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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
知识点1 一元二次不等式的概念
1.一元二次不等式的概念
定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0
知识点2 一元二次不等式的解法
1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集.结合图象写出不等式的解集.
2.含参的一元二次不等式的解法
在解含参数的不等式时常从以下三个方面进行考虑
(1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a=0.
(2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ=0)，无根(Δ<0).
(3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1=x2，x13.分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解.
知识点3 二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系
1.一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1注意点：
(1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标.
(2)若二次项系数为正数的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集.
(3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集.
1.一元二次不等式在R上的恒成立问题
转化为一元二次不等式解集为R的情况
ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立 ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立 ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立
2.在给定范围上的恒成立问题
(1)当a>0时，ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时小于0.
(2)当a<0时，ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时大于0.
3.解决简单的能成立问题
(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题.
(2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m4.解不等式应用题的步骤
题型一 解不含参二次不等式
1．不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】B
【分析】先将不等式变形为，再求出变形后的一元二次不等式的解，即可得解.
【详解】原不等式可化为，
解得或，
所以不等式的解集为或.
故选：B.
2．若要使有意义，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】由题可得且，解不等式即可求解.
【详解】要使有意义，则有且，解得或，所以的取值范围是或．
故选C．
3．下列不等式的解集为R的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用一元二次不等式的解法，结合基本不等式逐项判断即可.
【详解】对于A，由，得，解得，则原不等式的解集为，A错误；
对于B，，且二次项系数大于0，则原不等式的解集为R，B正确；
对于C，由，得，，则原不等式的解集为R ，C正确；
对于D， R，， ，
当且仅当，即时取等号，因此原不等式的解集为R，D正确.
故选：BCD
4．不等式的解集是 .
【答案】
【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】由得到，
令，因为，
又图象开口向上，所以图象恒在轴上方，
则的解集为，
故答案为：.
5．解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)或
(2)或
(3)
【分析】（1）先对式子进行配方，然后可解；
（2）根据符号法则转化为两组不等式组求解可得；
（3）根据绝对值的意义求解即可.
【详解】（1）由得，即，解得，
所以不等式的解集为或.
（2）因为，所以或，
解得或，
所以不等式的解集为或.
（3），解得，
所以不等式的解集为.
题型二 解含参二次不等式
6．若，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，比较的大小，进而结合二次函数的图象写出解集.
【详解】当时，，解，得，
所以不等式的解集为.
故选：D
7．关于的不等式的解集可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】二次项系数含有参数，应先讨论是否为0，容易遗漏时为一次不等式的情况．
【详解】当时，不等式可化为，则不等式的解集为，故B正确．
当时，为一元二次不等式，
且可因式分解为．二次项系数影响不等式是否变号，因此再分两种情况．
当时，．
当，即时，不等式的解集为，故C正确．
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为．
当时，，此时显然，
不等式的解集为，故D正确．
故选：BCD
8．解下列关于的不等式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】三个不等式左侧都不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集．
【详解】（1）对于一元二次方程，判别式．
当时，的解集为；
当时，的解集为；
当时，，方程的两根分别为，且，
则的解集为．
综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为．
（2）对于一元二次方程，，判别式．
当时，等价于，解得，
故不等式的解集为；
当时，，方程的两根分别为，且，
则的解集为或；
当时，，不等式的解集为．
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为．
（3）对于一元二次方程，
当时，，的解集为；
当时，的解集为；
当或时，，方程的两根分别为，且，
所以不等式的解集为．
综上，当时，不等式的解集为；
当或时，不等式的解集为．
9．已知关于的不等式的解集为，其中．
(1)若，求的值；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系，结合韦达定理可得结果.
（2）讨论的范围，解一元二次不等式可得结果.
【详解】（1）当时，关于的方程的两根为，
由韦达定理可得，解得.
（2）原不等式可化为.
当时，原不等式为，解得，；
当时，方程的根为，，
当时，不等式可化为，解得或，
；
当，即时，原不等式为，；
当，即时，不等式可化为，解得，；
当，即时，不等式可化为，解得，.
综上所述，当时，；当时，；
当时，；当时，；当时，.
10．已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)求不等式的解集；
(3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求出方程的根后可得不等式的解；
（2）就、、分类讨论后可得不等式的解；
（3）根据二次函数的对称轴可得不等式的三个不同的整数解，从而可得实数的取值范围．
【详解】（1）当时，，
所以方程的根为或－3，
所以不等式的解集为．
（2）若，即，此时二次函数的图象在轴上方，
不等式的解集为；
②若，即，此时方程为，
只有一个根，不等式的解集为；
③若，即，
此时方程的两根分别为，，
不等式的解集为．
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
（3）因为，故抛物线的对称轴为且开口向上，
而不等式的解集中恰有三个整数解，
故且，在不等式的解集中（、关于对称），
，不在不等式的解集中（、关于对称），
故，
故.
题型三 二次方程根的分布问题
11．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可.
【详解】令，
因为方程的两根都大于，
所以由题意可得，解得．
故选：C．
12．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解即可；
【详解】∵一元二次方程有一个正根和一个负根，
∴解得.
故满足题意的a的取值集合应是集合的真子集，结合选项可知选C.
故选：C.
13．已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题设描述，由一元二次不等式的解集列不等式求参数的范围，结合假命题个数确定参数范围.
【详解】若的解集为或，则解得；
若的解集为或，则解得；
若函数图象的对称轴在轴右侧，则对称轴，则，得．
又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假，综上，．
故选：C.
14．关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围.
【详解】设，开口向上，
由题意知，
即，解得，
所以．
故答案为：．
15．关于的方程满足下列条件，求的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于，一个根小于；
(3)一个根在内，另一个根在内；
(4)一个根小于，一个根大于；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】令，设的两个根为，结合二次函数的图象与性质，列出相应的不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：令，设的两个根为，
则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）解：若方程的一个根大于，一个根小于，
则满足，解得，即实数的取值范围为.
（3）解：若方程一个根在内，另一个根在内，
则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
（4）解：若方程的一个根小于，一个根大于，
则满足，解得，所以实数的取值范围为.
题型四 由二次方程的解求参数
16．已知关于的不等式的解集为或，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
【答案】BCD
【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误.
【详解】A：因为关于的不等式的解集为或，
所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错；
B：由A得，，所以，，
因为，，所以，对；
C：不等式可化为，因为，所以，对；
D：不等式可化为，又，
所以，即，解得，对.
故选：BCD
17．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．有最大值
B．
C．
D．的解集为
【答案】ABD
【分析】根据不等式的解集可得，且，，据此可逐项判断求解.
【详解】对于A，因为不等式的解集为，所以，，
二次函数的图象开口向下，因此有最大值，故A正确；
对于BC，，3是关于的一元二次方程的两根，
则，所以，，则，故B正确，C错误；
对于D，不等式即为，
即，即，
解得（舍去）或，
所以，故D正确；
故选：ABD.
18．已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ．
【答案】或
【分析】依题意可得和是方程的两个实根，再根据根与系数的关系得，在分和两种情况讨论即可求解答案．
【详解】由关于的不等式的解是，
则和是方程的两个实根，
由根与系数的关系得，整理得，
则当时，关于的不等式转化为，解得；
当时，关于的不等式转化为，解得．
综上关于的不等式的解为或．
故答案为：或．
19．已知二次函数．
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)若，且，求的最小值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由不等式的解集为，可得且和是方程的两个实数根，再根据根与系数的关系即可求解；
（2）由，可得，再结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为不等式的解集为，
所以，且的两根为和，
则根据韦达定理，可得，解得；
（2）由，可得，化简得.
又，所以，
当且仅当时，即时等号成立.
20．若不等式的解集为
(1)求，b，c之间的关系，并判断的正负；
(2)求关于的不等式的解集.
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）先由题意及根与系数的关系得到，，可得解；
（2）把不等式转化为，即可求解.
【详解】（1）因为不等式的解集为，
则是方程的两根，
所以，
故，此时；
（2），
解得：或，
所以不等式的解集为或.
题型五 三个“二次”的关系
21．如图是函数的图象，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.
【详解】由二次函数图象可得：若，则或，
故不等式的解集为或.
故选：C.
22．已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（ ）
A． B．
C． D．当时，的最小值为
【答案】BC
【分析】结合一元二次不等式与二次函数的关系及函数的平移得到，从而得到，即可判断A、B、C，由韦达定理得到，利用基本不等式判断D.
【详解】因为关于一元二次不等式的解集为（其中），
所以二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，
又关于一元二次不等式的解集为，
即二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，，
又二次函数的图象是由向上平移个单位得到的，
又开口向下，对称轴为，
由于无法确的值，以下只能得到与图象的大致情形如下（这里只列出其中一种）：
所以，
则，所以，，所以，故A错误，B正确；
又，，所以，故C正确；
因为、为关于的方程的两根，
所以，，
又，所以，所以，
所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
显然，所以，故D错误.
故选：BC
23．已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
【答案】AD
【分析】根据集合子集的个数列方程，求得的关系式，对AB利用二次函数性质可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断.
【详解】由于集合有且仅有两个子集，
所以，即，由于，所以.
，当时等号成立，
故A正确，B错误.
C，不等式的解集为，所以，故C错误.
D，不等式的解集为，
即不等式的解集为，且，
则，
则，所以，故D正确.
故选：AD
24．若的函数值有正值，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由二次函数图像性质即可得出结论.
【详解】由的函数值有正值可知函数的图像与轴有两个交点，所以，即或.
故答案为：
25．已知函数．
(1)若不等式的解集为空集，求的取值范围．
(2)若，的解集为，的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由不等式的解集为空集等价于恒成立，结合，即可求解；
（2）根据题意得是方程的两个实根，由根与系数的关系得到，，构造基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，不等式的解集为空集等价于恒成立，
即，解得，
故m的取值范围为.
（2）若，由的解集为，则有两个不同实根，
即是方程的两个实根，
故，，故同为小于0的实数，
则，
当且仅当时，即，时等号成立，
故的最大值为．
题型六 二次不等式在R上恒成立问题
26．若不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围.
【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立；
若，因为不等式的解集为，
所以.
综上可得：.
故选：B
27．一元二次不等式的解集为的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式解集，结合对应二次函数的性质列不等式组，即可得答案.
【详解】一元二次不等式的解集为，即恒成立，
得到充要条件是
故选：B
28．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【分析】由题意可知没有实根或有重根，根据，求解即可.
【详解】由题意得，“存在，使”是假命题，
没有实根或有重根，
，解得.
故选：A.
29．已知不等式的解集为．
(1)求的值；
(2)若不等式对于均成立，求实数取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据不等式的解集得1和2是方程的两根，然后根据韦达定理建立的方程求解即可.
（2）分和两种情况讨论，时利用判别式法列不等式组求解范围，最后求并集即可.
【详解】（1）由题意知，1和2是方程的两根，.
由韦达定理可得，解得；
（2）由（1）可知，则不等式对于均成立，
则当时，不等式恒成立；
当时，不等式对于均成立，
等价于，解得，
综上，可得．
30．已知函数.
(1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，讨论、，结合二次函数的性质列不等式求参数范围；
（2）由题设有，应用分类讨论求对应解集.
【详解】（1）由题意，对一切实数恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意；
当时，则有，解得；
故实数的取值范围是.
（2）不等式等价于，即，
当时，不等式可化为，解集为；
当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为.
当时，，此时不等式解集为；
当时，，此时不等式解集为或；
当时，，此时不等式解集为；
当时，，此时不等式解集为或.
综上所述，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为或.
题型七 二次不等式在某区间恒成立问题
31．“”是“不等式在上恒成立”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据不等式恒成立有恒成立，应用基本不等式及充分、必要性定义判断条件间的关系.
【详解】对于，可化为恒成立，
由，当且仅当时取等号，故，
所以“”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件.
故选：A
32．已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】更换主元，根据一次函数性质列不等式组求解可得.
【详解】令，
当时，，不满足题意；
当时，由一次函数性质可知，，
解得或.
故选：C
33．若，不等式恒成立，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得.
【详解】由时，恒成立，即恒成立，
对于，有，当且仅当时取等号，
又在上单调递减，在上单调递增，且，，
，故的取值范围是.
故答案为：
34．设函数．
(1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围．
(2)对于恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过两种情况讨论即可；
（2）法一：结合二次函数最值即可求解，法二：通过参变分离求最值即可求解.
【详解】（1）要使恒成立，
若，显然．
若
需满足
综上：．
（2）解法一：要使在上恒成立，
就要使在上恒成立．
令．
当时，在上随的增大而增大，
当时，；
当时，恒成立；
当时，在上随的增大而减小，
当时，得，
．
综上所述：．
解法二：当时，恒成立，
即当时，恒成立．
，
又，．
函数在1上的最小值为，
．
35．已知二次函数，其中．
(1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）条件可转化为，然后利用基本不等式求出的最小值，即可求得实数的取值范围，
（2）不等式等价于，即，然后分，，，和五种情况讨论求解即可
【详解】（1）不等式即为：，
当时，可变形为：，.
即，
又，当且仅当，即时，等号成立，
∴，即.
实数的取值范围是.
（2），
等价于，即，
①当时，不等式整理为，解得：；
当时，方程的两根为：，.
②当时，可得，解不等式得：或；
③当时
（i）当时，因为，解不等式得：；
（ii）当时，因为，不等式的解集为；
（iii）当时，因为，解不等式得：；
综上所述，不等式的解集为：
①当时，不等式解集为；
②当时，不等式解集为；
③当时，不等式解集为；
④当时，不等式解集为；
⑤当时，不等式解集为.
题型八 二次不等式在R上有解性问题
36．已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】对实数的取值进行分类讨论，当或时，直接验证即可；当时，结合二次不等式能成立可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】当时，成立；
当时，抛物线开口向上，成立；
当时，由，得或，所以．
综上所述，．
故选：A.
37．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意，
当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意，
当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得，
综上可得，
故选：A
38．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，列不等式解得结果.
【详解】因为命题“”是假命题，
所以“” 是真命题，
因此
即实数的取值范围是.
故选：B.
39．若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分，和三种情况分类讨论，其中当时，利用判别式列不等式求解即可，最后求并集.
【详解】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意；
，命题“”为真命题，
当时，对于抛物线，开口向下，
显然在有解，符合题意；
当时，对于抛物线，开口向上，
只需，解得或，
又，所以或，
综上，实数的取值范围是或，即.
故选：D
40．若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ．
【答案】
【分析】由题意可得“，使得”为真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可.
【详解】因为“，使得”为假命题，
所以“，使得”为真命题，
即在内有解，即，
因为
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，所以，解得，
所以实数的取值范围为．
故答案为：.
题型九 二次不等式在某区间上有解性问题
41．命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，转化为不等式在有解，结合二次函数的性质，求得其最小值，即可求解.
【详解】由使得不等式成立是真命题，
即不等式在有解，
因为，当时，，
所以，即实数的取值范围为.
故选：C.
42．已知关于 x 的不等式在上有解，则实数a的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】AB
【分析】由，，可得：，求出函数的最大值即可.
【详解】由，，
可得：，设，
当时，，
当且仅当时取等，所以，故AB正确，CD错误.
故选：AB.
43．若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分离参数后转化为求函数的最小值.
【详解】在时有解，分离参数得在区间上有解，
只需要不小于函数在区间上的最小值即可，
因为，函数图像对称轴，且，
所以当时，在区间上取最小值，，
所以若命题“”为真命题，则，
实数的取值范围是．
故答案为：
44．若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先对不等式进行参数分离，得到关于的不等式，然后利用基本不等式的性质即可求得结果.
【详解】由题意知，“，使得成立”是真命题，
所以，根据基本不等式的性质可得：，当且仅当，即时，等号成立.
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
45．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是.
【详解】由不等式以及可得，
依题意可知即可，
令，
又，由可得，
利用二次函数性质可知，即可得；
即实数的取值范围是.
故答案为：
题型十 一元二次不等式的应用
46．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设这批削笔器的销售价格定为元/个，利用题意列不等式，结合定义域解不等式即可求解.
【详解】设这批削笔器的销售价格定为元/个，
由题意得，即，
∵方程的两个实数根为,，
解集为，又，，
故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)，
才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入.
故选：B
47．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题目条件，按照稀释药液顺序，逐渐分析.可得，然后解不等式可得答案.
【详解】第一次将桶中药液倒出5升后，桶中药液还有升，
则加满水后药液含量占容积比例为.第二次倒出的4升液体中，
药液有升，则加满水后药液含量占容积比例为，
由题有，，解得，
又因为第一次将桶中药液倒出5升，所以，
故答案为：.
48．单板滑雪是北京冬奥会比赛项目之一，如图，若，某运动员自起跳点起跳后的运动轨迹（虚线部分）可近似看作一元二次函数图象，运动员竖直高度（单位：m）与距离起跳点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系式，则运动员竖直高度不低于48m时，水平距离最多为 m.
【答案】97.5
【分析】由题意直接代入后解一元二次不等式即可；
【详解】由题意可得，，
即，
解得，
因此，运动员水平距离最多为97.5m.
故答案为：97.5.
49．如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白.
(1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？
(2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？
【答案】(1)
(2)，宣传单的面积最小，最小的面积为
【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围；
（2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解.
【详解】（1）由宣传单的面积不超过可得：，
化简得，解得，
又，所以，故的最大值为.
（2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，
则，
当且仅当，即时取等号.
所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是
50．美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成：
①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元；
②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？
(2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元．
【答案】(1)万套时，每万套的最低成本为12万元；
(2)该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元.
【分析】（1）根据已知有平均每万套的成本，应用基本不等式求最小值；
（2）由题设得到，解一元二次不等式求解，即可得结论.
【详解】（1）由题设，平均每万套的成本，
当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套；
（2）由题设，该套装每月的利润为，
所以，可得，
所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
知识点1 一元二次不等式的概念
1.一元二次不等式的概念
定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0
知识点2 一元二次不等式的解法
1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集.结合图象写出不等式的解集.
2.含参的一元二次不等式的解法
在解含参数的不等式时常从以下三个方面进行考虑
(1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a=0.
(2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ=0)，无根(Δ<0).
(3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1=x2，x13.分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解.
知识点3 二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系
1.一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1注意点：
(1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标.
(2)若二次项系数为正数的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集.
(3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集.
1.一元二次不等式在R上的恒成立问题
转化为一元二次不等式解集为R的情况
ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立 ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立 ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立
2.在给定范围上的恒成立问题
(1)当a>0时，ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时小于0.
(2)当a<0时，ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时大于0.
3.解决简单的能成立问题
(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题.
(2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m4.解不等式应用题的步骤
题型一 解不含参二次不等式
1．不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．
2．若要使有意义，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．下列不等式的解集为R的是（ ）
A． B．
C． D．
4．不等式的解集是 .
5．解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
题型二 解含参二次不等式
6．若，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．关于的不等式的解集可能为（ ）
A． B．
C． D．
8．解下列关于的不等式：
(1)；
(2)；
(3)．
9．已知关于的不等式的解集为，其中．
(1)若，求的值；
(2)求不等式的解集.
10．已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)求不等式的解集；
(3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围．
题型三 二次方程根的分布问题
11．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．或
12．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
13．已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 .
15．关于的方程满足下列条件，求的取值范围．
(1)有两个正根；(2)一个根大于，一个根小于；
(3)一个根在内，另一个根在内；(4)一个根小于，一个根大于；
题型四 由二次方程的解求参数
16．已知关于的不等式的解集为或，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
17．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．有最大值
B．
C．
D．的解集为
18．已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ．
19．已知二次函数．
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)若，且，求的最小值．
、
20．若不等式的解集为
(1)求，b，c之间的关系，并判断的正负；
(2)求关于的不等式的解集.
题型五 三个“二次”的关系
21．如图是函数的图象，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．或 D．
22．已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（ ）
A． B．
C． D．当时，的最小值为
23．已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
24．若的函数值有正值，则的取值范围是 ．
25．已知函数．
(1)若不等式的解集为空集，求的取值范围．
(2)若，的解集为，的最大值．
题型六 二次不等式在R上恒成立问题
26．若不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
27．一元二次不等式的解集为的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
28．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
29．已知不等式的解集为．
(1)求的值；
(2)若不等式对于均成立，求实数取值范围．
30．已知函数.
(1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
题型七 二次不等式在某区间恒成立问题
31．“”是“不等式在上恒成立”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
32．已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
33．若，不等式恒成立，则的取值范围为 ．
34．设函数．
(1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围．
(2)对于恒成立，求的取值范围．
35．已知二次函数，其中．
(1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
题型八 二次不等式在R上有解性问题
36．已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
37．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
38．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
39．若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
40．若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ．
题型九 二次不等式在某区间上有解性问题
41．命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
42．已知关于 x 的不等式在上有解，则实数a的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
43．若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 ．
44．若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ．
45．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
题型十 一元二次不等式的应用
46．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
47．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为 .
48．单板滑雪是北京冬奥会比赛项目之一，如图，若，某运动员自起跳点起跳后的运动轨迹（虚线部分）可近似看作一元二次函数图象，运动员竖直高度（单位：m）与距离起跳点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系式，则运动员竖直高度不低于48m时，水平距离最多为 m.
49．如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白.
(1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？
(2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？
50．美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成：
①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元；
②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？
(2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元．

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