资源简介

1.3.2　等比数列与指数函数
【学习目标】
1.通过函数的引入提高学生运用等比数列解决问题的能力.(逻辑推理)
2.理解等比数列与指数函数之间的联系.(数学建模)
3.会用指数函数的知识解决等比数列的单调性问题.(数学运算)
4.熟练掌握等比数列的判定方法.(逻辑推理)
【自主预习】
1.设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，当a1与q分别满足什么条件时，{an}是递增数列 当a1与q分别满足什么条件时，{an}是递减数列
2.如果数列{an}是各项都为正数的等比数列，那么数列{lg an}也是等比数列吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an+bn}是等比数列. (　　)
(2)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列. (　　)
2.(多选题)已知等比数列{an}满足a1=1，q=2，则下列说法正确的是(　　).
A.an=2n-1 B.{a2n}是等比数列
C.a1+a5=a2+a4 D.{an}是递增数列
3.在公比为q的等比数列{an}中依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，则此数列(　　).
A.是公比为q的等比数列 B.是公比为q2的等比数列
C.是公比为q3的等比数列 D.不一定是等比数列
4.已知等比数列{an}的公比为q，首项a1>0，则“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的(　　).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【合作探究】
探究1　等比数列与指数函数的关系
问题：观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关
1.等比数列{an}的图象
由指数函数y=qx的图象可以得出y=cqxc=，c为常数的图象，而y=cqx的图象上横坐标为正整数n的孤立点(n，an)组成了等比数列{an}的图象.
值得指出的是，当等比数列的公比q=1时，等比数列的各项都为常数a1，其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点.
2.等比数列的单调性
当q>1时，
若a1>0，则等比数列{an}是递增数列；
若a1<0，则等比数列{an}是递减数列.
当q=1时，等比数列{an}是非零的常数列.
当0若a1>0，则等比数列{an}是递减数列；
若a1<0，则等比数列{an}是递增数列.
当q<0时，等比数列{an}是摆动数列.
例1　(1)已知{an}是等比数列，且公比q>0，则“q>1”是“数列{an}为递增数列”的(　　).
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)若{an}为等比数列，则“a1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【方法总结】判断等比数列的增减性时，要结合等比数列的函数性质，选择恰当的性质解题.
设{an}是等比数列，则“a1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
探究2　等比数列的判定与证明
问题1：利用等比数列的定义证明数列为等比数列的关键是什么
问题2：在数列{an}中，若an+1=2an，则数列{an}是等比数列吗
问题3：若数列{an}是公比为q的等比数列，则它的通项公式为an=a1·qn-1(a1，q为非零常数，n∈N+).反之，能说明数列{an}是等比数列吗
问题4：如何证明数列{an+1}是等比数列
判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法：若数列{an}满足=q(n∈N+，q为常数且不为零)或=q(n≥2且n∈N+，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列.
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(n∈N+，a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列.
(3)等比中项法：若=anan+2(n∈N+且an≠0)，则数列{an}为等比数列.
(4)构造法：在条件中出现an+1=kan+b的关系时，往往构造数列，方法是把an+1+x=k(an+x)与an+1=kan+b对照，求出x即可.
例2　已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n-4.
(1)求a1的值；
(2)若bn=an-1，试证明数列{bn}为等比数列.
【方法总结】证明一个数列是等比数列的常用方法有定义法与等比中项法，注意不管用哪种方法判定等比数列都要先强调任意一项不等于零.
已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=2-an，求证：{an}为等比数列.
探究3　由等比数列构造新等比数列
问题：结合我们所学，类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系.完成下表：
等差数列 等比数列
定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列
符号 表示 an-an-1=d(n≥2，n∈N+)
通项 公式 an=a1+(n-1)d
类比 差 商；和 积，积 乘方
性质 等差数列首项为a1，公差为d
把等差数列前k项去掉，得到一个以ak+1为首项，以d为公差的等差数列
等差数列中，ak，ak+m，ak+2m，…是以md为公差的等差数列
等差数列中每一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列
两个等差数列相加，还是一个等差数列
1.在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N+)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列，且公比为qk+1.
2.若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{|an|}，{}都是等比数列，且公比分别是q，，|q|，q2.
3.若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，则{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和.
注意点：在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q=-1时，连续相邻两项的和都是0，故不能构成等比数列.
例3　如果数列{an}是等比数列，那么下列数列不一定是等比数列的是(　　).
A. B.{}
C.{an·an+1} D.{an+an+1}
【方法总结】由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对q<0的情况.
设{an}是各项均为正数的无穷数列，Ai是长、宽分别为ai，ai+1的矩形面积(i=1，2，3，…)，则{An}为等比数列的充要条件为(　　).
A.{an}是等比数列
B.a1，a3，…，a2n-1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列
C.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同
【随堂检测】
1.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　).
A.a1，a3，a9成等比数列
B.a2，a3，a6成等比数列
C.a2，a4，a8成等比数列
D.a3，a6，a9成等比数列
2.(多选题)设{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是(　　).
A.{}是等比数列
B.{anan+1}是等比数列
C.是等比数列
D.{lg|an|}是等比数列
3.若等比数列{an}为递减数列，写出满足上述条件的一个数列{an}的通项公式：　　　　.
4.数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=Sn(n=1，2，3，…).证明：数列是等比数列.
参考答案
1.3.2　等比数列与指数函数
自主预习
预学忆思
1.(1)或 {an}为递增数列；
(2)或 {an}为递减数列.
2.不一定是等比数列，但一定是等差数列.
自学检测
1.(1)×　(2)×
2.ABD　【解析】对于A，an=a1qn-1=2n-1，A正确；
对于B，a2n=22n-1，故==4，又a2=2，
所以{a2n}是首项为2，公比为4的等比数列，B正确；
对于C，由A可知，a1=1，a2=2，a4=8，a5=16，则a1+a5≠a2+a4，C错误；
对于D，an+1-an=2n-2n-1=2n-1>0，故{an}是递增数列，D正确.
故选ABD.
3.B　【解析】∵=·=q·q=q2，n≥2且n∈N+，
∴{anan+1}是以q2为公比的等比数列.故选B.
4.B　【解析】若q<0，则等比数列{an}为摆动数列，充分性不成立.
由于等比数列{an}为递减数列，故q>0.
又a1>0，则an=a1qn-1>0，
因为an+1所以q<1，
所以a1>0，等比数列{an}为递减数列 0所以若a1>0，则“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的必要不充分条件.
合作探究
探究1　情境设置
问题：等比数列的通项公式与指数型函数有关.由an=a1qn-1=·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)=·qx(x∈R)在x=n时的函数值，即an=f(n).
新知运用
例1　(1)D　(2)B　【解析】(1)当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立；
当“数列{an}是递增数列”时，a1<0，00，q>1，即必要性不成立.
综上，“q>1”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.
(2)若等比数列{an}是递增数列，
可得a1反之，例如an=(-1)n+1·2n，
此时满足a1所以“a1巩固训练　B　【解析】设等比数列{an}的公比为q，
由a10，
解得或
此时数列{an}不一定是递增数列.
由数列{an}为递增数列，
可得a1所以“a1探究2　情境设置
问题1：关键是能够证明(n∈N+)是一个非零常数.
问题2：不一定.当an≠0时，数列{an}是等比数列；当an=0时，数列{an}不是等比数列.
问题3：能.根据等比数列的定义可以判断.
问题4：证明=q(q≠0)即可.
新知运用
例2　【解析】(1)因为Sn=2an+n-4，
所以当n=1时，S1=2a1+1-4=a1，解得a1=3.
(2)因为Sn=2an+n-4，
所以当n≥2时，Sn-1=2an-1+(n-1)-4，
Sn-Sn-1=(2an+n-4)-(2an-1+n-5)，
即an=2an-1-1，
所以an-1=2(an-1-1)，
又bn=an-1，所以bn=2bn-1(n≥2)，且b1=a1-1=2≠0，
所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列.
巩固训练　【解析】因为Sn=2-an，所以Sn+1=2-an+1.
所以an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1，
所以an+1=an.
又S1=2-a1=a1，所以a1=1≠0，
又由an+1=an知an≠0，
所以=，
所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列.
探究3　情境设置
等差数列 等比数列
定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列
符号 表示 an-an-1=d(n≥2，n∈N+) =q(n≥2，n∈N+)
通项 公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1
类比 差 商；和 积，积 乘方
性质 等差数列首项为a1，公差为d 等比数列首项为a1，公比为q
把等差数列前k项去掉，得到一个以ak+1为首项，以d为公差的等差数列 把等比数列前k项去掉，得到一个以ak+1为首项，以q为公比的等比数列
等差数列中，ak，ak+m，ak+2m，…是以md为公差的等差数列 等比数列中，ak，ak+m，ak+2m，…是以qm为公比的等比数列
等差数列中每一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列 等比数列中每一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列
两个等差数列相加，还是一个等差数列 两个等比数列相乘，还是一个等比数列
新知运用
例3　D　【解析】取等比数列{an}的通项公式为an=(-1)n，则an+an+1=0，所以{an+an+1}不是等比数列，故D不一定是等比数列；对于其他选项，均满足等比数列的定义.
巩固训练　D　【解析】因为Ai是长、宽分别为ai，ai+1的矩形面积(i=1，2，3，…)，所以Ai=aiai+1(i=1，2，3，…)，
则数列{An}的通项公式为An=anan+1.
根据等比数列的定义，知数列{An}(n=1，2，3，…)为等比数列的充要条件是===q(常数).故选D.
随堂检测
1.D　【解析】因为=a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列.
2.ABC　【解析】由{an}是等比数列可得=q(q为非零定值，n>1).
A中，==q2，为常数，故A正确；
B中，==q2，为常数，故B正确；
C中，==，为常数，故C正确；
D中，不一定为常数，故D错误.
3.an=(答案不唯一)　【解析】∵等比数列{an}为递减数列，∴a1>0，01，∴满足上述条件的一个数列{an}的通项公式为an=.
4.【解析】由a1=1，an+1=Sn，得an>0，Sn>0.
由an+1=Sn，an+1=Sn+1-Sn，
得(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn)，
整理得nSn+1=2(n+1)Sn，
所以=2·，即=2.
因为==1，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.

展开更多......

收起↑