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苏科版数学九年级上册第一章一元二次方程同步提优训练（含答案）
1.2一元二次方程的根的判别式
1．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）。
A．
B．
C．
D．
2．已知 为常数，点 在第四象限，则关于 的一元二次方程 的根的情况为（ ）。
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判定
3．(2024无锡期末）（1）关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是 _____。
（2）若关于 的一元二次方程 无实数根，则 的取值范围是 _____。
（3）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 _____。
4．已知实数 在数轴上的位置 如图所示，则关于 的方程 的实数根的个数为 _____。
5．不解方程，判别方程根的情况。
（1） ；
（2） ．
6．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程只有一个实数根为负数，求 的取值范围．
7．已知 分别是三角形的三边长，则方程 的根的情况是（ ）。
A．有两个不相等的实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
8．(2025连云港月考）已知直线 与双曲线 只有一个交点，将直线向上平移1个单位长度后与双曲线相交于 两点， ，则点 的坐标为（ ）。
A．
B．
C．
D．
9．已知命题＂关于 的一元二次方程 0 ，当 时必有实数解＂，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是 。
10．在 中， ，且关于 的方程 有两个相等的实数根，则 边上的中线长为_____ 。
11．在等腰三角形 中， 的对边分别是 ，已知 和 是关于 的方程 的两个实数根，则 的周长为_____ ．
12．已知 是关于 的方程 的两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围．
（2）若 ，且 都是整数，求 的值．
13．（2024南通模拟）已知关于 的一元二次方程 ，其中 分别为 的对角线 的长， 为边 的长．
（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）如果四边形 为正方形，试求这个一元二次方程的根．
14．在面积等于 3的所有矩形卡片中，周长不可能是（ ）。
A． 12
B． 10
C． 8
D． 6
15．（1）若方程 有 3 个不相等的实数根，则 。
（2）已知关于 的方程 有且仅有两个不同的实数根，则 的取值范围是_____
16．任意给定一个矩形 ，是否存在另一个矩形 ，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
（1）当已知矩形 的邻边长分别为 6 和 1时，小亮同学是这样研究的：
设所求矩形 的邻边长分别是 和 ，由题意，得
消去 ，化简得 ．
， _____， _____，
满足要求的矩形 存在．
（2）如果已知矩形 的邻边长分别为 2 和 1 ，请你依照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形 。
（3）探究：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 3 倍？请说明理由。
参考答案
1．D 2．B 3．（1）（2）（3） 且
4． 2
5．（1）原方程化成一般式为 ， 原方程有两个相等的实数根．
（2）原方程化成一般式为 原方程无实数根．
6．（1）由题意可得 该方程总有两个实数根．
（2） 方程 的两个根为 该方程只有一个实数根为负数， ，解得 ．
7．D 解析： 分别是三角形的三边， ，即 根的判别式为 方程没有实数根．故选 D．
8．A 解析 ：令 ，整理得 直线 与双曲线 只有一个交点， ，解得 双曲线 ，将直线 向上平移 1 个单位长度后得 ，联立 解得 或 ．故选 A．
9．（答案不唯一）
10． 2 解析： 关于 的方程 有两个相等的实数根， 16－ ， 是直角三角形， 是斜边， 边上的中线长为 ．
11． 7 或 解析： 是等腰三角形 的三边， 或 或 ．（1）当 或 时， 3 是方程 的一个根， ，即 ，此时 的周长为 ．（2）当 时， ．当 时，原方程可化为 0 ，解得 ，不符合实际情况，舍去．当 时，原方程可化为 ，解得 ，此时 的周长为 ．综上， 的周长为 7 或 ．
12．（1） 是关于 的方程 的两个不相等的实数根， ，解得 ．
（2） ，由（1）得 整数 的值有 2,3 ， 4 ．当 时，方程为 ，解得 （都是整数，此情况符合题意）；
当 时，方程为 ，解得 （不是整数，此情况不符合题意）；
当 时，方程为 ，解得 （不是整数，此情况不符合题意）。
综上所述， 的值为 2 ．
13．（1）四边形 是菱形．理由如下：
一元二次方程 有两个相等的实数根，
，化简，得 ．
分别为 的对角线 的长， 为边 的长，
的对角线 互相垂直，
四边形 是菱形．
（2） 四边形 为正方形， 分别为 的对角线 的长， 为边 的长，
．
已知一元二次方程 ，
，
．
即这个一元二次方程的根是 ．
14．D 解析：设矩形的长为 ，周长为 ，则宽为 ，则 ，整理，得 周长不可能是 6 ，故选 D．
15．（1） 解析：原方程可化为 （1）或 （2），由题意，方程（1）中根的判别式为 方程（1）有两个不相等的实数根。又原方程有三个不相等的实数根， 方程（2）中根的判别式为 ，解得 。
（2） 解析：当 时，原方程无实数根，不符合题意；当 时，则 ，解得 ，方程只有 1 个实数根，不符合题意；
当 时，原方程化为 ，整理得 （1）或 （2）（2）中根的判别式为 ，且当 时，方程（2）不成立， 方程（2）必有两个不同的实数根。
原方程只有两个不同的实数根，当 时，方程（1）不成立， 方程（1）无实数根， 根的判别式为 ，即 ，解得 ．
16．（1） 解析： 满足要求的矩形 存在。
（2）设所求矩形 的邻边长分别是 和 ，
由题意，得
消去 ，化简得 不存在满足要求的矩形 。
（3）存在．理由：设已知矩形的邻边长分别为 和 ，所求矩形的邻边长分别是 和 ，由题意可得 消去 ，得 n） 满足要求的矩形一定存在．

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