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解析几何：椭圆复习讲义
考点目录
椭圆的定义与标准方程 椭圆的几何性质
椭圆的离心率 焦点三角形
点、直线与椭圆的位置关系 弦长问题
中点弦问题 椭圆与直线的距离问题
【知识点解析】
1. 椭圆的定义
（1）集合的定义
平面内与两个定点、的距离的和等于定值（大于）的点的轨迹叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距，记为．
长轴两个交点之间的距离叫做椭圆的长轴长，记为.
短轴两个交点之间的距离叫做椭圆的短轴长．记为.
（2）椭圆的集合描述：设点是椭圆上任意一点，点、是椭圆的焦点，则由椭圆的定义，椭圆就是集合
．
2. 椭圆的标准方程：
（1）焦点在轴上的椭圆的标准方程为，焦点为、，焦距为；
（2）焦点在轴上的椭圆的标准方程为，焦点为、，焦距为．
（3）无论焦点在轴上还是在轴上，均满足.
3.求椭圆焦点方程的方法
（1）利用定义法求椭圆的标准方程
①由焦点坐标求出，并确定方程形式.
②由椭圆的定义求出.
③由求出．（也可采用待定系数法进行求解，主要步骤可归纳为：先定型，再定量）．
（2）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的步骤(通常采用待定系数法)
①确定椭圆焦点的位置.
②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程).
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．
※若不确定焦点在哪个轴上，需进行分类讨论，或直接设为.
【例题分析】
考向一 椭圆的定义与相关概念
1．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2025·山西晋城·二模）已知分别为椭圆的左、右焦点，点为上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·广西·开学考试）设是椭圆上的动点，则点到的两个焦点的距离之和为（ ）
A．80 B．10 C．20 D．40
4．（23-24高二上·江西南昌·阶段练面直角坐标系中点满足，则点的轨迹为（ ）
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．不存在
5．（24-25高三上·山东威海·期末）设直线，点，已知点到的距离与它到的距离之比为，则（ ）
A． B．
C． D．
考向二 椭圆的标准方程
1．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆和圆，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，该动圆圆心P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山西临汾·三模）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三下·安徽合肥·阶段练习）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ．
6．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ．
7．（24-25高二下·上海徐汇·期中）一个顶点是，长轴长是短轴长2倍的椭圆标准方程是 ．
8．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知动点P到定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，则点P的轨迹方程为 ．
9．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是 .
10．（24-25高二上·陕西西安·期中）求满足下列条件的曲线的标准方程：
(1)过三点、、的圆；
(2)过两点、的椭圆．
11．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)，，焦点在y轴上；
(2)，．
(3)经过点，两点；
考向三 根据椭圆的标准方程求参数范围
1．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A．[4，5] B． C． D．
2．（24-25高二下·重庆渝中·期中）已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 .
4．（24-25高二下·上海松江·期末）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是
5．（24-25高二下·上海静安·期中）设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是 ．
6．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则＝ ．
【知识点解析】
1. 范围
对于椭圆，易知，故，即；同理．
故椭圆位于直线和所围成的矩形框里．
2. 对称性
在方程中，以代替或以代替或以代替、以代替，方程都不改变.
故椭圆关于轴、轴和原点都对称．原点为椭圆的对称中心，也称为椭圆的中心．
3. 顶点
椭圆与轴、轴分别有两个交点，这四个交点即为椭圆与它的对称轴的交点，叫做椭圆的顶点．
对于椭圆，轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴，轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴，长轴长为，短轴长为．
对于椭圆，轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴，轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴，长轴长为，短轴长为．
说明：依据椭圆的四个顶点，可以确定椭圆的具体位置．
4. 离心率
椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记为，即．范围：.
离心率能够刻画椭圆的扁平程度．椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关，越大椭圆越扁，越小椭圆越圆．
5.通径
过椭圆的焦点做垂线与椭圆交于上下两点，垂线称为通径，.
【例题分析】
1．（2025·湖南湘潭·三模）已知椭圆的离心率为，则的短轴长为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（ ）
A． B． C．1 D．
3．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为
C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时，
4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高二上·广西百色·期末·多选）已知椭圆，则下列正确的是（ ）
A．焦点在x轴 B．焦点在y轴 C．焦距是 D．焦距是2
7．（2025·陕西安康·模拟预测·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（ ）
A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为
C．点在椭圆C内 D．的值可以是6
8．（24-25高二上·河南郑州·期中）椭圆的焦距为 .
9．（23-24高二上·江西赣州·期中）椭圆的标准方程为，焦点在轴上，焦距为，则 ．
10．（24-25高三下·湖南·开学考试）椭圆的焦距为4，则 .
11．（24-25高二上·湖北·期中）椭圆的长轴长为 ．
12．（24-25高二上·广东河源·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为、，上顶点为，若，则的短轴长为 ．
【知识点解析】
1.定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记为，即．范围：.
2.意义：离心率能够刻画椭圆的扁平程度．椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关，越大椭圆越扁，越小椭圆越圆．
3.求解方法：
①直接求出椭圆的，进而求出离心率.
②构造关于的齐次方程，进而构造出关于离心率的齐次方程，进行求解.
③常见构造齐次方程方法：如果能表示边，可以用椭圆定义、勾股定理、余弦定理、公共角、补角构造方程.
如果能表示点的坐标，则可利用椭圆方程、斜率、向量等构造方程.
【例题分析】
考向一 直接求出椭圆的，进而求出离心率
1．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）若椭圆的焦距为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·广东·开学考试）若椭圆的短轴长为焦距的倍，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·广西崇左·期末）椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·四川泸州·模拟预测）已知直线经过椭圆的一个顶点，则的离心率为 .
5．（2025·河南·二模）已知椭圆的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍，则的离心率为 .
考向二 构造关于的齐次方程，进而求出离心率
1．（2024·广东广州·一模）设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·广东广州·三模）已知椭圆的左、右焦点为，过点的直线与E交于M，N两点．若，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·湖南·模拟预测）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为P，过点F的直线与C交于A，B两点（点A在x轴下方）.若，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二下·贵州·期中）已知椭圆E：的上下顶点分别为Q、P，为椭圆的右焦点，直线交椭圆E于点M，若，则椭圆E的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
8．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知F为椭圆C：的右焦点，为原点，A为C上一点，若，则C的离心率为 .
9．（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，线段与轴相交于点．若，且，则的离心率为 ．
【知识点解析】
椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点与两焦点、构成的三角形:。
性质1：周长为定值：.
性质2：当点靠近短轴端点时增大，当点靠近长轴端点时减小；与短轴端点重合时最大.
※椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当在短轴端点时顶角最大.
性质3：三角形面积：，，即与短轴端点重合时面积最大.
性质4：焦半径公式：，.
性质5：焦点三角形的内切圆：（为焦点三角形的面积）.
【例题分析】
1．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（ ）
A．的周长为6 B．面积的最大值为
C．的取值范围为 D．的最小值为
2．（24-25高二下·山西·期中）已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若的周长为12，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（ ）
A．2 B． C． D．
6．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且的内切圆半径为1，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（ ）．
A．2 B． C． D．
7．（25-26高三上·江西·开学考试）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为．直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为．若，且，则的周长为（ ）
A．24 B．28 C．32 D．36
8．（25-26高三上·江苏·阶段练习）椭圆的左顶点为，右焦点为为上一点，则的周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·湖南邵阳·模拟预测·多选）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．点纵坐标为 B．的周长为
C． D．的内切圆半径为
10．（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ）
A．若，则的面积为
B．存在点，使得
C．若直线交椭圆于另一点，则
D．使得为等腰三角形的点共有4个
11．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）椭圆的左右焦点为，直线过原点与椭圆交于，则面积的最大值为 ．
12．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，若，则点的坐标为 ．
13．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为 ．
14．（24-25高二下·江苏·开学考试）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为 ．
15．（24-25高二下·上海静安·期末）若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是 ．
16．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上．若，则的面积为 ．
【知识点解析】
1．点与椭圆的位置关系：已知点与椭圆
（1）在椭圆内 .
（2）在椭圆上 .
（3）在椭圆外 .
2．直线与椭圆的位置关系：已知直线与椭圆 ，联立得二次方程，判别式为.
（1）直线与椭圆相离 .
（2）直线与椭圆相切 .
（3）直线与椭圆相交 .
【例题分析】
1．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对
4．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若对任意实数 ，直线 与焦点在 轴上的椭圆 至少有一个交点，则实数 的取值范围是 .
5．（24-25高三上·广东·开学考试）已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是 ．
6．（24-25高二上·福建厦门·期中）若直线与椭圆没有公共点，则的取值范围为 ．
【知识点解析】
1.已知直线与椭圆 ，联立消得关于的二次方程.
当时，直线与椭圆相交于、两点.
此时.
其中于可由二次方程的韦达定理得到.
2.已知直线与椭圆 ，联立消得关于的二次方程.
当时，直线与椭圆相交于、两点.
此时.
其中于可由二次方程的韦达定理得到.
3.已知直线过椭圆的焦点，直线与椭圆相交于、两点.
则最大值为，最小值为：.
【例题分析】
1．（24-25高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（ ）
A． B． C．2 D．
2．（24-25高二上·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二上·江苏南通·期末）下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二上·浙江·期中）直线被椭圆截得的弦长为 .
6．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆C上一点，且的周长是，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且，求.
7．（24-25高三下·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于两点，为坐标原点，，若，求．
8．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）已知椭圆与椭圆的焦点相同，且的长轴长是短轴长的倍．
(1)求的方程；
(2)若过点且斜率为的直线与交于两点，求．
9．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知椭圆的离心率为．
(1)求的方程；
(2)过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程．
【知识点解析】
点差法：直线与椭圆交于两点，为弦的中点.
设，，
由
化简可得： ，即，即，化简得
【例题分析】
1．（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·山西·期末）已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且满足，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ．
6．（24-25高二上·安徽马鞍山·期中）已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为 ．
7．（24-25高二上·河北邯郸·期末）若椭圆的一条弦AB的中点为，则直线AB的斜率为 ．
8．（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为 ．
9．（24-25高二下·河南·期末）设椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标．
10．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知椭圆C：的左焦点为，过点斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于A，B两点，M为AB中点，O为坐标原点．
(1)若直线OM的斜率为，求直线l的方程；
(2)P为椭圆上的点，直线PM与x轴交于点Q，若，求的取值范围．
【知识点解析】
已知直线与椭圆不相交，点在椭圆上运动，求点到直线距离的最值：
（1）联立方程法：
设与直线平行的直线为，将直线与椭圆，化简得二次方程，令二次方程的判别式，求出与直线平行且与椭圆相切的直线，最值为切线与原直线的距离.
（2）参数方程法：
设椭圆上的点为，利用点到直线的距离公式表示出点到直线的距离，进而利用三角函数求距离的最值.
【例题分析】
1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·宁夏吴忠·二模）椭圆上的点到直线的距离的最小值为 ．
3．（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，则椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为 ．
4．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）点M是椭圆上任意点，则点M到直线的距离的最大值为 .
5．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，则点P到直线l：的最大距离为 .
1．（24-25高三上·河南周口·期末）如图所示的金烧蓝嵌珠椭圆盒嵌表来自于世纪的英国，此盒表的盒内可放化妆品或首饰，美观且实用，现收藏于故宫博物馆.该盒的上底面为椭圆，盒长，宽，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知椭圆的对称中心为，左、右焦点分别为，，过上顶点作直线交于另一点．若，则的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·河南南阳·期末）已知点，Q为曲线上任意一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·山西太原·期末）椭圆的焦距为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．（24-25高三上·江苏·期末）已知椭圆的离心率为，且过点，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·湖南永州·模拟预测）设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
7．（24-25高三上·广东·期末）若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆C：上，则c的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·江西·期末）已知椭圆()的左、右焦点分别为，圆 与C在第一象限交于点A，直线与C的另一个交点为B，若 ，则直线的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．
9．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末·多选）椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为，．一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为4，且椭圆的离心率为，上顶点为，定点，点为椭圆上的动点，动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的标准方程为 B．的最大值为
C．的最小值为3 D．的取值范围为
10．（24-25高三上·浙江金华·期末·多选）已知，为椭圆的右顶点和上顶点，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，圆的圆心在第一象限，且与轴相切于点，直线与圆的另一个交点为，直线（为坐标原点）垂直于直线，记椭圆的离心率为，则（ ）
A．若且，则
B．若，则最大值为
C．是圆的切线
D．若为线段的中点，则
11．（2025·浙江·一模·多选）已知椭圆：，直线l：.，是椭圆的左、右顶点，，是椭圆的左、右焦点，过直线l上任意一点P作椭圆的切线PM，PN，切点分别为M，N，椭圆上任意一点Q（异于，）处的切线分别交，处的切线于点，，则（ ）
A．直线MN过定点
B．，，，四点共圆
C．当时，是线段MN的三等分点
D．的最大值为9
12．（24-25高三上·湖南娄底·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，其中，直线与椭圆C交于P，Q两点，记的面积为S，若时，，则椭圆C的离心率的取值范围为 .
13．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知P是椭圆上第一象限内的点，M在y轴的正半轴上，连接PM，并延长与x轴交于点N，且M恰好为PN的中点，点P关于x轴的对称点为Q，连接QM，设直线PM，QM的斜率分别为，，若，则椭圆E的离心率为 ．
14．（24-25高三上·江苏·期末）已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为 ．
15．（24-25高三上·江西吉安·期末）在以为原点的平面直角坐标系中，过点且斜率存在的直线与椭圆：交于两点，设的中点为．
(1)求直线与的斜率之积；
(2)求面积的最大值．
16．（24-25高三上·山东枣庄·期末）从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点.点分别是椭圆的右顶点和上顶点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知是椭圆的右焦点，直线与相交于点，求的面积.
17．（2025·北京顺义·一模）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为.
(1)求的方程和短轴长；
(2)直线：与E相交于不同的两点B，C，直线，分别与直线交于点M，N.当时，求的值.
18．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知椭圆：，点在上，且的焦距为2，左焦点为，．
(1)求的方程；
(2)设为原点，为上（除左、右端点外）一点，的中点为，直线与直线：（直线不过和）交于点，过点作，交直线于点，证明：无论为何值，均有．
19．（2025·江西南昌·一模）已知椭圆的离心率，过点作直线与椭圆交于两点（在上方），当的斜率为时，点恰与椭圆的上顶点重合．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知，设直线，的斜率分别为，设的外接圆圆心为，点关于轴的对称点为．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求证：．解析几何：椭圆复习讲义
解析几何：椭圆复习讲义
考点目录
椭圆的定义与标准方程 椭圆的几何性质
椭圆的离心率 焦点三角形
点、直线与椭圆的位置关系 弦长问题
中点弦问题 椭圆与直线的距离问题
【知识点解析】
1. 椭圆的定义
（1）集合的定义
平面内与两个定点、的距离的和等于定值（大于）的点的轨迹叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距，记为．
长轴两个交点之间的距离叫做椭圆的长轴长，记为.
短轴两个交点之间的距离叫做椭圆的短轴长．记为.
（2）椭圆的集合描述：设点是椭圆上任意一点，点、是椭圆的焦点，则由椭圆的定义，椭圆就是集合
．
2. 椭圆的标准方程：
（1）焦点在轴上的椭圆的标准方程为，焦点为、，焦距为；
（2）焦点在轴上的椭圆的标准方程为，焦点为、，焦距为．
（3）无论焦点在轴上还是在轴上，均满足.
3.求椭圆焦点方程的方法
（1）利用定义法求椭圆的标准方程
①由焦点坐标求出，并确定方程形式.
②由椭圆的定义求出.
③由求出．（也可采用待定系数法进行求解，主要步骤可归纳为：先定型，再定量）．
（2）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的步骤(通常采用待定系数法)
①确定椭圆焦点的位置.
②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程).
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．
※若不确定焦点在哪个轴上，需进行分类讨论，或直接设为.
【例题分析】
考向一 椭圆的定义与相关概念
1．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【详解】由于椭圆，故椭圆长半轴长为，
故，
故选：D
2．（2025·山西晋城·二模）已知分别为椭圆的左、右焦点，点为上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，，，所以，
由椭圆的定义可知，，又，所以，，
所以．
故选：D
3．（24-25高二下·广西·开学考试）设是椭圆上的动点，则点到的两个焦点的距离之和为（ ）
A．80 B．10 C．20 D．40
【答案】D
【详解】由椭圆方程可知：椭圆的长半轴长为，
所以点到的两个焦点的距离之和为．
故选：D.
4．（23-24高二上·江西南昌·阶段练面直角坐标系中点满足，则点的轨迹为（ ）
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．不存在
【答案】A
【详解】因为，表示点到两点的距离之和为2，
又，则点的轨迹就是线段.
故选：A
5．（24-25高三上·山东威海·期末）设直线，点，已知点到的距离与它到的距离之比为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设点，则点到的距离，，
由得，，
∴点的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上的椭圆，其中，
根据椭圆定义得，.
故选：D.
考向二 椭圆的标准方程
1．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：：的圆心C为，半径，
点，，又的垂直平分线交于点M，
，
的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆，
，，
，，，
点M的轨迹方程是
故选：
2．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆和圆，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，该动圆圆心P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】圆和圆的圆心、半径分别为，，，，
由可知圆内含于圆，
设动圆半径为R，由题意可得，，两式相加可得，
故P点的轨迹是以，为焦点的椭圆，，，
所以，，
所以椭圆方程为，
故选：D.
3．（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径，
设动圆的圆心，半径，而，点在圆内，
由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且，
因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点，
长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长，
所以动圆圆心C的轨迹方程为．
故选：D
4．（2025·山西临汾·三模）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得动点到与两点的距离之和为，
且，则动点的轨迹为椭圆，
易知，，，即方程为.
故选：C.
5．（24-25高三下·安徽合肥·阶段练习）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ．
【答案】
【详解】因为，而，
所以，
则顶点的轨迹为以为焦点的椭圆（除去与共线的两点），
其中，得，
得，
由于椭圆的焦点在轴上，
则椭圆的标准方程为：，
故答案为：
6．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ．
【答案】
【详解】设，
因为，可得，
可知动点M的轨迹是以为焦点的椭圆，
且，则，
所以动点M的轨迹方程是.
故答案为：.
7．（24-25高二下·上海徐汇·期中）一个顶点是，长轴长是短轴长2倍的椭圆标准方程是 ．
【答案】或
【详解】当是短轴端点时，可知椭圆焦点在轴上，
此时短轴长为，长轴长，即，
所以椭圆方程为；
当是长轴端点时，可知椭圆焦点在轴上，
此时长轴长为，短轴长，即，
所以椭圆方程为；
故答案为：或.
8．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知动点P到定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，则点P的轨迹方程为 ．
【答案】
【详解】设动点，由点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，
得，即，
整理得：，点P的轨迹方程为.
故答案为：
9．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是 .
【答案】
【详解】设椭圆标准方程为：，
由已知且，解得，，
所以标准方程为：.
故答案为：
10．（24-25高二上·陕西西安·期中）求满足下列条件的曲线的标准方程：
(1)过三点、、的圆；
(2)过两点、的椭圆．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设圆的方程为，
由题可得，解得，
所以圆的一般方程为，
化为标准方程得.
（2）设椭圆方程为，
由题可得，解得，
所以所求椭圆标准方程为.
11．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)，，焦点在y轴上；
(2)，．
(3)经过点，两点；
【答案】(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）因为，，所以，
因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：；
（2）因为，，所以，
因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或；
（3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
考向三 根据椭圆的标准方程求参数范围
1．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A．[4，5] B． C． D．
【答案】D
【详解】方程变形可得，
因为表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得.
故选：D
2．（24-25高二下·重庆渝中·期中）已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设，因为，所以，
整理得，因为点是的中点，所以，
则，又，得到，
整理得，则点的轨迹方程为，故C正确.
故选：C.
3．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，所以.
故答案为：.
4．（24-25高二下·上海松江·期末）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是
【答案】
【详解】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆
则有：
解得：
故答案为：.
5．（24-25高二下·上海静安·期中）设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是 ．
【答案】
【详解】由题意可得：
，解得：.
所以的取值围为：.
故答案为：.
6．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则＝ ．
【答案】9
【详解】因为椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则，，，
所以，解得，
故答案为：9
【知识点解析】
1. 范围
对于椭圆，易知，故，即；同理．
故椭圆位于直线和所围成的矩形框里．
2. 对称性
在方程中，以代替或以代替或以代替、以代替，方程都不改变.
故椭圆关于轴、轴和原点都对称．原点为椭圆的对称中心，也称为椭圆的中心．
3. 顶点
椭圆与轴、轴分别有两个交点，这四个交点即为椭圆与它的对称轴的交点，叫做椭圆的顶点．
对于椭圆，轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴，轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴，长轴长为，短轴长为．
对于椭圆，轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴，轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴，长轴长为，短轴长为．
说明：依据椭圆的四个顶点，可以确定椭圆的具体位置．
4. 离心率
椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记为，即．范围：.
离心率能够刻画椭圆的扁平程度．椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关，越大椭圆越扁，越小椭圆越圆．
5.通径
过椭圆的焦点做垂线与椭圆交于上下两点，垂线称为通径，.
【例题分析】
1．（2025·湖南湘潭·三模）已知椭圆的离心率为，则的短轴长为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】依题意，，即，则的焦点在轴上，
因此，所以，故的短轴长为.
故选：B．
2．（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】由题可知，所以.
故选：A.
3．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长为2
B．椭圆的焦点坐标为
C．椭圆关于直线对称
D．当点在椭圆上时，
【答案】D
【详解】对于A、B，由得，
∴长轴长，焦点为.故A、B不正确；
对于C，将互换，得椭圆与原椭圆方程不相同，故椭圆不关于直线对称.故C不正确；
对于D，因为点在椭圆上，则，∴，故D正确.
故选：D
4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为直线，
令，则，所以，
令，则，所以，
又因为，所以，
则该椭圆的离心率.
故选：B.
5．（2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由点在椭圆的内部，
可得：，且，
解得：或，
所以实数的取值范围为，
故选：B
6．（24-25高二上·广西百色·期末·多选）已知椭圆，则下列正确的是（ ）
A．焦点在x轴 B．焦点在y轴 C．焦距是 D．焦距是2
【答案】BD
【详解】方程可化为，
表示焦点在y轴的椭圆，A错误，B正确；
由方程可得，，，
故焦距，C错误，D正确.
故选：BD.
7．（2025·陕西安康·模拟预测·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（ ）
A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为
C．点在椭圆C内 D．的值可以是6
【答案】BC
【详解】由题意有，所以椭圆方程为，所以，所以椭圆的长轴长为，故A错误；
离心率为，故B正确；
又因为，故C正确；
设，，
所以，
又，所以，又，故D错误，
故选：BC.
8．（24-25高二上·河南郑州·期中）椭圆的焦距为 .
【答案】
【详解】因为，即，
可知，则，
所以椭圆的焦距为.
故答案为：.
9．（23-24高二上·江西赣州·期中）椭圆的标准方程为，焦点在轴上，焦距为，则 ．
【答案】16
【详解】椭圆的标准方程为，焦距为，焦点在轴上，
，
，
故答案为：16．
10．（24-25高三下·湖南·开学考试）椭圆的焦距为4，则 .
【答案】8
【详解】当时，椭圆的焦距为，得，不符合题意；
当时，椭圆的焦距为，得，符合题意.
故答案为：.
11．（24-25高二上·湖北·期中）椭圆的长轴长为 ．
【答案】
【详解】根据椭圆方程可知，
所以长轴长为，
故答案为：
12．（24-25高二上·广东河源·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为、，上顶点为，若，则的短轴长为 ．
【答案】
【详解】设，易知，
结合，可知为等腰直角三角形，
所以，故，
所以，所以的短轴长为．
故答案为：.
【知识点解析】
1.定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记为，即．范围：.
2.意义：离心率能够刻画椭圆的扁平程度．椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关，越大椭圆越扁，越小椭圆越圆．
3.求解方法：
①直接求出椭圆的，进而求出离心率.
②构造关于的齐次方程，进而构造出关于离心率的齐次方程，进行求解.
③常见构造齐次方程方法：如果能表示边，可以用椭圆定义、勾股定理、余弦定理、公共角、补角构造方程.
如果能表示点的坐标，则可利用椭圆方程、斜率、向量等构造方程.
【例题分析】
考向一 直接求出椭圆的，进而求出离心率
1．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）若椭圆的焦距为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由得，
又，
所以，，得，
所以．
故选：A．
2．（25-26高三上·广东·开学考试）若椭圆的短轴长为焦距的倍，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意有，
所以.
故选：B.
3．（24-25高二下·广西崇左·期末）椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题设，椭圆参数，则离心率.
故选：C
4．（2025·四川泸州·模拟预测）已知直线经过椭圆的一个顶点，则的离心率为 .
【答案】/
【详解】令，得，显然点不可能是的一个顶点，
令，得，所以点是的一个顶点，
所以，故椭圆的离心率.
故答案为：
5．（2025·河南·二模）已知椭圆的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍，则的离心率为 .
【答案】/
【详解】设椭圆的半焦距为，由题意可得，整理得，因此，所以的离心率为.
故答案为：.
考向二 构造关于的齐次方程，进而求出离心率
1．（2024·广东广州·一模）设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令椭圆半焦距为c，依题意，，由，得，
则，而点在椭圆上，于是，解得，
所以的离心率为.
故选：A
2．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，
因为为线段的中点，所以，
由，两式相减可得：，
整理得，即，
所以，则，即椭圆的焦点在轴上，
即，则，
所以.
故选：B.
3．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，设，如图所示，
由椭圆的定义可知，，则，
同理，则，
因为，则，
则，化简可得，
则，则（舍去）或，
所以，所以为椭圆的上（或下）顶点，
又，
所以在中，，解得，即.
故选：A
4．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，则，，
由，可得，
，所以点为椭圆的上顶点或下顶点，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，即，.
故选：B.
5．（2025·广东广州·三模）已知椭圆的左、右焦点为，过点的直线与E交于M，N两点．若，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设的平分线交于点D，设
则，
所以，
而
设，则，于是﹐
所以，
在，由余弦定理可得：﹐
则，则，
所以椭圆离心率，
故选：C．
6．（2025·湖南·模拟预测）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为P，过点F的直线与C交于A，B两点（点A在x轴下方）.若，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图：
易知：，，所以.
因为，所以直线的斜率为：.
又直线经过点，所以直线的方程为：.
将代入椭圆方程：，得，
整理得：.
设，，则，.
所以.
所以.
所以.
又，
所以.
化简得：
所以，即.
所以，即椭圆的离心率为.
故选：A
7．（24-25高二下·贵州·期中）已知椭圆E：的上下顶点分别为Q、P，为椭圆的右焦点，直线交椭圆E于点M，若，则椭圆E的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，，，则，
直线方程为，即，
与椭圆E：联立消y得，所以，
所以，
因为，所以，即，
所以，所以，
即，所以，所以，所以，所以（负根舍去）.
故选：B
8．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知F为椭圆C：的右焦点，为原点，A为C上一点，若，则C的离心率为 .
【答案】/
【详解】设为椭圆C的左焦点，由椭圆的定义，得，
又，.
则在和中，
由余弦定理，得，
化简得，所以离心率.
故答案为：

9．（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，线段与轴相交于点．若，且，则的离心率为 ．
【答案】/
【详解】已知，设.
根据椭圆的定义： ，且，
则，得到.
在中，根据余弦定理，
可得：，
化简得到，即，
则，则或，
当，则，
在中，，，，，
根据余弦定理，
可得： ，
可得：，则，
可得.
当时，，不合题意，舍去，
故答案为：.
【知识点解析】
椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点与两焦点、构成的三角形:。
性质1：周长为定值：.
性质2：当点靠近短轴端点时增大，当点靠近长轴端点时减小；与短轴端点重合时最大.
※椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当在短轴端点时顶角最大.
性质3：三角形面积：，，即与短轴端点重合时面积最大.
性质4：焦半径公式：，.
性质5：焦点三角形的内切圆：（为焦点三角形的面积）.
【例题分析】
1．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（ ）
A．的周长为6 B．面积的最大值为
C．的取值范围为 D．的最小值为
【答案】D
【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距，
对于A，的周长为，A正确；
对于B，点到直线距离的最大值为，则面积的最大值为，B正确；
对于C，，解得，C正确；
对于D，由，得，D错误.
故选：D
2．（24-25高二下·山西·期中）已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】易知的周长为.
因为所以，
故的周长为.
故选：A
3．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若的周长为12，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意及椭圆的定义可知的周长为：，
则，又，所以，
则离心率.
故选：D.
4．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，即.
设的内切圆半径为，则由的内切圆的面积为，
可得其内切圆的半径.
在中，根据椭圆的定义，
又，由余弦定理得
，
解得，
所以
即.
又，得，故，
由正弦定理知的外接圆半径为，
所以的外接圆的面积为.
故选：D.
5．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，不妨令分别为椭圆的左、右焦点，由，得，
所以，所以．
设的内切圆半径为，点的纵坐标为，
根据面积相等得，
所以，解得．

故选：C.
6．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且的内切圆半径为1，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（ ）．
A．2 B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，不妨令，分别为椭圆C的左、右焦点，
由，得，，
，，
所以．
设的内切圆半径为r，
因为，
所以，得．

故选：B.
7．（25-26高三上·江西·开学考试）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为．直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为．若，且，则的周长为（ ）
A．24 B．28 C．32 D．36
【答案】B
【详解】由题意，，则，
所以直线的方程为，
联立，解得或，即，
则，，
由，则，则，
则，即，
则，整理得，即，
又，则，即，
则，，
则直线的方程为，而椭圆，
联立，解得或，即，
则，解得，则，
所以的周长为.
故选：B.
8．（25-26高三上·江苏·阶段练习）椭圆的左顶点为，右焦点为为上一点，则的周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于椭圆，根据椭圆的标准方程，
其中为长半轴长,为短半轴长,为半焦距且
可得，则,，所以
已知椭圆的左顶点，右焦点
根据椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，且（为椭圆的左焦点）
椭圆的左焦点,则,即
的周长,其中
所以
根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，可得
,即
所以,
又因为当共线时，
此时或，所以，D正确.
答选：D
9．（2025·湖南邵阳·模拟预测·多选）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．点纵坐标为 B．的周长为
C． D．的内切圆半径为
【答案】BCD
【详解】对于A选项，在椭圆中，，，，
，则、，
设点，，，故选项A错误；
对于B选项，由椭圆的定义可知，
的周长为，故选项B正确；
对于C选项，设，，可得，
由余弦定理可得
，
所以，
所以，解得，故选项C正确，
对于D选项，设的内切圆半径为，
则，
，故选项D正确.
故选：BCD.
10．（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ）
A．若，则的面积为
B．存在点，使得
C．若直线交椭圆于另一点，则
D．使得为等腰三角形的点共有4个
【答案】BC
【详解】由题意知，，，，
对于A，由焦点三角形面积公式得，A错误；
对于B，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，(为坐标原点)，则为直角，B正确；
对于C，由焦半径性质可得，，C正确；
对于D，焦半径范围为，即．
若是以为顶角顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个；
若是以为顶角顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个；
同理，若是以为顶角顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个；
故使得为等腰三角形的点共有6个，D错误．
故选：BC.
11．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）椭圆的左右焦点为，直线过原点与椭圆交于，则面积的最大值为 ．
【答案】
【详解】
因为椭圆是关于原点成中心对称，所以，
所以与面积相等，当为短轴的顶点时面积的最大值，
且最大面积为，
故答案为：
12．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，若，则点的坐标为 ．
【答案】或
【详解】法一：由椭圆方程可得，，则．
在焦点三角形中，因为，，
由余弦定理得，，
即，所以．
设点，因为，
所以，代入椭圆方程得到，
即点的坐标为或．
法二：设点，则椭圆焦点三角形的面积为．
因为，，，
所以，代入椭圆方程得到，即点的坐标为或．
故答案为：或．
13．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【详解】设，由椭圆的定义可得，
直线的斜率为2，则，
又，中，，
设，有，
由，得，
又，消去得，
即，所以椭圆的离心率.
故答案为：
14．（24-25高二下·江苏·开学考试）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为 ．
【答案】
【详解】如图所示，延长，交的延长线于点，
因为为的平分线，⊥，由三线合一得为等腰三角形，
即，为的中点，
因为为的中点，所以为的中位线，
故，设，
由椭圆定义知，，
由得，解得，
故，，
在中，由余弦定理得
，
故，
故.
故答案为：
15．（24-25高二下·上海静安·期末）若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是 ．
【答案】1
【详解】由题意设两个圆锥曲线的焦距为，
椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，
由它们有相同的焦点，得到，即．
不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，①
由椭圆的定义，②
得，
即有，
又，
可得，
，即，
则的形状是直角三角形
即有的面积为.
故答案为：1.
16．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上．若，则的面积为 ．
【答案】4
【详解】如图所示，椭圆，可得，，则，因为点P在椭圆C上，可得，又由，可得．联立方程组，可得，所以的面积为．
故答案为：4.
【知识点解析】
1．点与椭圆的位置关系：已知点与椭圆
（1）在椭圆内 .
（2）在椭圆上 .
（3）在椭圆外 .
2．直线与椭圆的位置关系：已知直线与椭圆 ，联立得二次方程，判别式为.
（1）直线与椭圆相离 .
（2）直线与椭圆相切 .
（3）直线与椭圆相交 .
【例题分析】
1．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】联立方程消去y后整理为，
有，
整理可得，由，有，
可得．
故选:B．
2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC，
当时，点在椭圆内部，所以直线与椭圆必有公共点.
故选：D
3．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对
【答案】A
【详解】由消去y并整理得：，显然，
因此方程组有两个不同的解，
所以与相交.
故选：A
4．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若对任意实数 ，直线 与焦点在 轴上的椭圆 至少有一个交点，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【详解】直线，即，直线恒过定点，
直线与椭圆至少有1个公共点等价于点在椭圆内或在椭圆上．
所以，即，又，故．
故答案为：.
5．（24-25高三上·广东·开学考试）已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是 ．
【答案】
【详解】将代入，得，
则，解得．
因为C的长轴长为，所以C的长轴长的取值范围是．
故答案为：.
6．（24-25高二上·福建厦门·期中）若直线与椭圆没有公共点，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由，可得，
因为直线与椭圆没有公共点，
故，故或，
则的取值范围为，
故答案为：.
【知识点解析】
1.已知直线与椭圆 ，联立消得关于的二次方程.
当时，直线与椭圆相交于、两点.
此时.
其中于可由二次方程的韦达定理得到.
2.已知直线与椭圆 ，联立消得关于的二次方程.
当时，直线与椭圆相交于、两点.
此时.
其中于可由二次方程的韦达定理得到.
3.已知直线过椭圆的焦点，直线与椭圆相交于、两点.
则最大值为，最小值为：.
【例题分析】
1．（24-25高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【详解】解：在中，，，
所以，即，
故左焦点为，而，
故直线的方程为，
联立得，
，设，，
由韦达定理得，，
则由弦长公式得．
故选：B．
2．（24-25高二上·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，线段为椭圆的通径，
所以.
故选：D
3．（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，∴，即，
，∴，
联立方程组得，整理得，
设，，∴，，
.
故选：A.
4．（24-25高二上·江苏南通·期末）下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：易知椭圆关于x轴、y轴、原点对称，
直线与直线关于x轴对称，
直线与直线关于原点对称，
所以椭圆被直线、、所截得的弦长相等，故排除B、C；
根据椭圆的对称性可知原点到直线的距离越远，直线被椭圆截得的弦长越小，
过原点比到原点的距离远，
故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要短，故排除D，
故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要长，
故选：
5．（24-25高二上·浙江·期中）直线被椭圆截得的弦长为 .
【答案】
【详解】由，得，
解得或，则或，
所以直线被椭圆截得的弦长为.
故答案为：.
6．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆C上一点，且的周长是，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意可得，
解得，，所以，
所以椭圆C的方程为.
（2）由题意可知直线l的斜率存在，设为k，所以直线l的方程为.
设，，
由，得，
所以，，由得.
由，
得，满足，所以，，
所以.
7．（24-25高三下·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于两点，为坐标原点，，若，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为短轴长为，故．
又离心率为，由且，
故，
故椭圆方程为：．
（2）如图，由题设直线的斜率存在，故设直线，
即，令，
由可得．
故，即，
且，
则．
又点到直线距离，点到直线距离，
故
，
故，
即，解得，
故．
8．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）已知椭圆与椭圆的焦点相同，且的长轴长是短轴长的倍．
(1)求的方程；
(2)若过点且斜率为的直线与交于两点，求．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由题意，椭圆的焦点为和，即，
且，
，解得，
，，
椭圆的方程为.
（2）
由题意，直线的斜率，其方程为，
联立可得，
设，
根据韦达定理，则有，
.
所以.
9．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知椭圆的离心率为．
(1)求的方程；
(2)过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由题意知，椭圆的离心率为，
可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，椭圆，可得，所以右焦点，
由题意知，直线的斜率不为零，设的方程为，
联立方程组，整理得到，
可得，
设，则，
所以，
又由点到的距离，
所以的面积，
解得或（舍），所以，
所以的方程为或，
即直线的方程为或．

【知识点解析】
点差法：直线与椭圆交于两点，为弦的中点.
设，，
由
化简可得： ，即，即，化简得
【例题分析】
1．（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设，则，
两式相减得：（*），
设弦的中点坐标为，则，
因直线的斜率为1，即，
分别代入上式（*），整理得：.
将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是，点在椭圆外，不合要求.
故选：A.
2．（24-25高三上·山西·期末）已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且满足，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题设，，即，可得，
过的直线与椭圆交于且满足，则为线段的中点，
所以，，又，，
则，即，
所以，
故直线的方程为，即.
故选：C.
3．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】椭圆，由，得点在椭圆内，设，
则，两式相减得，
而，因此，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
故选：A
4．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，，因为，两点在曲线上，所以有：
用式减去式可得：
因为点是线段的中点，根据中点坐标公式：可得：
,即，.
代入可得：
化简得：，可得：
而就是直线的斜率，所以直线的斜率为.
故选：B.
5．（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ．
【答案】
【详解】设,
则，两式作差可得：，
因为为线段的中点，所以，
则，
所以直线的方程为，
联立，则，
所以，
故答案为：
6．（24-25高二上·安徽马鞍山·期中）已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为 ．
【答案】
【详解】由题意设椭圆的标准方程为，
联立，消元得，
设两个交点分别为，，则弦中点横坐标为，
则结合韦达定理得，即①，
因为焦点，所以有②，
由①②得，
所以椭圆方程为，
故答案为：
7．（24-25高二上·河北邯郸·期末）若椭圆的一条弦AB的中点为，则直线AB的斜率为 ．
【答案】/0.4
【详解】易知，，设椭圆中心为O，
不妨设坐标为，则，
两式作差可得：，
设，OM的斜率，
则，解得．
故答案为：.
8．（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为 ．
【答案】
【详解】设，，依题意，点，在椭圆上，
所以，两式相减得，，
即，变形得，
因为的中点为，所以，，
设直线的斜率为，
所以，
所以直线的方程为，化为斜截式方程为.
故答案为：.
9．（24-25高二下·河南·期末）设椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因椭圆过点，
则有，解得，
所以椭圆C的标准方程为：；
（2）依题意，直线的方程为：，由消去y并整理得：，
显然，设，则，
因此线段中点的横坐标，其纵坐标，
所以线段中点的坐标为.

10．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知椭圆C：的左焦点为，过点斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于A，B两点，M为AB中点，O为坐标原点．
(1)若直线OM的斜率为，求直线l的方程；
(2)P为椭圆上的点，直线PM与x轴交于点Q，若，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）椭圆C：的左焦点为，设直线的方程为，，
由消去并整理得，
由M为弦AB的中点，得，，
由直线OM的斜率为，得，解得，
所以直线l的方程为，即.
（2）由（1）知，令点关于轴对称点为，
直线交椭圆于点，设，
由，得，于是，
令，则，解得，
，令，则，
令函数，求导得，
而，则，
函数在上单调递增，，即，即；
令函数，求导得，
而，则，
函数在上单调递减，，即，即，
所以的取值范围是.
【知识点解析】
已知直线与椭圆不相交，点在椭圆上运动，求点到直线距离的最值：
（1）联立方程法：
设与直线平行的直线为，将直线与椭圆，化简得二次方程，令二次方程的判别式，求出与直线平行且与椭圆相切的直线，最值为切线与原直线的距离.
（2）参数方程法：
设椭圆上的点为，利用点到直线的距离公式表示出点到直线的距离，进而利用三角函数求距离的最值.
【例题分析】
1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解法一：设与直线平行的直线为，
联立整理得，
令，解得或，所以与距离，
当时，最小，即点到直线的最小距离是.
解法二：设椭圆上点，则点到直线距离
，
其中，当时，，
故选:C.
2．（2025·宁夏吴忠·二模）椭圆上的点到直线的距离的最小值为 ．
【答案】
【详解】方法一：切线法，设直线与直线的距离为，
将代入，得关于的方程，
所以，解得，
当时，，即所求最小值．
方法二：参数法 设椭圆上任意一点为，，
则点到直线的距离，
当，即时，.
故答案为：.
3．（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，则椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为 ．
【答案】
【详解】由椭圆，可得，
故直线AB的方程为，与AB平行且与椭圆相切的直线可设为，
代入椭圆方程整理，得，
则，解得，
当时，与之间的距离为；
当时，与间的距离为，
故椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为，
故答案为：
4．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）点M是椭圆上任意点，则点M到直线的距离的最大值为 .
【答案】
【详解】设与直线平行的直线与椭圆相切，
联立得，,
则，
解得或，
由椭圆和的位置关系，取离直线远的切线，
此时切点M是椭圆上到直线的距离最大的点，
等于两平行直线的距离，
故答案为：
5．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，则点P到直线l：的最大距离为 .
【答案】/
【详解】设直线y＝x＋m与椭圆相切，由得13x2＋18mx＋9m2－36＝0，
∴Δ＝（18m）2－4×13（9m2－36）＝0，解得m＝±，
切线方程为y＝x＋和y＝x－，与l距离较远的是y＝x－，
∴所求最大距离为d＝＝.
故答案为：
1．（24-25高三上·河南周口·期末）如图所示的金烧蓝嵌珠椭圆盒嵌表来自于世纪的英国，此盒表的盒内可放化妆品或首饰，美观且实用，现收藏于故宫博物馆.该盒的上底面为椭圆，盒长，宽，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由已知得，设椭圆方程为，
则，，
所以该椭圆离心率为.
故选：C
2．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知椭圆的对称中心为，左、右焦点分别为，，过上顶点作直线交于另一点．若，则的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
如图所示，设椭圆方程为，
易知，，
则，，
又，则，
则，易知，即，
由，，三点共线，
则，所以，则，
即，又在椭圆上，即，即，
则，
故选：C.
3．（24-25高三上·河南南阳·期末）已知点，Q为曲线上任意一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】为曲线上任意一点，可设，
所以
当时，最大.
故选：C.
4．（24-25高三上·山西太原·期末）椭圆的焦距为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】由，可得，
即，即，
即椭圆的焦距为
故选：B
5．（24-25高三上·江苏·期末）已知椭圆的离心率为，且过点，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得，解得，
故椭圆方程为，
故选：A
6．（2025·湖南永州·模拟预测）设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【详解】由题，又，.
，即（t为参数），
取上顶点时最大，此时.
不会为直角，只有当或是直角才符合题意，
所以由对称性可知满足是直角三角形的点P的个数为4.
故选：C.
7．（24-25高三上·广东·期末）若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆C：上，则c的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由对称性知，四个顶点必在直线上，
由于C在y轴上的两顶点距离为2，
故正方形的边长不可能大于或等于2，
又因为正方形的边长为整数，故其只能为1，
因此点在C上，代入C的方程得，
解得，故C：，
故C的离心率为．
故选：D
8．（24-25高三上·江西·期末）已知椭圆()的左、右焦点分别为，圆 与C在第一象限交于点A，直线与C的另一个交点为B，若 ，则直线的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【详解】由知为圆的直径，所以，
由题设，若，则，故，
故，而，
故，解得，
则，故直线的斜率为.
故选：B
9．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末·多选）椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为，．一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为4，且椭圆的离心率为，上顶点为，定点，点为椭圆上的动点，动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的标准方程为 B．的最大值为
C．的最小值为3 D．的取值范围为
【答案】ACD
【详解】
对于选项A，由题意可知，，即，
又，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为，故A正确；
对于选项B，因为，设，且，
则，
所以的最大值为，故B错误；
对于选项C，因为，
当且仅当三点共线时等号成立，取到最小值，
由，，，
所以，
所以的最小值为3，故C正确；
对于选项D，设切点为，由椭圆的光学性质可知，三点共线，
所以，
所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，
则表示点到直线距离的倍，
圆心到直线距离为，
所以点到直线距离最大值为，最大值为，
所以的取值范围为,故D正确.
故选：ACD.
10．（24-25高三上·浙江金华·期末·多选）已知，为椭圆的右顶点和上顶点，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，圆的圆心在第一象限，且与轴相切于点，直线与圆的另一个交点为，直线（为坐标原点）垂直于直线，记椭圆的离心率为，则（ ）
A．若且，则
B．若，则最大值为
C．是圆的切线
D．若为线段的中点，则
【答案】ACD
【详解】对于A，设，因为且，则，
，故A正确；
对于B，由椭圆的定义可得，由得，
由余弦定理可得
，当且仅当时等号成立.
所以，最大值为，故B不正确；
对于C，由圆与轴相切于点，得，因为直线（为坐标原点）垂直于直线，
由圆的性质知为的垂直平分线，得，所以≌，
所以，所以是圆的切线，故C正确；
对于D，因为为线段的中点，所以，又，
所以，即，所以，故D正确.
故选：ACD.
11．（2025·浙江·一模·多选）已知椭圆：，直线l：.，是椭圆的左、右顶点，，是椭圆的左、右焦点，过直线l上任意一点P作椭圆的切线PM，PN，切点分别为M，N，椭圆上任意一点Q（异于，）处的切线分别交，处的切线于点，，则（ ）
A．直线MN过定点
B．，，，四点共圆
C．当时，是线段MN的三等分点
D．的最大值为9
【答案】ABD
【详解】
对于A，根据椭圆极点、极线定义，直线l关于椭圆存在极点，即为直线MN的定点（证明后续提供），
设极点为，则直线l的方程为，又由于直线l的方程为：，
故直线l关于椭圆的极点（定点）为，故A正确；
对于B，设，则Q点处的切线方程为，令，得，，
而，故，同理，即四点共圆，故B正确；
对于C，当时，直线MN的方程为，可以验证此时有，故C不正确；
对于D，由圆的相交弦定理和椭圆的光学性质可知，
等号在Q为短轴端点时取到，故D正确.
故选：ABD.
12．（24-25高三上·湖南娄底·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，其中，直线与椭圆C交于P，Q两点，记的面积为S，若时，，则椭圆C的离心率的取值范围为 .
【答案】
【详解】连接，，由题意得，，
所以四边形为矩形，所以，故，
又，由勾股定理得，
即，
则，故，
即，即，解得，
又点P在直线上，且，所以，即，
所以，，解得，
综上，椭圆C的离心率的取值范围是.
13．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知P是椭圆上第一象限内的点，M在y轴的正半轴上，连接PM，并延长与x轴交于点N，且M恰好为PN的中点，点P关于x轴的对称点为Q，连接QM，设直线PM，QM的斜率分别为，，若，则椭圆E的离心率为 ．
【答案】/
【详解】设，则，由M恰好为PN的中点，则,
则，，则，
由，则，则.
故答案为：.
14．（24-25高三上·江苏·期末）已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为 ．
【答案】
【详解】
如图所示，不妨设在第一象限，则，因，则，
在中，因，且由，可知点B是的中点，
则得，且，
因为，平分，故，
故为等腰直角三角形，，
由题意知，则，即，
根据椭圆的定义可得，
联立，解得，
在直角中，即，
化简得，又因，两者联立解得，
故椭圆标准方程为.
故答案为：.
15．（24-25高三上·江西吉安·期末）在以为原点的平面直角坐标系中，过点且斜率存在的直线与椭圆：交于两点，设的中点为．
(1)求直线与的斜率之积；
(2)求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可设直线：，，．
联立，消去，得．
当，即时，有，．
∴，，即，
可得，∴．
（2）由（1）可知．
又点O到直线l的距离，∴的面积．
设，则，∵，∴，
，当且仅当，即时等号成立，
∴的面积最大值为．
16．（24-25高三上·山东枣庄·期末）从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点.点分别是椭圆的右顶点和上顶点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知是椭圆的右焦点，直线与相交于点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设直线的方程为，代入椭圆，
解得点的坐标是.
因为，且，得.
又因为，所以.
因为，所以.
得.
所以，椭圆的方程为.
（2）由题意知，，直线的斜率为，
则直线的方程为，即.
由，消去并整理得，
解得（舍去）或，此时，
故点的坐标为
所以.
又由题知，点的坐标为.
设点到直线的距离为，
则.
故.
17．（2025·北京顺义·一模）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为.
(1)求的方程和短轴长；
(2)直线：与E相交于不同的两点B，C，直线，分别与直线交于点M，N.当时，求的值.
【答案】(1)椭圆的方程为，短轴长为
(2)
【详解】（1）已知椭圆 的标准方程为：，
因为 是椭圆的一个顶点，所以。又离心率为，解得，
所以，解得，
所以椭圆的方程为，短轴长为；
（2）将直线的方程代入椭圆的方程得，
可得，整理得，
设直线与椭圆的交点为和，
所以，
直线的方程为：，与直线联立求得交点的坐标为)，
直线的方程为：，与直线联立求得交点的坐标为，
因为，即，所以，
因为 和 ，代入得，
化简，
展开分子
，
所以，
所以
，
又，
所以，整理得，解得.
18．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知椭圆：，点在上，且的焦距为2，左焦点为，．
(1)求的方程；
(2)设为原点，为上（除左、右端点外）一点，的中点为，直线与直线：（直线不过和）交于点，过点作，交直线于点，证明：无论为何值，均有．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可知，故，则两焦点的坐标为，．
由椭圆的定义得，故，
故，故C的方程为．
（2）
证明：由（1）得．设，，
直线的方程为，
联立方程组，得，
易知恒成立，由韦达定理得，故，
代入直线得，又是的中点，故，
故直线的方程为，又直线与直线交于点，故，
故，又因，故，故，
故直线的方程为，
因直线与直线交于点，故，
故，又，故，
故．设直线交直线于点，直线交于点,
故无论为何值，均有.
19．（2025·江西南昌·一模）已知椭圆的离心率，过点作直线与椭圆交于两点（在上方），当的斜率为时，点恰与椭圆的上顶点重合．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知，设直线，的斜率分别为，设的外接圆圆心为，点关于轴的对称点为．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求证：．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）0；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）当l的斜率为时，直线，与轴交点为，故，
∵，∴，
∴椭圆的标准方程为.
（2）（ⅰ）由题意得，直线斜率存在且不为，设直线，
联立方程消去得：，
∴．
∴，
∵，
∴．
（ⅱ）解法一：∵，中点坐标为，
∴垂直平分线方程为，
由得，垂直平分线方程为①．
同理得，垂直平分线方程为②．
由可得，即，
①+②得：，
∴，
由②-①得：，
∵直线过点，∴，即，
∴，故，
∴，
∵，∴，故．
解法二：设圆，
∵在圆上，∴
∵直线与圆交于，
∴联立得（*），其中是方程（*）的两根．
由（ⅰ）可知是方程的两根，
此两方程为同解方程，则有，
解得，
∴圆心，
∴，
∵，∴，
∴．
（北京）股份有限公司
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