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第二讲：复数知识总结与题型归纳
知识再现
一.基本概念
（1）叫虚数单位，满足 ，当时，.
（2）形如的数叫复数，记作.
①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.
②两个复数相等（两复数对应同一点）
③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，.
二.基本性质
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数.
（3）.
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.
3、复数的常用结论
（1）当时，.
（2）z·＝|z|2＝||2.
题型归纳
题型一 复数的概念
例1：已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
解析：由可得，
所以复数的虚部为.故选：A
例2：若i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为（ ）．
A． B．3 C． D．2
解析：，
则，则z的实部为.故选：D.
例3．已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
解析：由得，所以，因此.
解法二：因为，所以，即，所以，故， 故选:C.
例4．已知是虚数单位，复数的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C．4 D．
解析：，
故复数的共轭复数为，故共轭复数的虚部为4.故选：C
例5．若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则（ ）
A． B． C． D．2
解析：因为复数满足，则，
所以复数的共轭复数为，则，故选：.
例6．若是纯虚数，则a＝（ ）
A．－1 B．1 C．－9 D．9
解析：,
因为是纯虚数，故，得，故选：A.
例7．已知，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
解析：由可得，
则，所以，故．故选：C.
例8.已知i是虚数单位，若，则（ ）
A．1 B． C． D．3
解析：因为，．故选：C.
举一反三
1．已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．0或1
解析：因为为纯虚数，所以，解得.故选：C.
2．已知复数的共轭复数为，且，则下列四个选项中，可以为（ ）
A． B． C． D．
解析：设，由已知得，即，
∴，即，对照各选项，只有D满足．故选：D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．3
解析：由得，所以，
则，所以，故选:B．
4．已知复数，则以下判断正确的是（ ）
A．复数的模为1 B．复数的模为
C．复数的虚部为 D．复数的虚部为
解析：由可得；
即复数的虚部为1，所以CD错误；则复数的模为，即A错误，B正确；故选：B
题型二 复数的几何意义
例9．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为，可知复数在复平面内对应的点为，
所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D
例10.已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：复数是纯虚数，
，且，故，.
故复数在复平面内对应的点在第一象限，故选：A.
例11.已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）
A． B． C． D．
解析：因为是关于的方程的一个根,所以也是方程的根.
根据根与系数的关系可得
即得,所以 故选:A.
例12.复数在复平面内对应的点位于第一象限，则实数的取值范围是_____________.
解析：因为，
所以在复平面中所对应的点的坐标为，
令，解得.故答案为：.
举一反三 ：
1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：，故在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限.故选：A
2.在复平面内，复数对应的点在直线上，则（ ）
A．1 B． C． D．
解析：复平面内，复数对应的点为，
又在直线上，所以，解得，所以，
则.故选：B.
题型三 复数的代数运算
例13.　已知复数满足，则＝（ ）
A． B． C． D．
解析：设复数，代入，有，
则，解得，∴.故选：D
例14.已知i是虚数单位，复数，则（ ）
A． B． C． D．
解析：，∴.故选：D
例15.（多选)已知复数，则下列各项正确的为（ ）
A．复数的虚部为 B．复数为纯虚数
C．复数的共轭复数对应点在第四象限 D．复数的模为5
解析：∵，则可得：
复数的虚部为1，A错误；为纯虚数，B正确；
复数的共轭复数为，其对应点为，在第四象限，C正确；
复数的模为，D错误；故选：BC．
例16.已知复数在复平面内的对应点为，则（ ）
A． B． C． D．
解析：因为复数在复平面内的对应点为，所以，
所以故选：D
例17.若关于x的实系数方程有一个复数根是，则另一个复数根是（ ）
A． B． C． D．无法确定
解析：若关于x的实系数方程有两个复数根，则两复数根互为共轭复数，
故该方程的另一个复数根是.故选：A.
举一反三
1.在复平面内，平行四边形的三个顶点，A，B，C对应的复数分别为，，(为虚数单位)，则点D对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
解析：由题知，，，，设.
则，.因为为平行四边形，所以.
由，解得，所以点对应的复数为.故选：A.
2.已知复数是关于的方程的一个根，则（ ）
A．4 B． C． D．
解析：由题意可得，即，
所以，所以，解得，
所以，故选：C
3（多选）已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（ ）
A． B． C．若，则 D．若，则
解析：A选项，，A选项正确.
B选项，，B选项错误.
C选项，，，
若，则，解得，所以C选项正确.
D选项，当时，，所以D选项错误.故选：AC
课后练习
1．已知复数满足，其中为虚数单位，则的实部为（ ）
A．1 B． C．0 D．
解：，所以，，的实部为0．选：C
2．复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
解析：，复数的虚部为．故选：C．
3．若复数，则z的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
解析：，所以，则.故选：A
4．已知复数满足，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
解析：由，得，所以.故选：B
5．若复数是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
解析：为纯虚数，，，故选：.
6．已知复数是纯虚数，是实数，则（ ）
A．－ B． C．－2 D．2
解析：由题意设，则，
因为是实数，所以，得，所以，所以，故选：A.
7．已知复数，且，，其中，为实数，则（ ）
A．－2 B．0 C．2 D．3
解析：由题意得，则代入原式得：，
即，所以，解得，所以．故选：C．
8．若复数满足，则（ ）
A． B． C．5 D．17
解析：∵，∴，
∴.故选：C.
9．在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）．
A．第一象限； B．第二象限； C．第三象限； D．第四象限．
解：，所以其共轭复数为，它在复平面所对应的点坐标为，位于第四象限.故选：D.
10．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
解析：因为在复平面内，复数对应的点的坐标为，
所以，所以，故，故选：D
二、多选题
11．把复数z的共轭复数记作，已知（i为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
解析：由，可得，有：，选项A错误．
，选项B正确； ，选项C正确；
，选项D错误．故选：BC．
12．已知复数，，则（ ）
A． B．
C． D．在复平面内对应的点位于第四象限
解析：对于A选项，，所以，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，在复平面内对应的点位于第四象限，D对.故选：BCD.
13．下列命题中的真命题有（ ）
A．复数的虚部是 B．
C．复数的模为5时实数 D．若z的共轭复数仍是z，则
解析：由复数虚部概念知的虚部是，排除A；
由复数乘法法则计算知B正确；
复数的模为5时实数，排除C；
若z的共轭复数仍是z，则z的虚部为0，所以D中的命题为真．故选：BD．
14．若复数z满足，则（ ）
A． B．z的实部为1 C． D．
解析：由得：，因此A错误，实部为1，则B正确，，故C错误，，故D正确.故选:BD
15．已知复数满足，则（ ）
A．z的实部为 B．
C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．
解析：由题意得，A选项正确，，B选项错误
在复平面内对应的点位于第四象限，C选项错误，，D选项正确.故选：AD.第二讲：复数知识总结与题型归纳
知识再现
一.基本概念
（1）叫虚数单位，满足 ，当时，.
（2）形如的数叫复数，记作.
①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.
②两个复数相等（两复数对应同一点）
③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，.
二.基本性质
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数.
（3）.
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.
3、复数的常用结论
（1）当时，.
（2）z·＝|z|2＝||2.
题型归纳
题型一 复数的概念
例1：已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
例2：若i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为（ ）．
A． B．3 C． D．2
例3．已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
例4．已知是虚数单位，复数的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C．4 D．
例5．若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则（ ）
A． B． C． D．2
例6．若是纯虚数，则a＝（ ）
A．－1 B．1 C．－9 D．9
例7．已知，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
例8.已知i是虚数单位，若，则（ ）
A．1 B． C． D．3
举一反三
1．已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．0或1
2．已知复数的共轭复数为，且，则下列四个选项中，可以为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．3
4．已知复数，则以下判断正确的是（ ）
A．复数的模为1 B．复数的模为
C．复数的虚部为 D．复数的虚部为
题型二 复数的几何意义
例9．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
例10.已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例11.已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）
A． B． C． D．
例12.复数在复平面内对应的点位于第一象限，则实数的取值范围是_____________.
举一反三 ：
1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.在复平面内，复数对应的点在直线上，则（ ）
A．1 B． C． D．
题型三 复数的代数运算
例13.　已知复数满足，则＝（ ）
A． B． C． D．
例14.已知i是虚数单位，复数，则（ ）
A． B． C． D．
例15.（多选)已知复数，则下列各项正确的为（ ）
A．复数的虚部为 B．复数为纯虚数
C．复数的共轭复数对应点在第四象限 D．复数的模为5
例16.已知复数在复平面内的对应点为，则（ ）
A． B． C． D．
例17.若关于x的实系数方程有一个复数根是，则另一个复数根是（ ）
A． B． C． D．无法确定
举一反三
1.在复平面内，平行四边形的三个顶点，A，B，C对应的复数分别为，，(为虚数单位)，则点D对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数是关于的方程的一个根，则（ ）
A．4 B． C． D．
3（多选）已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（ ）
A． B． C．若，则 D．若，则
课后练习
1．已知复数满足，其中为虚数单位，则的实部为（ ）
A．1 B． C．0 D．
2．复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．若复数，则z的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知复数满足，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
5．若复数是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知复数是纯虚数，是实数，则（ ）
A．－ B． C．－2 D．2
7．已知复数，且，，其中，为实数，则（ ）
A．－2 B．0 C．2 D．3
8．若复数满足，则（ ）
A． B． C．5 D．17
9．在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）．
A．第一象限； B．第二象限； C．第三象限； D．第四象限．
10．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．把复数z的共轭复数记作，已知（i为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
12．已知复数，，则（ ）
A． B．
C． D．在复平面内对应的点位于第四象限
13．下列命题中的真命题有（ ）
A．复数的虚部是 B．
C．复数的模为5时实数 D．若z的共轭复数仍是z，则
14．若复数z满足，则（ ）
A． B．z的实部为1 C． D．
15．已知复数满足，则（ ）
A．z的实部为 B．
C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．

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