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2026届9月月考
2025/9/10
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． i 是虚数单位，复数＝
A．1＋i B．5＋5i C．－5－5i D．－1－i
2． 某学校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20)，20，22.5)，22.5，25)，25，27.5)，27.5，30)．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
A．56 B．60 C．140 D．120
3． 已知alog169＝1，则3－a＝
A． B．16 C．4 D．
4． 已知正整数n满足C＝A，则n＝
A．7 B．6 C．5 D．4
5． 已知a＝(－3，4)，b＝(2，－1)，则a在b上的投影向量的模为
A．2 B．2 C． D．
6． 如果实数x、y满足x2＋y2－6x＋4＝0，那么的最大值是
A． B． C． D．
7． 若角α满足cos(＋α)＝，则＋tanα＝
A． B． C． D．
8． 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是
A．[18，] B．[，] C．[，] D．[18，27]
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9． 已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6a3＋1a2＝2，则
A．q＝ B．数列{an}有最小项
C．数列{an}为递减数列 D．an＋Sn＝8
10．已知点F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点P为C上一动点，则下列说法正确的是
A．双曲线C与双曲线－＝1有相同的渐近线
B．若|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的周长为12＋2
C．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为2
D．若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈(－，)
11．已知函数f(x)＝＋，则
A．f(x)的图象关于点(，0)对称 B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)在区间(，π)上单调递减 D．当x∈(0，)，f(x)的最小值为2
三 填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知 x＋＝2 ，则|x－|＋x3＋＝ ．
13．3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为X，则3X＋2的方差为 ．
14．已知椭圆C1：＋y2＝1，抛物线C2：x2＝2py(p＞0)，点A是C1与C2在第一象限的交点，B是C1的左顶点，直线AB交C2于点D，若点D恰为线段AB的中点，则p2的值为 ．
四 解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3n2＋kn＋k．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
16．(15分)△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，acosB＝，bsinA＝1．
(1)求∠B的大小；
(2)若b＝，求△ABC的面积．
17．(15分)如图，在四面体ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，DA＝DB＝DC＝2，M是线段AD的中点，P是线段BM的中点，点Q在线段AC上，且AC＝4QC．
(1)求证：PQ//平面BCD；
(2)若点G在平面ABC内，且DG⊥平面BMC，求直线MG与平面ABC所成角的正弦值．
18．(17分)已知双曲线W：－＝1的离心率为，且经过点(4，)．
(1)求W的方程；
(2)已知M(1，0)，若垂直于x轴的直线与W相交于A，B两点，直线AM和W的另外一个交点为C．
(i)求证：直线BC过定点G；
(ii)过点G作直线l交W的右支于E，F两点，求△MEF的面积的最小值．
19．(17分)已知函数f(x)＝ln(2x＋m)＋x2(m∈R)．
(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为2，求切点的坐标；
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)当m＝2，x∈(0，)时，求证：f(x)＜sinx＋x2＋1．
试卷第2页，共2页数学月考答案
2025/9/10
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.i是虚数单位，复数一1+31
1+2i
A.1+i
B.5+5i
C.-5-5i
D.-1-i
【答案】A
【解析】根据题意，由于1+3=1+3×！-25+51=1十i,故选A.
1+2i1+2i1-2i5
2.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小
个频率/组距
时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间0.16
的范围是17.5,30]，样本数据分组为17.5,20)，20,22.5)，
22.5,25),25,27.5),27.5,30).根据直方图，这200
88
名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
80
017.52022.52527.530自时间/小时
A.56
B.60
C.140
【答案】C
【解析】由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7，故自
习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200=140，故选C.
3.已知alog169=1,则3a=
A.1
B.16
C.4
D.1
16
4
【答案】D
【解析】因为alog169=1,所以a=
og16910g9=log16=log,42=l10g34,所以3=3e4
1
1
10go16
=3g=41=1.故选D.
4
4.已知正整数n满足Cm=A品，则n=
A.7
B.6
C.5
D.4
【答案】C
【解析】C=A即为C31=A品，所以n+1n-1）=n-1),n是正整数且m≥2，因此
6
解得n=5,故选C.
5.己知a=(一3,4)，b=(2,一1)，则a在b上的投影向量的模为
A.2
B.25
C.5
D.2
5
【答案】B
【解析】a=(-3,4),b=(2,-1),,所以ab=(-3)×2+4×(-1)=一10，b=22+(-1)2
=5,则a在b上的投影向量为ab.b=一10b=-2b=一22-1)=(-4,2)，其
1b|b5
模为(-4)2+22=25，故选B.
6.如果实数x、y满足x2+y2-6x十4=0，那么’的最大值是
x+2
A.5
B.25
C.5
D.I
5
5
2
【答案】D
【解析】将x,y满足的方程转化为(x一3)2+y2=5,发现其是一个圆心在(3,0)，半径为5的
试卷第1页，共11页

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