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九年级数学
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列函数是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 把抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
4. 二次函数的图象的对称轴是（ ）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
5. 下列二次函数解析式中，其图象与y轴的交点在x轴下方的是（　　）
A B. C. D.
6. 在函数的图象上，当随的增大而减小时，的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 二次函数（为常数，且）中的与的部分对应值如下表：
x 0 1 3
y 3 5 3
则代数式的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图1是抛物线形石拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点的坐标是，与轴的一个交点的坐标为，直线经过两点．下列结论错误的是（ ）
A. B. 方程有两个相等的实数根
C. 当时， D. 抛物线与轴的另一个交点是
10. 如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系中图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若二次函数的图象经过原点，则的值为______．
12. 把二次函数由一般式化成顶点式为，则的值为______．
13. 若抛物线图像与一次函数的图像有两个交点，分别为，，则关于的方程的解为______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点为上一点，过点作，且，连接．
（1）当点为的中点时，的长为______．
（2）当点在上移动时，的最小值为______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式．
16. 已知抛物线与直线的图象交于两点（点在点的左侧），试分别求两点的横坐标．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知抛物线．
（1）求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）当为何值时，随的增大而减小，当为何值时，随的增大而增大？
18. 如图是学校校园内一堵围墙边上的一块空地，现准备用木栏围成一个矩形菜园作为学生的实践基地．已知矩形菜园的一边靠墙（墙足够长），另三边一共用了木栏．请设计一个修建方案，使得矩形菜园的面积最大．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知二次函数的图像的顶点为．
（1）求，的值；
（2）当时，求的取值范围．
20. 已知二次函数（是常数）．
（1）若该函数的图象与轴有两个不同的交点，求的取值范围．
（2）若该二次函数的图象与轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解．
六、（本题满分12分）
21. 如图，点在轴的正半轴上，且，点在轴的正半轴上，且，直线与抛物线在第一象限内相交于点，连接，已知．
（1）求的值；
（2）若将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，恰好经过点，试确定值．
七、（本题满分12分）
22. 又到了板栗飘香季节，为提高大家购买的积极性，销售板栗的顺发果业每天拿出元现金，作为红包发给购买者．已知板栗每日销售量与销售单价（元）满足关系：．当每日销售量低于时，成本价格为元；当每日销售量不低于时，成本价格为元；在销售中销售单价不低于成本价格且不高于元．设销售板栗的日获利为（元）．
（1）当日销售量不低于时，的取值范围是______；
（2）请求出日获利与销售单价之间的函数关系式；
（3）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
八、（本题满分14分）
23. 如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是第一象限内抛物线上的一点，过点作直线轴于点，交直线于点．
①当时，求点的坐标；
②当取得最大值时，求点的坐标．
九年级数学参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列函数是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解：A、，不是二次函数，不符合题意；
B、，是二次函数，符合题意；
C、，是一次函数，不符合题意；
D、，不是二次函数，不符合题意；
故选：B ．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
解：抛物线解析式为，
抛物线顶点坐标为，
故选：C．
3. 把抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
解：抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，平移后抛物线的表达式是，
故选：A．
4. 二次函数的图象的对称轴是（ ）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
【答案】D
解：已知二次函数，
∴顶点坐标为，
∴对称轴为，
故选：D ．
5. 下列二次函数解析式中，其图象与y轴的交点在x轴下方的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
解：A：令，，交点在x轴上方，不符合题意；
B：令，，交点在x轴下方，符合题意；
C：令，，交点在x轴上方，不符合题意；
D：令，，交点在坐标原点，不符合题意；
故选：B
6. 在函数的图象上，当随的增大而减小时，的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解：已知，
∴二次函数图象的开口向下，顶点坐标为，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∴当 随 的增大而减小时， 的取值范围为，
故选：A ．
7. 二次函数（为常数，且）中的与的部分对应值如下表：
x 0 1 3
y 3 5 3
则代数式的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解：当时，；当时，；
∴二次函数图象的对称轴为，
∴，
当时，，
∴，
故选：B ．
8. 如图1是抛物线形石拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解：根据题意，二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数解析式为，
∴，
解得，，
∴二次函数解析式为，
故选：A ．
9. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点的坐标是，与轴的一个交点的坐标为，直线经过两点．下列结论错误的是（ ）
A. B. 方程有两个相等的实数根
C. 当时， D. 抛物线与轴的另一个交点是
【答案】A
解：根据二次函数图象开口向下，与轴的交于正半轴，
∴，
∵顶点坐标为，
∴对称轴，
∴，
∴，故A选项错误，符合题意；
∵二次函数的顶点坐标为，即当时，，
∴有两个相等的实数根，，故B选项正确，不符合题意；
根据图示可得，当时，，故C选项正确，不符合题意；
∵二次函数的对称轴为，与轴的一个交点坐标为，
∴另一个交点的横坐标为，
∴抛物线与轴的另一个交点是，故D选项正确，不符合题意；
故选：A ．
10. 如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解：当时，则，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限；
二次函数的图象开口向上，对称轴为，即对称轴在轴的左边，当时，，即与轴交于点；
∴A选项的图，一次函数图象正确，二次函数图象不正确，不符合题意；
B选项的图，一次函数图象不正确，二次函数图象正确，不符合题意；
C、D选项均不符合该种情况；
当时，，
∴一次函数图象经过第一、三、四象限；
二次函数图象开口向下，对称轴，即对称轴在轴右边，与轴交于点；
如图所示，
∴D选项的图符合题意，
故选：D ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若二次函数的图象经过原点，则的值为______．
【答案】1
解：∵二次函数的图象经过原点，
∴，且
解得，，，
∴的值为，
故答案为： ．
12. 把二次函数由一般式化成顶点式为，则的值为______．
【答案】
解：，
二次函数由一般式化成顶点式为，
，
解得：，
，
故答案为：．
13. 若抛物线的图像与一次函数的图像有两个交点，分别为，，则关于的方程的解为______．
【答案】，
解：抛物线的图像与一次函数的图像有两个交点，分别为，，
联立二次函数及一次函数解析式可得，即，
关于的方程的解为，；
故答案为：，．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点为上一点，过点作，且，连接．
（1）当点为的中点时，的长为______．
（2）当点在上移动时，的最小值为______．
【答案】 ①. ②.
解：∵，
∴，
∵，
∴，且，
（1）当是的中点，如图所示，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，则，
∵，
∴，
∴，且，
在中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
如图所示，作点关于轴的对称点，连接，
∴，
∵，
∴，即是等腰三角形，
∴点在上运动时，始终是等腰三角形，
∴点在直线上运动，
当时，的值最小，
如图所示，过点作轴于点，
∴在中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴点，且，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
设直线与轴交于点，当时，，
∴，则，
∴，
∵，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：（1）；（2） ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式．
【答案】
解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得，，
∴二次函数解析式为．
16. 已知抛物线与直线的图象交于两点（点在点的左侧），试分别求两点的横坐标．
【答案】点的横坐标为，点的横坐标为
解：根据题意，联立方程组得，
，整理，得，
解得，或，
∴交点坐标为，
∵点在点 的左侧，
∴点的横坐标为，点的横坐标为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知抛物线．
（1）求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）当为何值时，随的增大而减小，当为何值时，随的增大而增大？
（1）解：∵，，
∴该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
（2）∵抛物线的开口向下，
∴当时，随的增大而减小，当时， 随的增大而增大．
18. 如图是学校校园内一堵围墙边上的一块空地，现准备用木栏围成一个矩形菜园作为学生的实践基地．已知矩形菜园的一边靠墙（墙足够长），另三边一共用了木栏．请设计一个修建方案，使得矩形菜园的面积最大．
解：设，则，设矩形菜园的面积为，
，
当时，最大，最大值为，
，
当长为，宽为时，矩形菜园的面积最大，最大值为．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知二次函数的图像的顶点为．
（1）求，的值；
（2）当时，求的取值范围．
（1）解：二次函数的图像的顶点为，
设该二次函数的顶点式为，化简得，
，；
（2）当时，
，
，
，
，
，，
由图可知，当时，或．
20. 已知二次函数（是常数）．
（1）若该函数的图象与轴有两个不同的交点，求的取值范围．
（2）若该二次函数的图象与轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解．
解：（1）∵二次函数的图象与轴有两个不同的交点，
∴一元二次方程=0有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac＞0，即0，解得；
（2）∵二次函数的图象与轴的其中一个交点坐标为(-1，0)，
∴，解得，
∴一元二次方程=0为0，解得，．
六、（本题满分12分）
21. 如图，点在轴的正半轴上，且，点在轴的正半轴上，且，直线与抛物线在第一象限内相交于点，连接，已知．
（1）求的值；
（2）若将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，恰好经过点，试确定的值．
（1）解：∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵二次函数与直线在第一象限交于点，
∴设，则点到轴的距离为，
∵，即，
∴，即，
解得，，
∴，
∴，
解得，；
（2）解：由（1）可得二次函数的解析式为，
∴经过平移后的解析式为，
∵平移后的图象经过点，
∴，
解得，．
七、（本题满分12分）
22. 又到了板栗飘香的季节，为提高大家购买的积极性，销售板栗的顺发果业每天拿出元现金，作为红包发给购买者．已知板栗每日销售量与销售单价（元）满足关系：．当每日销售量低于时，成本价格为元；当每日销售量不低于时，成本价格为元；在销售中销售单价不低于成本价格且不高于元．设销售板栗的日获利为（元）．
（1）当日销售量不低于时，的取值范围是______；
（2）请求出日获利与销售单价之间的函数关系式；
（3）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（1）解：由题意得：，
解得：，
当每日销售量不低于时，成本价格为元；在销售中销售单价不低于成本价格且不高于元．
，
故答案为：；
（2）当时，即日销售量不低于时，；
∵，
∴，
当时，即每日销售量低于时，；
综上所述，日获利与销售单价之间的函数关系式为；
（3）当时，，
，
当时，随的增大而增大，
当时，最大，最大值为（元）；
当时，，
当时，最大，最大值为元，
，
当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为元．
八、（本题满分14分）
23. 如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是第一象限内抛物线上的一点，过点作直线轴于点，交直线于点．
①当时，求点的坐标；
②当取得最大值时，求点的坐标．
（1）解：根据题意，把代入抛物线中得，
，
解得，，
∴二次函数解析式为：；
（2）解：由（1）可得二次函数解析式为，
∴令时，，则，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
①∵点是第一象限内抛物线上点，
∴设，
∵轴交直线与点，
∴，
∴，，
当时，，整理得，，
∴，
解得，，（不符合题意，舍去），
当时，，则；
∴当时，点的坐标为；
②已知，
∵，
∴当时，有最大值，且最大值为，
此时，
∴点的坐标为．

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