合题意，
故函数的零点为3, .
9.［2025·河北衡水高一期中］如图，网格纸
上的小正方形的边长均为1，一次函数 的
图象不仅平分正方形 的面积，也平分矩
形的面积，则 __________，函数
的零点为_____.
[解析] 由图可知正方形 的对称中心的坐
标为，矩形 的对称中心的坐标为
，如图，当且仅当一次函数 的图象
经过这两个对称中心时，正方形 与矩形
的面积能被 的图象平分.
设 ，则
解得所以 .
由 ，解得，
故函数的零点为 .
10.（13分）求下列函数的零点：
（1） ;
解：解方程，得，所以的零点为 .
（2） ;
解：解方程，得或或 或
，所以函数的零点为0,1，， .
（3）
解：令,则当时，可得,解得 ，满足题
意；当时，可得 ，此方程无解.
故函数的零点为 .
10.（13分）求下列函数的零点：
11.已知函数若方程 有四个
不同的实数根，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设，则直线
恒过点.方程 有四个不
同的实数根,则的图象与直线
有四个不同的交点.作出函数 的图象，
如图，由图得，所以直线
与曲线,有两个不同的公共点，所以关于 的
方程在 上有两个不等实根.
解得，所以实数 的取值范围是 .故选D.
令 ，则
12.（多选题）［2025·湖北武汉高一期中］ 已知函数
关于的方程 ，下列判断中正确
的是( )
A.当时，方程 有3个不同的实数根
B.方程 至少有2个不同的实数根
C.若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为
D.若方程有3个不同的实数根,,，则
的取值范围为
√
√
√
[解析] 方程 的根的问题可以转换成
直线和 的图象的交点问题，如图.
对于A，由图可知，当时， 的图
象与直线有3个交点，则方程
有3个不同的实数根，故A正确；
对于B，当 时，由图知的图象与直线 无交点，则方
程无解，故B错误；
对于C，由图可知和的图象有3个交点时，的取值范围为
，故C正确；
对于D，不妨设 ，
结合图象可知, ，
所以，故D正确.故选 .
13.已知符号函数则函数 的
所有零点构成的集合为__________.
[解析] 当时，函数,令 ,
得,即当时，函数的零点是；
当 时，函数,此时函数的零点是0；
当 时，函数,令,得,
即当时，函数 的零点是.
综上可得，函数 的所有零点构成的集合为 .
14.（13分）已知函数， ，若方程
有两个不相等的实根，求实数 的取值范围.
解：画出函数 的图象，如图所示.
若方程 有两个不相等的实根，
则函数， 的图象有两个不同的交点，
由图可知且 .
故实数的取值范围是 .
15.已知函数 若互不相等的实数
，，满足，则 的取值范围
为_________.
[解析] 当时， ，
函数单调递减，此时；
当时， ，
函数单调递增，此时；
当时， ，
函数单调递减，此时 .
作出函数， 的图象，如图所示.
不妨设 ，，则 ，
当时，令，得 ；
令，得 .
所以 ，
又函数为偶函数，
所以 ，又，
所以 .
16.（15分）已知是定义域为的奇函数，当
时， .
（1）写出函数 的解析式；
解：当时， ，
是奇函数，
，
（2）若方程恰有3个不同的解，求实数 的取值范围.
解：当时，，最小值为 ；
当时， ，最大值为1.
作出函数 的图象，如图所示，根据图
象得，若方程 恰有3个不同的解，则
实数的取值范围是 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 零 【诊断分析】 （1）不是
（2）函数的零点是0，函数没有零点
知识点二 实数根 交点的横坐标 轴有交点 有零点
课中探究 探究点一 例1 （1）ACD （2）,3, （3）和0
变式 （1），0，4 （2）6
探究点二 例2 （1） （2）2 变式 拓展 A
课堂评价 1.B 2.A 3.B 4.A 5.
备用习题 例1 B 例2 2
快速核答案（练习册）
基础巩固
1.C 2.A 3.A 4.B 5.B 6.C 7.BD 8.3, 9.
10.（1） （2）0,1，，（3）
综合提升
11.D 12.ACD 13. 14.
思维探索
15. 16.（1）（2） .3.2　函数与方程、不等式之间的关系
第1课时　函数的零点
【课前预习】
知识点一
零　f(α)=0
诊断分析
解:(1)不是,函数的“零点”是一个数,实际上是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
(2)函数y=x2的零点是0,函数y=x2(x∈[1,2])没有零点.
知识点二
实数根　交点的横坐标　x轴有交点　有零点
【课中探究】
例1　(1)ACD　(2){0,3,-3}　(3)-1和0　[解析] (1)函数f(x)=0的零点有无数多个,故A符合题意;函数f(x)=2对任意x∈R不能满足方程f(x)=0,因此函数f(x)=2没有零点;x2-1=0有解,所以函数f(x)=x2-1有零点;x-=0有解,所以函数f(x)=x-有零点.故选ACD.
(2)函数y=x3-9x的零点即方程x3-9x=0的实数根.由x3-9x=x(x+3)(x-3)=0,解得x=0或x=±3,故函数y=x3-9x的零点组成的集合为{0,3,-3}.
(3)因为f(x)=ax-b的零点是3,所以f(3)=0,即3a-b=0,即b=3a,所以g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1),所以方程g(x)=0的两个根为-1和0,即函数g(x)的零点是-1和0.
变式　(1)-2,0,4　(2)6　[解析] (1)令f(x)=0,则x(x+2)(x-4)=0,解得x=0或x=-2或x=4.故函数f(x)的零点是-2,0,4.
(2)f(x)=2x-ax+3有一个零点为1,则2×1-a×1+3=0,即a=5,所以f(x)=2x-5x+3=-3x+3,故f(-1)=6.
例2　(1)　(2)2　[解析] (1)①当a-1=0,即a=1时,函数为y=x+2,显然该函数的图象与x轴只有一个交点,即函数只有一个零点.②当a-1≠0,即a≠1时,函数y=(a-1)x2+x+2是二次函数.∵函数y=(a-1)x2+x+2只有一个零点,∴关于x的方程(a-1)x2+x+2=0有两个相等的实数根,∴Δ=1-8(a-1)=0,解得a=.综上所述,实数a的取值集合是.
(2)对于方程x2+x-b2=0,因为Δ=12+4b2>0,所以方程有2个实数根,即函数f(x)有2个零点.
变式　(0,4)　[解析] 函数g(x)=f(x)-m有三个零点,即y=f(x)与y=m的图象有三个交点.当x≥0时,f(x)=-x(x-4)=-x2+4x=-(x-2)2+4,当x=2时,f(x)=-x(x-4)在[0,+∞)上有最大值4.画出函数y=f(x)的图象,如图所示,由图可知,m∈(0,4).
拓展　A　[解析] 对于选项A,函数y=f(x)的图象与x轴有3个交点,则由f[g(x)]=0可得g(x)有3个可能的取值,又y=g(x)在[-a,a]上单调递减,所以方程f[g(x)]=0有且仅有3个根,故选项A正确;对于选项B,由题图得函数y=g(x)为减函数,则由方程g[f(x)]=0可得f(x)有1个可能的取值且0【课堂评价】
1.B　[解析] 令f(x)=0,即x2-=0,解得x=1,所以函数f(x)=x2-有且仅有一个零点1.故选B.
2.A　[解析] 当x>0时,由f(x)-2x=0,得=x,即x2=1,解得x=-1(舍去)或x=1;当x≤0时,由f(x)-2x=0,得4x=1,解得x=(舍去).所以函数y=f(x)-2x的零点是1.故选A.
3.B　[解析] 由a是函数y=f(x)-4的一个零点,得f(a)-4=0,即f(a)=4.∵f(2x+1)=3x-2,令3x-2=4,解得x=2,∴f(5)=4,故a=5.故选B.
4.A　[解析] 令f(x)=x2-6|x|+5,则方程有4个互不相等的实数根,即函数f(x)的图象与直线y=a有四个不同交点.由f(x)=f(-x)得f(x)为偶函数,其函数图象关于y轴对称.当x≥0时,f(x)=x2-6x+5,当x<0时,f(x)=x2+6x+5,作出函数y=f(x)的图象与直线y=a,如图所示.由图可知,当函数f(x)的图象与直线y=a有四个不同交点时,a∈(-4,5).故选A.
5.(-∞,1)　[解析] 由已知得Δ=4-4a>0,所以a<1,故a的取值范围是(-∞,1).3.2　函数与方程、不等式之间的关系
第1课时　函数的零点
1.函数y=1+的零点是 (　 )
A.(-1,0) B.0
C.-1 D.1
2.下列图象表示的函数中,没有零点的是 (　 )
A　B　C　D
3.若函数f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点为2,则函数g(x)=bx2-ax的零点是 (　 )
A.0,- B.0,
C.0,2 D.2,-
★4.若f(x)=
则函数g(x)=f(x)-x的零点个数是 (　 )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.[2025·江苏南通高一期中] 已知分段函数f(x)=则函数y=f(x)-1的零点的个数是 (　 )
A.4 B.3 C.2 D.1
6.若方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(4,+∞) B.(0,+∞)
C.(0,4) D.(2,4)
7.(多选题)下列说法中正确的是 (　 )
A.f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为(-1,0)
B.f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1
C.函数f(x)的零点即为f(x)的图象与x轴的交点
D.函数f(x)的零点即为f(x)的图象与x轴交点的横坐标
8.[2025·江西上饶高一期末] 函数f(x)=x的零点为　　　　.
9.[2025·河北衡水高一期中] 如图,网格纸上的小正方形的边长均为1,一次函数f(x)的图象不仅平分正方形ABCD的面积,也平分矩形EFGH的面积,则f(x)=　　　　,函数y=f[f(x)]的零点为　　　　.
10.(13分)求下列函数的零点:
(1)f(x)=2x+3;
(2)g(x)=x2(1-x)3(x2-2);
(3)F(x)=
11.已知函数f(x)=若方程f(x)=a(x+3)有四个不同的实数根,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(-∞,4-2)
B.(4-2,4+2)
C.(0,4-2]
D.(0,4-2)
12.(多选题)[2025·湖北武汉高一期中] 已知函数f(x)=关于x的方程f(x)-k=0,下列判断中正确的是 (　 )
A.当k=1时,方程f(x)-k=0有3个不同的实数根
B.方程f(x)-k=0至少有2个不同的实数根
C.若方程f(x)-k=0有3个不同的实数根,则k的取值范围为(0,1]
D.若方程f(x)-k=0有3个不同的实数根x1,x2,x3,则x1+x2+x3的取值范围为[-1,+∞)
13.已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(x)-2x的所有零点构成的集合为　　　　.
14.(13分)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,求实数k的取值范围.
15.已知函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3满足 f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围为　　　　.
16.(15分)已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x.
(1)写出函数y=f(x)的解析式;
(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求实数a的取值范围.3.2　函数与方程、不等式之间的关系
第1课时　函数的零点
1.C　[解析] 令y=0,则1+=0,解得x=-1,即函数的零点是-1.故选C.
2.A　[解析] 函数的零点就是函数的图象与x轴的交点的横坐标,而A选项中的图象与x轴没有交点,所以A选项中的图象表示的函数没有零点.故选A.
3.A　[解析] 因为a≠0,2a+b=0,所以b≠0,=-.令bx2-ax=0,得x=0或x==-.故选A.
4.B　[解析] 函数g(x)=f(x)-x的零点即为方程f(x)-x=0的根.当x∈(-∞,-1]∪[2,+∞)时,方程f(x)-x=0,即为x2-2x-1=0,解得x=1+或x=1-,因为1- (-∞,-1]∪[2,+∞),所以x=1+;当x∈(-1,2)时,方程f(x)-x=0,即为1-x=0,则x=1,符合题意.综上,函数g(x)的零点为1+和1.故选B.
[易错点] 与分段函数有关的方程问题,一定要在各段区间之内分别求解.
5.B　[解析] 函数f(x)=令f(x)=1,得或由解得x=0或x=-2;由解得x=2.所以函数y=f(x)-1有3个零点.故选B.
6.C　[解析] 由|x2-4x|-a=0,得a=|x2-4x|,作出函数y=|x2-4x|的图象(如图),则由图象可知,要使方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则07.BD　[解析] 根据函数零点的定义可知,f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1,函数f(x)的零点即为f(x)的图象与x轴交点的横坐标.故选BD.
8.3,-1　[解析] 由f(x)=x·=0得x=0或x2-2x-3=0,则x=0或x=3或x=-1.由x2-2x-3≥0得x≤-1或x≥3,所以x=0不合题意,故函数f(x)的零点为3,-1.
9.-x+　-　[解析] 由图可知正方形ABCD的对称中心的坐标为(2,4),矩形EFGH的对称中心的坐标为,如图,当且仅当一次函数f(x)的图象经过这两个对称中心时,正方形ABCD与矩形EFGH的面积能被f(x)的图象平分.设f(x)=ax+b,则解得所以f(x)=-x+.由f[f(x)]=-+=0,解得x=-,故函数y=f[f(x)]的零点为-.
10.解:(1)解方程2x+3=0,得x=-,所以f(x)的零点为-.
(2)解方程x2(1-x)3(x2-2)=0,得x=0或x=1或x=或x=-,所以函数g(x)的零点为0,1,,-.
(3)令F(x)=0,则当x≥0时,可得3x-2=0,解得x=,满足题意;当x<0时,可得=0,此方程无解.
故函数F(x)的零点为.
11.D　[解析] 设y=a(x+3),则直线y=a(x+3)恒过点(-3,0).方程f(x)=a(x+3)有四个不同的实数根,则f(x)的图象与直线y=a(x+3)有四个不同的交点.作出函数y=f(x)的图象,如图,由图得a>0,所以直线y=a(x+3)与曲线y=-x2-2x,x∈(-2,0)有两个不同的公共点,所以关于x的方程x2+(2+a)x+3a=0在(-2,0)上有两个不等实根.令g(x)=x2+(2+a)x+3a,则解得012.ACD　[解析] 方程f(x)-k=0的根的问题可以转换成直线y=k和y=f(x)的图象的交点问题,如图.对于A,由图可知,当k=1时,y=f(x)的图象与直线y=k有3个交点,则方程f(x)-k=0有3个不同的实数根,故A正确;对于B,当k<0时,由图知y=f(x)的图象与直线y=k无交点,则方程无解,故B错误;对于C,由图可知y=k和y=f(x)的图象有3个交点时,k的取值范围为(0,1],故C正确;对于D,不妨设x113.　[解析] 当x>0时,函数f(x)=sgn(x)-2x=1-2x,令1-2x=0,得x=,即当x>0时,函数f(x)的零点是;当x=0时,函数f(x)=0,此时函数f(x)的零点是0;当x<0时,函数f(x)=-1-2x,令-1-2x=0,得x=-,即当x<0时,函数f(x)的零点是-.综上可得,函数f(x)=sgn(x)-2x的所有零点构成的集合为.
14.解:画出函数f(x)的图象,如图所示.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,
则函数f(x),g(x)的图象有两个不同的交点,由图可知k>且k<1.
故实数k的取值范围是.
15.(-7,-3]　[解析] 当x<-2时,f(x)=-2x-11,函数单调递减,此时f(x)∈(-7,+∞);当-2≤x<0时,f(x)=-x2+2x+3,函数单调递增,此时f(x)∈[-5,3);当x≥0时,f(x)=-x2-2x+3,函数单调递减,此时f(x)∈(-∞,3].作出函数f(x)=
的图象,如图所示.不妨设x116.解:(1)当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞),
∵y=f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,∴f(x)=
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1;当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为1.作出函数y=f(x)的图象,如图所示,根据图象得,若方程f(x)=a恰有3个不同的解,
则实数a的取值范围是(-1,1).3.2　函数与方程、不等式之间的关系
第1课时　函数的零点
【学习目标】
1.会结合函数的图象,判断方程实根的存在性及实根的个数;
2.能够从函数观点认识函数的零点与方程根的关系.
◆ 知识点一　函数的零点
一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于　　　　,即　　　　　　,则称α为函数y=f(x)的零点.
【诊断分析】 (1)函数的“零点”是一个点吗
(2)函数y=x2有零点吗 函数y=x2(x∈[1,2])呢
◆ 知识点二　函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的　　　　　,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的　　　　　　　　　,即方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与　　　　　　　 函数y=f(x)　　　　　　.
◆ 探究点一　求函数的零点
例1 (1)(多选题)下列函数有零点的是 (　 )
A.f(x)=0 B.f(x)=2
C.f(x)=x2-1 D.f(x)=x-
(2)函数y=x3-9x的零点组成的集合是　　　　.
(3)若函数f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点3,则函数g(x)=bx2+3ax的零点是　　　　.
变式 (1)函数f(x)=x3-2x2-8x的零点是　　　　.
(2)若函数f(x)=2x-ax+3有一个零点是1,则f(-1)=　　　　.
[素养小结]
(1)求函数f(x)的零点就是求方程f(x)=0的解,求解时注意函数的定义域;
(2)已知x0是函数f(x)的零点,则必有f(x0)=0.
◆ 探究点二　判断函数零点的个数
例2 (1)若函数y=(a-1)x2+x+2只有一个零点,则实数a的取值集合为　　　　　　　　.
(2)函数f(x)=x2+x-b2的零点的个数是　　　　.
变式 [2025·辽宁抚顺高一期中] 已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个零点,则m的取值范围为　　　　.
[素养小结]
确定函数零点个数的方法:
(1)分解因式法:可转化为一元n次方程根的个数问题,一般采用分解因式法来解决.
(2)判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题,通常用判别式法来解决.
(3)图象法:能够将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题,可用图象法解决.
(4)单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函数,则零点只有一个.
拓展 定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是 (　 )
A.函数f[g(x)]有且仅有3个零点
B.函数g[f(x)]有且仅有3个零点
C.函数f[f(x)]有且仅有9个零点
D.函数g[g(x)]有且仅有9个零点
1.[2025·上海杨浦区高一期中] 函数f(x)=x2-的零点个数是 (　 )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.函数f(x)=则函数y=f(x)-2x的零点是 (　 )
A.1 B.
C.1, D.1,-1
3.已知f(2x+1)=3x-2,若a是函数y=f(x)-4的一个零点,则a的值为 (　 )
A.2 B.5
C. D.-
4.若关于x的方程x2-6|x|+5=a有4个互不相等的实数根,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(-4,5)
B.(-∞,-4)∪(5,+∞)
C.[-3,4)
D.[-3,4]
5.若函数y=x2-2x+a有2个零点,则a的取值范围是　　　　.

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