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轻工中学九年级第一次素养评估数学试卷
注意事项：
1.你拿到的试卷满分150分，考试时问为120分钟．
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．
3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列函数关系中，是的二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　）
A. B. C. D.
3. 把二次函数化成的形式是（ ）
A. B.
C. D.
4. 对于二次函数图象，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小值为2 B. 函数图象经过原点
C. 顶点坐标是 D. 与轴有两个交点
5. 抛物线与抛物线的相同点是（ ）
A. 顶点相同 B. 对称轴相同 C. 开口方向相同 D. 顶点都在轴上
6. 函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根
7. 某集成电路公司主动适应市场需求，引进新设备新技术提升产能后，第一年生产晶圆1.5万片，计划第三年生产晶圆万片，设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，那么与的函数关系是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知二次函数，使成立的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
9. 如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，图象经过，下列结论中正确的一项是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，将折叠，使点的对应点落在边上，折痕为．若的长为，的长为，那么与之间的关系图象大约是(　　)
A B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 抛物线的开口______．（填“向上”或“向下”）
12. 初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣4 ﹣2 …
根据表格上的信息回答问题：该二次函数y＝ax2+bx+c在x＝3时，y＝___．
13. 如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解析式为，为增加照明度，在该抛物线上距地面高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是___________米．（可用含根号的式子表示）
14. 已知二次函数．
（1）当，时，该函数图象的顶点坐标为______；
（2）当时，y最大值为7；当时，y的最大值为3，则______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 将二次函数化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项．
16. 已知二次函数．
（1）填空：抛物线开口方向是______，对称轴______，顶点坐标______；
（2）列表，在如图所示的直角坐标系中画出的图象．
…
…
…
…
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，四边形是矩形，，两点在轴正半轴上，，两点在抛物线，已知，求矩形的周长．
18. 已知关于二次函数（为正数）．
（1）当，求二次函数的图象的顶点坐标；
（2）写出一个值，使得二次函数（为正整数）的图象与轴的交点的横坐标都为整数，并说明理由．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图1是某石拱桥，每个拱形都是相同形状的抛物线，且抛物线的顶点与水平面距离都相同．在其中一个桥洞中，水面宽度为米，如图2，拱顶距离水面米，并建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）若水位上涨米，则每个拱桥内水面的宽度是多少？
20. 某公司在甲、乙两地同时销售一种新开发的“智慧星”机器人用于辅导学生学习．这种机器人的生产成本为元/台．甲、乙两地销售的价格、销售量和广告、管理等各种费用如表所示：
月销售量x（台） 销售价a（元/台） 月广告、管理等各种费用（元/月）
甲地 x
乙地 x
（1）若甲，乙两地月销售利润分别为元和元，分别求出与x和与x之间的函数关系式；
（2）若甲、乙两地每月共销售台，怎样安排甲、乙两地的销售量，可得最大利润？
六、（本题满分12分）
21. 如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此 抛物线篮球可准确落入篮圈．
（1）求篮圈中心到地面的距离为多少米．
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
（3）篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案）
七、（本题满分12.分）
22. 抛物线交轴于，两点，交轴子点，直线经过点和点．
（1）①求，的值；
②记抛物线的顶点为，则的面积为______；
（2）过点作垂直于轴的直线与抛物线相交于点，求线段的最大值．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设四边形的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标．
轻工中学九年级第一次素养评估数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解：A、，不是的二次函数，故本选项不符合题意；
B、，不是的二次函数，故本选项不符合题意；
C、，是的二次函数，故本选项符合题意；
D、，不是的二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
2. 如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
解：∵抛物线，向左平移1个单位，
∴新抛物线的表达式是，
故选：D
3. 把二次函数化成的形式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解：．
故选：B．
4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小值为2 B. 函数图象经过原点
C. 顶点坐标是 D. 与轴有两个交点
【答案】A
解：A、抛物线的开口向上，当时，，
函数的最小值为2，则正确，故符合题意；
B、当时，，
函数图象不经过原点，则错误，故不符合题意；
C、顶点坐标是，则错误，故不符合题意；
D、顶点坐标是，且开口向上，则与轴没有交点，则错误，故不符合题意；
故选A．
5. 抛物线与抛物线的相同点是（ ）
A. 顶点相同 B. 对称轴相同 C. 开口方向相同 D. 顶点都在轴上
【答案】D
解：抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点为，有最低点，
抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点是，有最高点，
∴抛物线与抛物线的相同点是顶点都在x轴上．
故选：D．
6. 函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根
【答案】C
解：∵
∴，
∴方程的解为函数的图象与直线的交点的横坐标，
由图可知函数的图象与直线的交点只有一个，
∴关于的方程有两个相等的实数根，
故选：C．
7. 某集成电路公司主动适应市场需求，引进新设备新技术提升产能后，第一年生产晶圆1.5万片，计划第三年生产晶圆万片，设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，那么与的函数关系是（ ）
A. B.
C. D.
解：设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，
根据题意得，．
故选：A．
8. 已知二次函数，使成立的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
解：当时，，
解得：或，
∵，
∴当时，或，
故选：D．
9. 如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，图象经过，下列结论中正确的一项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解：∵二次函数图象开口向上，与轴交于负半轴，
∴，，
∵对称轴，
∴，
∴，故A选项错误，不符合题意；
∴，故B选项错误，不符合题意；
∵函数图象与x轴有两个交点，
∴，
即，故C选项正确，符合题意；
∵二次函数图象经过，对称轴为，
∴二次函数图象与轴的另一个交点为，
当时，，故D选项错误，不符合题意；
故选：C ．
10. 如图，在中，，将折叠，使点的对应点落在边上，折痕为．若的长为，的长为，那么与之间的关系图象大约是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
解：∵的长为， 的长为，
∴，
在中，利用勾股定理，
得，
解得：其中；
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 抛物线开口______．（填“向上”或“向下”）
【答案】向下
解：抛物线的开口向下．
故答案为：向下．
12. 初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣4 ﹣2 …
根据表格上的信息回答问题：该二次函数y＝ax2+bx+c在x＝3时，y＝___．
【答案】-4
解：观察表格可知，当x=0或2时，y=-2，
根据二次函数图象的对称性，
（0，-2），（2，-2）是抛物线上两对称点，
对称轴为x==1，顶点（1，-2），
根据对称性，x=3与x=-1时，函数值相等，都是-4．
故答案为：-4
13. 如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解析式为，为增加照明度，在该抛物线上距地面高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是___________米．（可用含根号的式子表示）
【答案】
解：当时，则，
解得，
∴米，
故答案为：．
14. 已知二次函数．
（1）当，时，该函数图象的顶点坐标为______；
（2）当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3，则______．
【答案】 ①. ②.
解：（1）当、时，
，
∴该函数图象的顶点坐标为；
（2）∵，
∴顶点坐标为，
∵正中，，
∴抛物线开口向下，
∵当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3，
∴该抛物线的顶点坐标在第二象限，即，解得：，
∴当时，；当时，，
∴，解得：，
∴．
故答案为：，．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 将二次函数化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项．
解：；
其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4．
16. 已知二次函数．
（1）填空：抛物线开口方向是______，对称轴______，顶点坐标______；
（2）列表，在如图所示的直角坐标系中画出的图象．
…
…
…
…
（1）解：∵二次函数，，
∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：∵二次函数，
∴当时，，
当时，，当时，，
列表如下：
… 0 1 …
… 0 3 4 3 0 …
该函数的图象如图所示．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，四边形是矩形，，两点在轴的正半轴上，，两点在抛物线，已知，求矩形的周长．
解：∵
∴点A的横坐标为1
∴将代入
∴，
∴
∴将代入得，
整理得，
解得或5
∴点C的横坐标为5
∵四边形是矩形
∴，
∴矩形的周长．
18. 已知关于的二次函数（为正数）．
（1）当，求二次函数的图象的顶点坐标；
（2）写出一个值，使得二次函数（为正整数）的图象与轴的交点的横坐标都为整数，并说明理由．
（1）解：当时，二次函数为：
，，
∴顶点坐标为；
（2）解：令，方程为一元二次方程，
，
，
当时，，
∴，，
∴当时，二次函数的图象与轴的交点的横坐标一个一定为1，另一个不可能为整数；
当时，，
∴，，
∴当时，二次函数的图象与轴的交点的横坐标一个一定为1，当k为3的正整数倍时，另一个根一定为整数；
当时，，二次函数的图象与轴的交点的横坐为整数1，
∴或3的正整数倍时，二次函数（k为正整数）与轴的交点的横坐标都为整数．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图1是某石拱桥，每个拱形都是相同形状的抛物线，且抛物线的顶点与水平面距离都相同．在其中一个桥洞中，水面宽度为米，如图2，拱顶距离水面米，并建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）若水位上涨米，则每个拱桥内水面的宽度是多少？
（1）解：根据图2可得，二次函数图象经过，此时拱顶距离水面米，
∴二次函数图象的顶点坐标为，
设二次函数图象的解析式为，把代入得，，
解得，，
∴二次函数图象的解析式为；
（2）解：若水位上涨米，则，
∴，
解得，，
∴（米），
∴水位上涨米，则每个拱桥内水面的宽度是米．
20. 某公司在甲、乙两地同时销售一种新开发的“智慧星”机器人用于辅导学生学习．这种机器人的生产成本为元/台．甲、乙两地销售的价格、销售量和广告、管理等各种费用如表所示：
月销售量x（台） 销售价a（元/台） 月广告、管理等各种费用（元/月）
甲地 x
乙地 x
（1）若甲，乙两地月销售利润分别为元和元，分别求出与x和与x之间的函数关系式；
（2）若甲、乙两地每月共销售台，怎样安排甲、乙两地的销售量，可得最大利润？
（1）解：根据题意得，，
，
∴，；
（2）解：设运往乙地m台，总利润为w元，
根据题意得：，
∵，
∴当时，w取得最大值，
（台），
∴运往甲地台，运往乙地台，可得最大利润．
六、（本题满分12分）
21. 如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此 抛物线篮球可准确落入篮圈．
（1）求篮圈中心到地面的距离为多少米．
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
（3）篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案）
（1）解：根据已知可得，篮圈中心的横坐标为，
在中，令得，
篮圈中心的纵坐标为3.05，
篮圈中心到地面的距离为3.05米；
（2）解：设球出手时，他跳离地面的高度是米，则出手点坐标为，
，
解得，
球出手时，他跳离地面的高度是0.2米；
（3）解：在中，令得：，
解得（舍去）或，
，
两名运动员之间的距离不能超过1米．
七、（本题满分12.分）
22. 抛物线交轴于，两点，交轴子点，直线经过点和点．
（1）①求，的值；
②记抛物线的顶点为，则的面积为______；
（2）过点作垂直于轴的直线与抛物线相交于点，求线段的最大值．
（1）解：①由题意，对于分别令，则
∴，
令，则
∴，
再将A、C再代入得，
，
∴，；
②由①得抛物线为，
∴顶点D为，
∴，
故答案为：．
（2）解：∵，轴，
∴，
∴，，
∴，
∵，且，
∴当时，取得最大值．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设四边形面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标．
（1）解：将，代入，得：
，
，
；
（2）解：过点P作轴于点N，如图所示，
令，则，
∴，
∴，
∵P为第四象限内抛物线上一点，设点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∵
∴当时，S有最大值，．
（3）解：设交y轴于点N，如图，
∵轴，轴，
∴，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
，
，
令，
解得：，，
∴点P的横坐标为，
把代入得：，
∴点P的坐标为．

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