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4.7 数学建模活动：生长规律的描述
一、数学建模
对实际问题进行抽象概括，用数学的语言（模型）把实际问题转化为数学问题，
用数学的思想方法分析、解决这个问题，这个过程就是数学建模.
二、数学建模的基本步骤
数学建模的一般步骤如下：
（1）发现问题、提出问题；（2）分析问题、建立模型；（3）确定参数、计算
求解；（4）验证结果、改进模型.
一、数学建模实例
1.观察实际情景，发现和提出问题
登山既可以游览户外美景，又可以锻炼身体，一举多得.从身体需氧的角度讲，
当大气压低于0.65个大气压时，就会比较危险，那么常人登山的高度控制在多
少米之内比较安全呢？
2.收集数据
设海平面上（海拔高度为0米）是一个标准大气压，随着海拔高度的增加，气压
越来越低.当海拔高度为1000米时，约为0.891个大气压；当海拔高度为10 000米
时，约为0.317个大气压；当海拔高度为20 000米时，约为0.102个大气压.
3.分析数据
设海拔高度为千米的地方，气压为 个标准大气压.根据上面搜集到的数据，画
出散点图，根据图象找出合适的函数模型进行拟合.根据散点图（图略）可知，
随 的增大而减小，且依题意，函数不可能是一次函数，也不可能是反比例函
数，而选用指数型函数较适合.选择函数，且 来近似
地刻画大气压强随海拔高度变化的规律.
4.建立模型
设，且,由时，，知,即 .
由,得;由，得;由 ,得
.
所以. 故得到一个函数模型 .
5.检验模型
根据查到的海拔高度与大气压强的数值对应表，可以知道这个函数模型与实际
数据基本吻合.
6.求解问题
设,构造函数 ,
用二分法求此函数的零点
,, ；
,, ；
,,；, ,
；,, . 可取
，所以从身体需氧的角度讲，常人登山的高度控制在3600米之内比较安
全.
二、数学建模活动研究报告
建立人口增长模型解决实际问题
________年________班 研究报告：______年____月____日
课题名称 某城市人口增长与人口控制
课题组成员 及分工
实际问题
建立函数关 系式
分析与解答
续表
分析与解答
说明与解释
指导教师审 核意见
到附近的商店、工厂、学校做实际调查，了解函数在实际中的应用，把遇到的
实际问题转化为函数关系并作出解答，写出研究报告.
续表
1.某新型企业为获得更大利润，需不断加大投资，若预计年利润低于 时，
则该企业就考虑转型，下表显示的是该企业几年来年利润 （百万元）与年投资
成本 （百万元）的一组数据：
年份 2020 2021 2022 2023
3 5 9 17
1 2 3 4
给出以下3个函数模型：；,且 ；
且 .
（1）选择一个恰当的函数模型来描述， 之间的关系，并求出其解析式；
解决问题：由表格中的数据可知，年利润随着年投资成本 的增加而增
加，而是减函数，所以不符合题意；将， 代入
,且 ，
得可得 .
当时， ，不符合题意；
分析问题：先排除，再求出， 的解
析式，再将剩下的数据代入检验，确定解析式.
将，代入且 ，
得可得 .
当时，；当时，. 故可用③来描述，
之间的关系，其解析式为 .
（2）试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.
解决问题： 由题知，解得 ，
因为 ，所以该企业要考虑转型.
2.[2023·重庆万州区高一期末] 某化工企业响应国家环保政策,逐渐减少所排放
废气中的污染物含量,不断改良工艺.已知改良工艺前所排放废气中的污染物含量
为,首次改良后所排放废气中的污染物含量为 .设改良工
艺前所排放废气中的污染物含量为 ,首次改良工艺后所排放废气中的污染物含
量为,则第次改良后所排放废气中的污染物含量 可由函数模型
给出.
分析问题：在已知函数模型的情况下，先根据题意令 ,并代入相关
数据以确定函数模型中的参数，进而确定函数解析式.
（1）试求改良后所排放的废气中的污染物含量的函数解析式;
解决问题：由题意得, .
当时, ,
即,解得 ,
所以 , 故改良后所排放的废气中的污染物含
量的函数解析式为 .
（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中的污染物含量不能超过
,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中的
污染物含量达标.（取 ）
解决问题： 令 ,整理得,即 ,
两边同时取对数得 ,整理得 .
将代入得 ,
因为,所以 .
故至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中的污染物含量达标.4.7　数学建模活动:生长规律的描述
【建模应用】
1.分析问题:先排除①y=-x+b,再求出y=abx,y=loga(x+b)的解析式,再将剩下的数据代入检验,确定解析式.
解决问题:(1)由表格中的数据可知,年利润y随着年投资成本x的增加而增加,而①y=-x+b是减函数,所以不符合题意;将(3,1),(5,2)代入y=abx(a≠0,b>0且b≠1),
得可得∴y=·=.
当x=9时,y==8,不符合题意;
将(3,1),(5,2)代入y=loga(x+b)(a>0且a≠1),
得可得∴y=log2(x-1).
当x=9时,y=log28=3;当x=17时,y=log216=4.
故可用③来描述x,y之间的关系,其解析式为y=log2(x-1).
(2)由题知log2(x-1)≥6,解得x≥65,
因为<10%,所以该企业要考虑转型.
2.分析问题:在已知函数模型的情况下,先根据题意令n=1,并代入相关数据以确定函数模型中的参数,进而确定函数解析式.
解决问题:(1)由题意得r0=2.32,r1=2.25.
当n=1时,r1=r0-(r0-r1)·50.5+p,即2.25=2.32-(2.32-2.25)·50.5+p,解得p=-0.5,
所以rn=2.32-0.07×50.5n-0.5(n∈N*),
故改良后所排放的废气中的污染物含量的函数解析式为rn=2.32-0.07×50.5n-0.5(n∈N*).
(2)令rn=2.32-0.07×50.5n-0.5≤0.08,
整理得50.5n-0.5≥,即50.5n-0.5≥32,
两边同时取对数得0.5n-0.5≥log532=,整理得n≥2×+1.
将lg 2=0.3代入得n≥2×+1=+1≈5.3,
因为n∈N*,所以n≥6.
故至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中的污染物含量达标4.7　数学建模活动:生长规律的描述
一、数学建模
对实际问题进行抽象概括,用数学的语言(模型)把实际问题转化为数学问题,用数学的思想方法分析、解决这个问题,这个过程就是数学建模.
二、数学建模的基本步骤
数学建模的一般步骤如下:
(1)发现问题、提出问题;(2)分析问题、建立模型;(3)确定参数、计算求解;(4)验证结果、改进模型.
一、数学建模实例
1.观察实际情景,发现和提出问题
登山既可以游览户外美景,又可以锻炼身体,一举多得.从身体需氧的角度讲,当大气压低于0.65个大气压时,就会比较危险,那么常人登山的高度控制在多少米之内比较安全呢
2.收集数据
设海平面上(海拔高度为0米)是一个标准大气压,随着海拔高度的增加,气压越来越低.当海拔高度为1000米时,约为0.891个大气压;当海拔高度为10 000米时,约为0.317个大气压;当海拔高度为20 000米时,约为0.102个大气压.
3.分析数据
设海拔高度为x千米的地方,气压为y个标准大气压.根据上面搜集到的数据,画出散点图,根据图象找出合适的函数模型进行拟合.根据散点图(图略)可知,y随x的增大而减小,且依题意,函数不可能是一次函数,也不可能是反比例函数,而选用指数型函数较适合.选择函数y=kax(k≠0,a>0且a≠1)来近似地刻画大气压强随海拔高度变化的规律.
4.建立模型
设y=kax(k≠0,a>0且a≠1),由x=0时,y=1,知k=1,即y=ax.
由0.891=a1,得a=0.891;由0.317=a10,得a≈0.891;由0.102=a20,得a≈0.892.
所以y≈0.891x.
故得到一个函数模型y=0.891x.
5.检验模型
根据查到的海拔高度与大气压强的数值对应表,可以知道这个函数模型与实际数据基本吻合.
6.求解问题
设0.65=0.891x,构造函数g(x)=0.891x-0.65,
用二分法求此函数的零点x0:
g(5)<0,g(0)>0,x0∈(0,5);
g(2.5)>0,g(5)<0,x0∈(2.5,5);
g(3.75)<0,g(2.5)>0,x0∈(2.5,3.75);
g(3.125)>0,g(3.75)<0,x0∈(3.125,3.75);
g(3.437 5)>0,g(3.75)<0,x0∈(3.437 5,3.75).
可取x0=3.6,所以从身体需氧的角度讲,常人登山的高度控制在3600米之内比较安全.
二、数学建模活动研究报告
建立人口增长模型解决实际问题
　　　年　　　班　　研究报告:　　年　月　日
课题名称 某城市人口增长与人口控制
课题组成 员及分工
实际 问题 某城市现有人口为200万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题: (1)写出经过x年后,该城市人口y(万人)与x(年)的函数关系式; (2)估算8年后该城市的人口(精确到0.01万人)
建立函数 关系式 y=200×(1+1.2%)x
分析与 解答 (1)1年后该城市人口为y=200+200×1.2%=200×(1+1.2%)(万人), 2年后该城市人口为y=200×(1+1.2%)+200×(1+1.2%)×1.2%=200×(1+1.2%)2(万人), 3年后该城市人口为y=200×(1+1.2%)2+200×(1+1.2%)2×1.2%=200×(1+1.2%)3(万人), …… x年后该城市人口为y=200×(1+1.2%)x(万人). (2)8年后该城市的人口为y=200×(1+1.2%)8=200×1.0128≈220.03(万人)
说明与 解释
指导教师 审核意见
到附近的商店、工厂、学校做实际调查,了解函数在实际中的应用,把遇到的实际问题转化为函数关系并作出解答,写出研究报告.
1.某新型企业为获得更大利润,需不断加大投资,若预计年利润低于10%时,则该企业就考虑转型,下表显示的是该企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)的一组数据:
年份 2020 2021 2022 2023
年投资成本x 3 5 9 17
年利润y 1 2 3 4
给出以下3个函数模型:①y=-x+b;②y=abx(a≠0,b>0且b≠1);③y=loga(x+b)(a>0且a≠1).
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系,并求出其解析式;
(2)试判断该企业年利润不低于6百万元时,该企业是否要考虑转型.
2.[2023·重庆万州区高一期末] 某化工企业响应国家环保政策,逐渐减少所排放废气中的污染物含量,不断改良工艺.已知改良工艺前所排放废气中的污染物含量为2.32 mg/m3,首次改良后所排放废气中的污染物含量为2.25 mg/m3.设改良工艺前所排放废气中的污染物含量为r0,首次改良工艺后所排放废气中的污染物含量为r1,则第n次改良后所排放废气中的污染物含量rn可由函数模型rn=r0-(r0-r1)·50.5n+p(p∈R,n∈N*)给出.
(1)试求改良后所排放的废气中的污染物含量的函数解析式;
(2)依据国家环保要求,企业所排放的废气中的污染物含量不能超过0.08 mg/m3,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中的污染物含量达标.(取lg 2=0.3)

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