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苏科版数学九年级上册第一章一元二次方程同步提优训练（含答案）
1.3一元二次方程的根与系数的关系
1．（2023宿迁中考）若 是方程 0 的两个根，则（ ）。
A．
B．
C．
D．
2．（2025－连云港期中）已知一元二次方程的两根分别是 3 和 -5 ，则这个一元二次方程可以是（ ）。
A． B．
C． D．
3．已知方程 的一个根为 -2 ，则方程的另一个根为 _____。
4．（1）已知一元二次方程 的两个实数根为 ，若 ，则实数 _____ ．
（2）（2024扬州中考改编）已知实数 是关于 的方程 的两个根，若 ，则 的值为 ．
5．方程 与方程 所有实数根的和等于_____ ．
6．设 是方程 的两个实数根，不解方程求下列各式的值：
（1） ； （2） ．
7．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根 满足 3 ，求 的值。
8．如图，四边形 是边长为 5 的菱形，对角线 的长度分别是一元二次方程 的两个实数根， 是 边上的高，则 的值为（ ）。
A． 1.2 B． 2.4 C． 3.6 D． 4.8
9．如图，一元二次方程 的两个根对应的点分别落在数轴上 两个区域内，则 和 的值可能为（ ）。
A．
B．
C．
D．
10．（2024苏州模拟）已知 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则 的最小值是（ ）。
A． 7
B． 11
C． 12
D． 16
11．若关于 的一元二次方程 的两个实数根互为相反数，则 _____
12．已知关于 的一元二次方程 的实数根 满足 ，则 的取值范围是_____ 。
13．（1）（2024常州中考）已知 和 是方程 的两个解，则 的值为 。
（2）已知 是方程 的两个实数根，则代数式 的值是_____ 。
14．（2024灌南期末）关于 的一元二次方程 有两个实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 Rt 的两条直角边 的长恰好是此方程的两个实数根，斜边 ，求 Rt 的周长．
15．若关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2 倍，则称这样的方程为＂倍根方程＂。
（1）若关于 的一元二次方程 是 ＂倍根方程＂，求 的值；
（2）若关于 的一元二次方程 是＂倍根方程＂，求该方程的根．
16．新趋势 项目式学习 小华在学完《一元二次方程的根与系数的关系》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣。下面是他收集的素材，请根据素材帮助他完成相应问题：
【素材 1】一元三次方程的定义：我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 3 次的方程叫做一元三次方程，一般形式为 为常数，且 ）。
【素材 2】一元三次方程的解法：若一元三次方程 的左边在实数范围内可因式分解为 为实数），即原方程化为 ，则得方程的根为 ， .
【素材 3】一元二次方程根与系数的关系的探究过程：设一元二次方程 有两个根 ，则方程可化为 ，即 ，与原方程比较，可得根与系数的等量关系为 ．
（1）若关于 的三次方程 为常数，且 的左边可分解为 ，则方程 的三个根分别为 ， ， 。
（2）若关于 的三次方程 为常数，且 的三个根为 、 ，探究根与系数 之间的等量关系为 ， ．
（3）利用（2）中的结论解决：若方程 的三个根为 ，则 的值为
参考答案
1．A 2．B 3． 4 4．（1）－5（2）－1
5． 6 解析：方程 中， ，没有实数根．
6．根据题意，得 ．
（1） ．
（2） ．
7．（1）,
无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．
（2）由根与系数的关系得出 ．
，
，
,
化简得 ，
解得 或 ．
8．B 解析 ： 对角线 的长度分别是一元二次方程 0 的两个实数根， ． ．故选 B．
9．A 解析： 一元二次方程 的两个根对应的点分别落在数轴上 两个区域内， 设 区域内的根为 区域内的根为 ，即 的值可能为 ， 的值可能为 ．故选 A．
10．D 解析： 是关于 的一元二次方程 的两个实数根， ． 方程有两个实数根， ．故选 D．
11． 0 解析：设方程的两根为 ，根据题意，得 ， ，解得 或 ．当 时，方程化为 ，无解，故 舍去， 的值为 0 ．
12． 解析：依题意，得 ，则 ，解得 ．
13．（1） 2028 解析： 和 是方程 的两个解， ．
（2） 2001 解析： 是方程 的两个实数根， ．
14．（1） 关于 的一元二次方程 有两个实数根， ，解得 ．
（2）设 ，则 是关于 的一元二次方程 1） 的两个实数根， ． ，根据勾股定理，得 ，解得 -7 （舍去）， 的周长为 .
15．（1）设这个方程的两个根分别为 和 ，则 ，解得 ，即这个方程的一个根为 2 ，将 代人方程 得 ，解得 ．
（2）设这个方程的两个根分别为 和 ，由 题 意 得 整理得 , 将 代人（1）得 ，解得 该方程的根为 或 ．
16．（1）1－2 3 解析：由题意可知，原方程可化为 2） 或 或 ， ．
（2） 解析：由题意可知，原方程可化为 ，展开整理得 ，与原方程 比较可得 ．
（3） 解析：利用上题结论可知， ， .

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