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苏科版数学九年级上册第二章圆同步提优训练
2.1圆——圆的概念及点与圆的位置关系
1．到圆心的距离不大于半径的点的集合是（ ）。
A．圆的外部
B．圆的内部
C．圆
D．圆的内部和圆
2．（2024连云港月考）在平面直角坐标系中，是坐标原点， 的半径为 5 ，若点 的坐标为 ，则点 与 的位置关系是（ ）。
A．点 在圆内
B．点 在圆上
C．点 在圆外
D．不能确定
3．（2023无锡中考）已知 的面积为 ，点 是 所在平面内一点，且在 的内部，则 的取值范围为_____ 。
4．（2024南京模拟）已知 的半径 ，点 和圆心 之间的距离为 ，且方程 没有实数根，则点 与 的位置关系是点 在 ．（填＂内＂＂上＂或＂外＂）
5．如图， 和 都是直角三角形，且 ．判断 四点是否在同一个圆上，为什么？
6．下列各组图形中，四个顶点一定在同一圆上的是（ ）。
A．矩形、菱形
B．矩形、正方形
C．菱形、正方形
D．平行四边形、菱形
7．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，则到坐标原点 的距离为 5 的格点共有（ ）。
A． 6 个
B． 8 个
C． 10 个
D． 12 个
8．（1） 的半径为 5 cm ，平面上有一点 ， ，则点 到 上各点的最小距离为 _____ cm ．
（2）（2025南京期中）已知点 与 上各点的最大距离为 6 cm ，最小距离为 2 cm ，那么 的半径为 _____ cm．
9．（1）如图（1），在网格中（每个小正方形的边长均为 1 个单位）选取 9 个格点（网格线的交点称为格点）。如果以 为圆心， 为半径画圆，选取的格点中除点 外恰好有 3 个在圆内，则 的取值范围是_____ ．
（2）如图（2），矩形 中， ，点 在对角线 上，圆 经过点 。如果矩形 有两个顶点在圆 内，那么圆 的半径长 的取值范围是_____ 。
10．（2024扬州月考）如图，一艘轮船以 的速度由西向东航行，在图中点 处接到台风警报，台风中心点 正以 的速度由南向北移动。已知距台风中心 200 km 的区域（包括边界）都属于受台风影响区。当轮船接到台风警报时，测得 300 km ．如果这艘轮船不改变航向，船会不会进入台风影响区？若不会，说明理由；若会，求出受影响的时间．
11．（1）如图（1），在矩形 中，是 的中点， 是 的中点，连
接 是 的中点，连接 ．在 中， ，若将 绕点 逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段 长的最大值_____.
（2）（2023 泰州中考）如图（2），在平面直角坐标系中，Rt 的一条直角边 在 轴上，点 的坐标为 ，Rt 中， ，连接 ，点 是 的中点，连接 ，将 Rt 以点 为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 的最小值是____ 。
12．新题型 新定义（2024南通模拟）在平面直角坐标系 中，对于线段 ，直线 和图形 给出如下定义：线段 关于直线 的对称线段为 （ 分别是 的对应点）。若 与 均与图形 （包括内部和边界）有公共点，则称线段 为图形 关于直线 的＂对称连接线段＂
（1）如图（1），已知 的半径是 、 的横、纵坐标都是整数。在线段 中，是 关于直线 的＂对称连接线段＂的是 ，
（2）如图（2），已知点 ，以 为中心的正方形 的边长为 4 ，各边与坐标轴平行，若线段 是正方形 关于直线 的＂对称连接线段＂，则 的取值范围为)____ 。
（3）已知 的半径为 ，点 ，线段 的长度为 1 ．若对于任意过点 的直线 ，都存在线段 是 关于 的＂对称连接线段＂，则 的取值范围为 ____。
参考答案
1． D 2．A 3．
4．外
5． 四点在同一个圆上．理由如下：取线段 的中点 ，连接 ．
和 都为直角三角形，且 ，
分别为 Rt 和 Rt 斜边上的中线，
，
． 四点在同一个圆上．
6．B 解析：中心到四个顶点距离相等的四边形的四个顶点一定在同一圆上，矩形、正方形符合条件。故选 B。
7．D 解析：设格点 到坐标原点的距离为 5 ，根据题意得 横坐标和纵坐标都是整数，即 都是整数， 当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， 满足条件的格点共 12 个．故选 D．
8．（1） 2 （2） 2 或 4
9．（1） 解析：如图（1）所示， ， 当 时，以 为圆心， 为半径画圆，选取的格点中除点
外恰好有 3 个在圆内．
（1）
（2） 解析： 四边形 是矩形，
，
．
由勾股定理得 ，如图（2），连接 ，交 于点 ，作 于点 ， .
点 从点 开始向点 移动，移到点 时， 的长度从 1 减到 ，再移到点 ，此时 ，在这一范围内， 当 时，点 都在圆外，不满足条件；
当点 从点 移到点 时，在这一范围内， ，此时， 当 时，满足两点在圆内的条件；
当 ，即 ，点 在点 的位置， ，此时四点都在圆上，不满足条件；当 ，即 ，点 在点 的位置，此时 ，点 和点 在圆内，点 在圆外，满足条件，故 的取值范围是 ．
（2）
10．会进入台风影响区．由勾股定理得 ，设轮船航行时间为 ，由题意得轮船与台风中心之间的距离的平方为［（400－ ，解方程 ，可得 ，故轮船会受到台风影响，受到台风影响的时间为 .
11．（1） 10 解析：如图（1），连接 ，在 中， ， 是 的中点， ，
在 上，且半径为 2 ，
当点 在 的延长线上时， 最大．
，点 是 的中点，点 是 的中点， ，
由勾股定理可得 长的最大值为 ．
（2） 3 解析：如图（2），延长 到点 ，使得 ，连接 ．
Rt 的一条直角边 在 轴上，点 的坐标为 ，
（1）
（2）
点 为 的中点，点 为 的中点， 是 的中位线， ．在 Rt 中， 将 Rt 以点 为旋转中心按顺时针方向旋转， 点 在以 为圆心，半径为 4 的圆上运动， 当点 在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值． 的最小值为 的最小值为 3 ．
12．（1）
（2） 或 解析：如图（1），设直线 交 轴于 ，根据轴对称的性质，点 和它的对称点到 的距离相等，所以点 的对称点在以 为圆心， 1 为半径的圆上运动，当点 的对称点在圆和正方形重合的部分时，满足条件，当点 的对称点是 和 时是临界，此时直线如图中 ，可得 的值分别是 1 和 或 ．
（3） 解析：如图（2），连接 ，则 点 关于过 的直线的对称点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，点 关于过 的直线的对称点 在以 为圆心，半径是 和 的两个圆中间的圆环中运动（含两个圆）， 对于任意过点 的直线 ，都存在线段 是 关于 的＂对称连接线段＂， 对于任意位置的 ，都存在 和 ，使得 和 有公共点。则当点 在点 的正上方 时为最远情况，此时 可取最近的点，即 . 当 时，就存在 和 ，使得 和 有公共点， ．

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