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苏科版数学九年级上册第一章一元二次方程同步提优训练（含答案）
1.2一元二次方程的解法——因式分解法
1．（2024灌云期中）方程 的解为（ ）。
A．
B．
C． 或
D． 或
2．一元二次方程 5 的解是（ ）。
A．
B．
C．
D．
3．若 的两根分别是 -3 与 5 ，则多项式 可以分解为（ ）。
A．
B．
C．
D．
4．方程 的根是 _____。
5．用因式分解法解方程 ．
（1）移项得 ；
（2）方程左边化为两个平方差，右边为零，得_____ ；
（3）将方程左边分解成两个一次因式之积，得_____ ；
（4）解方程得 _____ ， _____ .
6．（苏州中考）已知 是关于 的一元二次方程 的一个根，则 的值为 _____ ．
7． 用因式分解法解方程。
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ．
8．若某三角形两边的长分别等于方程 的两个实数根，则这个三角形的第三边的长可能是（ ）。
A． 5
B． 10
C． 13
D． 14
9．（2024常州月考）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为＂友好方程＂。如果关于 的一元二次方程 与 为＂友好方程＂，则 可取的值有（ ）。
A． 1 个
B． 2 个
C． 3 个
D． 4 个
10．新趋势 开放性试题（2024－南京鼓楼区期中）写出一个一元二次方程，使它的两根分别为 -2 和 3 ：_____ ．
定义新运算＂＂如下：当 时， ；当 时， ．若（ 1） ，则 _____.
12．（2024．徐州中考）如图所示，是用图形＂○＂和＂＂按一定规律摆成的＂小屋子＂。按照此规律继续摆下去，第_____ 个＂小屋子＂中图形＂＂的个数是图形＂ ＂个数的 3 倍。
13．新趋势 过程性学习（2025南通期中）利用 ＂转化＂的数学思想，我们还可以解一些新方程。
例如：形如 这种根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程。
解法如下：
移项，得 ．
两边同时平方，得 ，即 ，解这个一元二次方程，得 。【任务】
（1）小虎认为材料中这个一元二次方程的两个根就是原无理方程的解；小豫认为这个一元二次方程的根并不都满足原无理方程，还应考虑 的双重非负性。请写出你所认为的材料中无理方程正确的解；
（2）解下列方程：（1） ；（2） ．
利用多项式的乘法法则，可以得到 ，反过来，则有 。小丽受到启发，运用该方法解出了方程 的解，小丽的解法如下：
，且 ， 或 ， 或 ，
原方程的解为 ．
应用上面小丽的方法解决下列问题：
（1）解关于 的方程： 是常数，且都不为零）；
（2）若关于 的方程 的两个解分别为 （其中 ），请求 的值；
（3）已知 为常数，求 的值．
参考答案
1．D 2．C 3．C 4．
5．
（3）
（4）
6．-3
7．（1）
（2） ．
（3） ．
（4） ．
（5）原方程可变形为 或 ．
（6）原方程可变形为 ，即 ， .
8．B 解析：方程 可化简为 ，即 ，解得 这个三角形第三边的长 的取值范围是 ，这个三角形的第三边的长可能是 10 ，故选 B．
9．C 解析：化简方程 得 ，解得 或 ，化简方程 得 ，解得 或 这两个方程为＂友好方程＂，（1）当 时， ，此时 ，满足题意；（2）当 时， ，此时 ，满足题意； （3）当 时， 无解；（4）当 时， ，此时 ，满足题意。综上所述， 可取的值有 ，共 3 个，故选 C．
10．（答案不唯一）解析：若一元二次方程的两根分别为 -2和 3 ，则方程可以为 ，整理得 ．
11． 解析：（1）当 ，即 时，此时
,解得 ．由于 ，所以两个根都舍去．
（2）当 ，即 时，此时 ，解得 ．由于 ，所以符合题意．故答案为
12． 12 解析：由所给图形可知，第 1 个＂小屋子＂中图形＂＂的个数为 1 ，＂图＂的个数为 ；第 2 个＂小屋子＂中图形＂ O ＂的个数为 ，＂＂的个数为 ；第 3 个＂小屋子＂中图形＂＂的个数为 , ＂＂的个数为 第 个＂小屋子＂中图形＂＂的个数为 ，＂（）＂的个数为 ．由题知 ，解得 ，又 为正整数，则 ，即第 12 个＂小屋子＂中图形＂ O ＂的个数是图形 ＂（－）＂个数的 3 倍．
13．（1）对于 而言，有 且 ，即 ．又 ，只有 符合条件， 不符合条件，故这个方程的解为 ．
（2）（1） 或 或 ．
（2） ，移项，得 ，两边平方，得 ，整理后，得 ，解这个一元二次方程，得 ，将 代人 ，可得左边 0 ，左边＝右边，方程成立，符合题意；将 代人 ，可得左边 ，右边 ，左边 右边，不符合题意，舍去．综上， 。
14．（1） ，方程两边同乘 ，得 b） ， 或 或 ，检验： 是常数，且都不为零， 当 或 时， 原方程的解为 ．
（2） ，方程两边同乘 ，得 ． 或 或 ，检验：当 或 时， 原方程的解为 ．
（3） ，则 ，得 或 .

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