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7.4 数学建模活动：周期现象的描述
一、完整的数学建模活动的过程
完整的数学建模活动一般要经历选题、开题、做题、结题四个过
程．选题是指根据要求选定合适的研究对象的过程，开题是指讨论
与确定建模步骤的过程，做题是指按照讨论的步骤进行实际建模的
过程，结题是指总结与交流的过程．
二、三角函数模型应用问题的解题步骤
三角函数模型应用问题即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再
求出相应的三角函数在某处的函数值，进而使实际问题得到解决．
步骤可记为：审读题意 建立三角函数模型 根据题意求出某处的
三角函数值 解决实际问题．
这里的关键是建立三角函数模型，一般先根据题意设出函数，再利
用数据求出待定的系数，然后写出具体的函数解析式.
三、三角函数模型的拟合应用
可以利用搜集到的数据，作出相应的散点图，通过观察散点图并进
行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来
解决相应的实际问题．
四、三角函数模型的作用及应用
1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来
研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥着重要
作用．
2.在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数
来表示物体运动的位移随时间 的
变化规律，如下表：
符号 名称 含义
简谐运动的振幅 当物体运动时离开平衡位置
的最大距离
简谐运动的周期 物体往复运动一次所需的时
间
简谐运动的频率 单位时间内物体往复运动的
次数
一、周期现象的描述实例
1.观察实际情景，发现和提出问题
风筝冲浪是一项借助充气风筝，脚踩冲浪板的水上运动，十分惊险
刺激.某风筝冲浪队为保证队员安全，规定在一天中的 时且水
深不低于1.05米的时候进行训练，那么一天中在什么时间段组织训练，
才能保证队员安全？
2.收集数据
在某个观测点观测到该处水深是随着时刻 ，单位：
时)呈周期性变化的，某天各时刻的水深数据的近似值如下表：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
3.分析数据
解：根据表中数据画出散点图，如图所示．
4.建立模型
解：由散点图知，可选
作为函数模型，且， ．
，， ，
又函数的图象经过点 ，
，
，， ， ，
故 ．
5.检验模型
解：根据收集到的数据，可以知道这个函数模型与实际数据基本吻合．
6.求解问题
解：令，得 ，
)，
)．
又，或 ，故一天中在5时至7时以
及11时至18时两个时间段组织训练，才能保证队员安全．
二、数学建模活动研究报告
建立摩天轮匀速旋转模型解决实际问题
___年级____班
研究报告：____年____月____日
课题名称 游乐场中的摩天轮匀速旋转模型
课题组成员及分工
实际 问题 如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分
钟，其中心距离地面 米，摩天轮半径为40米．如果
你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的
变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下
列问题：
___________________________________
续表
实际 问题 （1）求出你与地面的距离（单位：米）关于时间
（单位：分钟）的函数解析式；
（2）当你第四次距离地面 米时，用了多长时间
续表
建立函数模型 _____________________________________
分析与解答
根据题意得，，，故得到实际问题的模型.
（1）由周期为12分钟，可知，即，
所以．
续表
分析与解答
指导教师审核意见
（2）令，得，所以 ,或 ，，解得,或,，
故第四次距离地面米时，用时为.
续表
1.某市某房地产中介公司对本市一楼盘今年的房价做了统计与预测，
发现每个季度的平均单价（每平方米的价格，单位：元）与第 季
度之间近似满足 ，已知第一、
二季度的平均单价如下表所示：
1 2 3
10 000 9500 ？
则此楼盘第三季度的平均单价大约是( )
A.10 000元 B.9500元 C.9000元 D.8500元
√
[解析] 因为，
所以当 时，；
当 时，.
不妨取， ，即.
当时， .故选C.
2.某游乐园内的摩天轮如图所示，摩天轮的轮径
（直径）为70米，座舱距离地面的最大高度可达80
米，摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，并且
运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要18分钟.如
图，想要观光的乘客需先从地面上楼梯至乘降点，在乘降点 处进入
座舱后开始观光，再次回到乘降点 时观光结束.本题中座舱都被视为圆
周上的点，每个座舱高度忽略不计.
（1）甲、乙两名游客分别坐在， 两个不同的座舱
内，他们之间间隔4个座舱，求劣弧的弧长
（单位：米）；
解：由摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱可得，
两个相邻座舱所对的圆心角为 .
由甲、乙之间间隔4个座舱，得劣弧所对的圆心角为 ，
则劣弧的弧长 .
（2）设游客从乘降点处进舱，开始转动 分钟后距离地面的高度为
米，求在转动一周的过程中（单位：米）关于时间 （单位：分
钟）的函数解析式；
解：以摩天轮转轮中心 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图.
不妨设开始转动 分钟后距离地面的高度
.
依题意得，, ，
则， .
由转一周需要18分钟，得，解得 ，
则 .
由，得，解得 , ，
又 ,所以 ,
因此， ,
所以, .
（3）若游客在距离地面至少62.5米的高度能够获
得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长
时间使（1）中的甲、乙两位游客都获得最佳视
觉效果.
解：设甲先获得最佳视觉效果.
由在距离地面至少62. 5米的高度能够获得最佳视觉
效果，得 , ，
即，则 ，
，解得，又 ，
所以有6分钟的时间使游客甲获得最佳视觉效果.
因为劣弧所对的圆心角为 ，所以甲、乙获得最佳
视觉效果相隔的时间满足，解得 ，
则当甲刚开始获得最佳视觉效果时，乙需3分钟后才获
得最佳视觉效果，
所以甲、乙都获得最佳视觉效果的时间为 .7.4　数学建模活动:周期现象的描述
【建模初探】
一、周期现象的描述实例
3.分析数据
根据表中数据画出散点图,如图所示.
4.建立模型
由散点图知,可选y=Acos(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π)作为函数模型,且A==0.9,b==1.5.
∵T==12,∴ω=,∴y=0.9cos+1.5,
又函数y=0.9cos+1.5的图象经过点(3,2.4),
∴2.4=0.9cos+1.5,
∴cos=1,∴sin φ=-1,∵|φ|<π,∴φ=-,
故y=0.9cos+1.5=0.9sint+1.5.
5.检验模型
根据收集到的数据,可以知道这个函数模型与实际数据基本吻合.
6.求解问题
令0.9sint+1.5≥1.05,得sint≥-0.5,
∴2kπ-≤t≤2kπ+(k∈Z),∴12k-1≤t≤12k+7(k∈Z).
又5≤t≤18,∴5≤t≤7或11≤t≤18,故一天中在5时至7时以及11时至18时两个时间段组织训练,才能保证队员安全.
二、数学建模活动研究报告
建立函数模型
y=Acos(ωt+φ)+b(A,ω,φ∈R,t≥0)
分析与解答
根据题意得A=-40,b=40.5,φ=0,故得到实际问题的模型y=40.5-40cos ωt(ω>0,t≥0).
(1)由周期为12分钟,可知ω=,即ω=,
所以y=40.5-40cost(t≥0).
(2)令y=40.5-40cost=60.5,得cost=-0.5,
所以t=π+2kπ,k∈N或t=π+2kπ,k∈N,解得t=4+12k,k∈N或t=8+12k,k∈N,
故第四次距离地面60.5米时,用时为12+8=20(分钟).
【建模应用】
1.C　[解析] 因为y=500sin(ωx+φ)+9500(ω>0),所以当x=1时,500sin(ω+φ)+9500=10 000;当x=2时,500sin(2ω+φ)+9500=9500.不妨取ω=,φ=π,即y=500sin+9500.当x=3时,y=9000.故选C.
2.解:(1)由摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱可得,两个相邻座舱所对的圆心角为=.
由甲、乙之间间隔4个座舱,得劣弧AB所对的圆心角为×5=,则劣弧AB的弧长l=×35=.
(2)以摩天轮转轮中心O为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图.
不妨设开始转动t分钟后距离地面的高度H(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|≤π).
依题意得,H(t)max=80,H(t)min=80-70=10,
则A==35,b==45.
由转一周需要18分钟,得=18,解得ω=,
则H(t)=35sin+45.
由H(0)=10,得35sin φ+45=10,解得φ=-+2kπ,k∈Z,又|φ|≤π,所以φ=-,
因此H(t)=35sin+45=-35cost+45,0≤t≤18,所以H(t)=-35cost+45,0≤t≤18.
(3)设甲先获得最佳视觉效果.由在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果,得H(t)≥62.5,t∈(0,18),
即-35cost+45≥62.5,则cost≤-,即≤t≤,解得6≤t≤12,又12-6=6(分钟),所以有6分钟的时间使游客甲获得最佳视觉效果.
因为劣弧AB所对的圆心角为,所以甲、乙获得最佳视觉效果相隔的时间t0满足=,解得t0=3,则当甲刚开始获得最佳视觉效果时,乙需3分钟后才获得最佳视觉效果,
所以甲、乙都获得最佳视觉效果的时间为6-3=3(分钟).7.4　数学建模活动:周期现象的描述
一、完整的数学建模活动的过程
完整的数学建模活动一般要经历选题、开题、做题、结题四个过程.选题是指根据要求选定合适的研究对象的过程,开题是指讨论与确定建模步骤的过程,做题是指按照讨论的步骤进行实际建模的过程,结题是指总结与交流的过程.
二、三角函数模型应用问题的解题步骤
三角函数模型应用问题即建模问题,根据题意建立三角函数模型,再求出相应的三角函数在某处的函数值,进而使实际问题得到解决.
步骤可记为:审读题意→建立三角函数模型→根据题意求出某处的三角函数值→解决实际问题.
这里的关键是建立三角函数模型,一般先根据题意设出函数,再利用数据求出待定的系数,然后写出具体的函数解析式.
三、三角函数模型的拟合应用
可以利用搜集到的数据,作出相应的散点图,通过观察散点图并进行数据拟合,从而获得具体的函数模型,最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.
四、三角函数模型的作用及应用
1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥着重要作用.
2.在物理学中,当物体做简谐运动时,可以用正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)来表示体运动的位移y随时间x的变化规律,如下表:
符号 名称 含义
A 简谐运动的振幅 当物体运动时离开平衡位置的最大距离
T= 简谐运动的周期 物体往复运动一次所需的时间
f== 简谐运动的频率 单位时间内物体往复运动的次数
一、周期现象的描述实例
1.观察实际情景,发现和提出问题
风筝冲浪是一项借助充气风筝,脚踩冲浪板的水上运动,十分惊险刺激.某风筝冲浪队为保证队员安全,规定在一天中的5~18时且水深不低于1.05米的时候进行训练,那么一天中在什么时间段组织训练,才能保证队员安全
2.收集数据
在某个观测点观测到该处水深y(米)是随着时刻t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化的,某天各时刻的水深数据的近似值如下表:
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.5 2.4 1.5 0.6 1.5
3.分析数据



4.建立模型



5.检验模型



6.求解问题




二、数学建模活动研究报告
建立摩天轮匀速旋转模型解决实际问题
　　　年级　　　班 研究报告:　　　年　　　月　　　日
课题名称 游乐场中的摩天轮匀速旋转模型
课题组成 员及分工
实际 问题 如图,游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心O距离地面40.5米,摩天轮半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题: (1)求出你与地面的距离y(单位:米)关于时间t(单位:分钟)的函数解析式; (2)当你第四次距离地面60.5米时,用了多长时间
建立函数 模型
分析与 解答
指导教师 审核意见
1.某市某房地产中介公司对本市一楼盘今年的房价做了统计与预测,发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足y=500sin(ωx+φ)+9500(ω>0),已知第一、二季度的平均单价如下表所示:
x 1 2 3
y 10 000 9500
则此楼盘第三季度的平均单价大约是 (　 )
A.10 000元 B.9500元
C.9000元 D.8500元
2.某游乐园内的摩天轮如图所示,摩天轮的轮径(直径)为70米,座舱距离地面的最大高度可达80米,摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱,并且运行时按逆时针匀速旋转,转一周需要18分钟.如图,想要观光的乘客需先从地面上楼梯至乘降点P,在乘降点P处进入座舱后开始观光,再次回到乘降点P时观光结束.本题中座舱都被视为圆周上的点,每个座舱高度忽略不计.
(1)甲、乙两名游客分别坐在A,B两个不同的座舱内,他们之间间隔4个座舱,求劣弧AB的弧长l(单位:米);
(2)设游客从乘降点P处进舱,开始转动t分钟后距离地面的高度为H米,求在转动一周的过程中H(单位:米)关于时间t(单位:分钟)的函数解析式;
(3)若游客在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果,请问摩天轮转动一周能有多长时间使(1)中的甲、乙两位游客都获得最佳视觉效果.

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