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函导综合一：切线问题
瞬时变化率的几何体现：切线斜率，如图：
切线有“旁切”和“穿切”，“单切”和“公切”等，如图所示：
解决切线问题的关键是切点，抓住“切点”的三重作用：.直线与曲线相切一般要应用三点：
1.是曲线在切点处的导数是切线的斜率；
2.是切点即在曲线上也在切线上；
3.是没有切点要设切点.本就用到了上面三点，然后再配求所求式子的结构.可求斜率、切点坐标、切线方程以及相关参数值.
可以概括为：抓切点，列方程，解变量；求斜率，点斜式，写方程.若试题中未明确给出切点，则需要先设出切点坐标.
一、分类解读
1.单切线（切线本质）
注意“在点处的切线”
与“过点的切线”的区别
例1 （1）（2024甲理卷6）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
（2）若过原点向曲线至少可作两条切线，求实数的最大值.
【解析】（1）【答案】A
，
则，即该切线方程为，即，
令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积
.故选：A.
（2），设切点
，即
.
变式：若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】设切点为，利用导数的几何意义，求得切线方程，根据切线过点，得到，设，求得，得出函数单调性和极值，列出方程组，即可求解.
【解析】设切点为，
由函数，可得，则
所以在点处的切线方程为，
因为切线过点，所以，
整理得，
设，所以，
令，解得或，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
要使得过点可作曲线的三条切线，
则满足，解得，即的取值范围是．故选：C．
2.公切线
同时与两曲线相切：一个切点或两个（两个以上）切点
试题中还经常出现公切线问题，有一个切点或分别切于两点，如图所示.这仍需要抓住切点处理.
例2（1）（2017年天津卷节选）已知函数和的图象在公共点处有公切线.
求证：在处的导数等于.
（2）（2016年全国Ⅱ卷16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，
．
（1）【解析】，∴，即.
（2）【答案】
【解析】的切线为：（设切点横坐标为）
的切线为：（设切点横坐标为），
∴
解得 ，
∴.
变式：（1）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
（2）已知函数，，若存在直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是 .
（1）【答案】或
【解析】令，则，
设切点分别为，则切线方程为：，
即
，即
∴，即
∴，即或
∴或.
（2）【答案】D
【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，，利用导数的几何意义求出切线方程，根据题意得到，记且，利用导数与函数的单调性即可求解.
【解析】设直线为曲线在点处的切线，，
所以，即；
设直线为曲线在点处的切线，，
所以，即，
由题意知，因为，
由可得，
将其代入可得：，
显然，整理得.
记且，则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，即，
化简得，解得.
3.隐切线
试题中也常出现这样一类问题：题面上不涉及“相切”、“切线”、“切点”等字眼，但求解时却需要用到曲线的切线，求解这类“隐性”切线问题时，关键在于找出这条隐藏的切线，数形结合解决问题.找到这条切线常常用：部分隔离参数、临界极端分析问题.
例3 (2013全国2理科21)已知函数．当时，证明.
【解析】法一：以直代曲切线放缩 不等式传递
∵时，.
∴， 当且仅当取等号.
又∵
∴
又∵，当且仅当取等号.
∴
不等式中前两个等号不可能同时取得.
∴.即成立.
(上式中，时，，时，，均可以用导数知识证明)
法二：以直代曲公切线放缩 不等式传递
要证原式只需证：
设的公切线为.切点分别为.
,
∴
化简可得：，即，从而，
对应的点，对应公切线方程为
易证：，
又∵两者取等的条件不相同，∴，即
【步骤】①利用连个函数表达式设出对应切点和切线；②利用导数与斜率的定义列出等式；③利用切点坐标求得“公切线”的方程；④证明两个函数与公切线的关系.
变式：已知函数满足满足.
(1)求的极值；
(2)若，求的最大值
【解析】(1) 略：，，
单调递增区间为，单调递减区间为，极小值为，无极大值；
(2)，即
令，，如图
设在点处的切线与直线平行，
：，即
要使，只要，
∴，
令，则
，∴的最大值为.
二、练习强化
1.设，曲线在点处切处的倾斜角的取值范围为，则到曲线对称轴距离的取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2.已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，
由题意得直线过定点，且斜率，
如图，由对称性可知，直线与三角函数图像切于另外两个点，
∴，则切线方程过点，
∴，即，，
∴
3.（多选）若直线与曲线和曲线相切于同一点，则的横坐标可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
4.设，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5.已知曲线与的两条公切线所成角的正切值为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为与互为反函数，故图像关于对称，
设一条切线与两个函数图像分别切于两点，且两条切线交点为，
如图，设，则，即，
解得或-3（舍去），
故，
易求得曲线的斜率为2的切线方程为，
故曲线的斜率为2的切线方程为，
的斜率为2的切线方程为，
故曲线的斜率为2的切线方程为，
所以，则，则.故A，B，D错误.故选：C.
6.已知函数图象上存在两条互相垂直的切线，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，令，由，
得，所以
由题意可知，存在，使得，只需要，即，
所以，，
所以的最大值为.故选: D.
7.若函数，直线分别与曲线相切于点，
，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，则直线方程为
即，，即
∴，两式相除，可得：，即.
8.已知，，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】可以转化为：
是函数图象上的点，是函数上的点，.
当与直线平行且与的图象相切时，切点到直线的距离为的最小值.
令，解得或，（舍去），又，
所以切点到直线的距离即为的最小值.所以，
所以.故选：B.
9.已知实数满足：，其中e是自然对数的底数，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为实数满足：，所以，.
所以点在曲线上，点在上.
所以的几何意义就是曲线上的任一点
到上的任一点的距离的平方.
由几何意义可知，当的某一条切线与平行时，两平行线间距离最小.
设在点处的切线与平行，
则有：，解得：，即切点为.
此时到直线的距离为就是两曲线间距离的最小值，
所以的最小值为.故选：B
10.在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】法一：
（当且仅当时，取“=”）
，令，则，
的最小值为点到直线的距离，即.
法二：设
设
，则.
11.(2024新1卷)若曲线在点处的切线也是曲线的切线,则 .
【答案】
【解析】由得,,故曲线在处的切线方程为
；由得,设切线与曲线相切的切点为
,由两曲线有公切线得,解得,则切点为
,切线方程为,根据两切线重合,
所以,解得.
12.已知，若曲线存在唯一一条公切线，则 .
【答案】
【解析】设切点为，则
，即，得，，
13.已知函数，是曲线的一条切线．（其中为自然对数的底数）
（1）求；
（2）证明：．
【解析】（1）设直线与曲线切于点，
∵，∴，即，∴.
（2）法一：令，由（Ⅰ）知.
∵在上单调递增， 又，
∴在上有唯一实根，且.
当时，；
当时，，从而当，取极小值，也是最小值.
由，得，则.
故，
∴，即.
法二：切线放缩函导综合一：切线问题
瞬时变化率的几何体现：切线斜率，如图：
切线有“旁切”和“穿切”，“单切”和“公切”等，如图所示：
解决切线问题的关键是切点，抓住“切点”的三重作用：.直线与曲线相切一般要应用三点：
1.是曲线在切点处的导数是切线的斜率；
2.是切点即在曲线上也在切线上；
3.是没有切点要设切点.本就用到了上面三点，然后再配求所求式子的结构.可求斜率、切点坐标、切线方程以及相关参数值.
可以概括为：抓切点，列方程，解变量；求斜率，点斜式，写方程.若试题中未明确给出切点，则需要先设出切点坐标.
一、分类解读
1.单切线（切线本质）
注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别
例1 （1）（2024甲理卷6）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
（2）若过原点向曲线至少可作两条切线，求实数的最大值.
变式：若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.公切线
同时与两曲线相切：一个切点或两个（两个以上）切点
试题中还经常出现公切线问题，有一个切点或分别切于两点，如图所示.这仍需要抓住切点处理.
例2 （1）（2017年天津卷节选）已知函数和的图象在公共点处有公切线.
求证：在处的导数等于.
（2）（2016年全国Ⅱ卷16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线， ．
变式：（1）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
（2）已知函数，，若存在直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的取值范围是 .
3.隐切线
试题中也常出现这样一类问题：题面上不涉及“相切”、“切线”、“切点”等字眼，但求解时却需要用到曲线的切线，求解这类“隐性”切线问题时，关键在于找出这条隐藏的切线，数形结合解决问题.找到这条切线常常用：部分隔离参数、临界极端分析问题.
例3 (2013全国2理科21)已知函数．当时，证明.
变式：已知函数满足满足.
(1)求的极值；
(2)若，求的最大值
二、练习强化
1.设，曲线在点处切处的倾斜角的取值范围为，则到曲线对称轴距离的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为，则（ ）
A. B. C. D.
3.（多选）若直线与曲线和曲线相切于同一点，则的横坐标可能为（ ）
A. B. C. D.
4.设，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
5.已知曲线与的两条公切线所成角的正切值为，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数图象上存在两条互相垂直的切线，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7.若函数，直线分别与曲线相切于点，
，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知，，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
9.已知实数满足：，其中e是自然对数的底数，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
10.在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
11.(2024新1卷)若曲线在点处的切线也是曲线的切线,则 .
12.已知，若曲线存在唯一一条公切线，则 .
13.已知函数，是曲线的一条切线．（其中为自然对数的底数）
（1）求；
（2）证明：．

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