资源简介

2025届九年级第一次学情调研
数学卷（RJ）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共4页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 一元二次方程x2﹣x+2=0的根的情况是（　　）
A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根
3. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 图象与y轴交点的坐标是 B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大
4. 关于方程的一个根是，则另一个根是（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
5. 把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
6. 若方程的两根为，，则的值为（ ）
A. B. 4 C. D.
7. 如图所示，在中，，，，点P以的速度从点A开始沿边向点B移动，点Q以的速度从点B开始沿边向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发，若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过（ ）
A. B. 2s C. D. 或2s
8. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
9. 二次函数，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，对角线，相交于点，，，．若过点且与边，分别相交于点，，设，，则关于的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 一元二次方程x2＝2x的解为________．
12. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是________．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为_____．
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点，B两点，交y轴于点C．
（1）______；
（2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，当周长的最大时，点P的坐标为______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解下列方程：
（1）（配方法）
（2）
16. 抛物线经过点、、，求该抛物线的解析式．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”．
（1）判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由；
（2）已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值．
18. 如图所示的是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点．
（1）根据上面的内容，请直接写出是三角点阵中前行的点数和；
（2）请直接写出三角点阵中前行的点数和_____；
（3）三角点阵中前行的点数和能是吗？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值．
20 某商场销售某男款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利64元，此时平均每天可售出30件．
（1）求平均每次降价盈利减少的百分率；
（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在国庆期间该商场决定在每件盈利64元的情况下再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件男款上衣再次降价时，每降价1元，每天可多售出2件，若商场每天要盈利元，每件应再降价多少元？
六、（本题满分12分）
21. 如图，抛物线（、常数）与轴交于、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在抛物线上，且点的横坐标为，直线与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点为，求的面积；
（3）在（2）的条件下，点是抛物线上一动点，求线段长的最小值．
七、（本题满分12分）
22. 综合与实践：
项目任务：校园草坪设计
项目背景：学校举办“迎十一，爱祖国，爱劳动”主题实践活动，九（1）班参加校园草坪设计：
校园内有一块宽为20米，长为30米的矩形草坪，在草坪上设计两条小路．具体要求：
①矩形草坪每条边上必须有一个口宽相等的路口；②两条小路必须设计成平行四边形．
任务1 九（1）班各个实践小组的设计方案汇总后，主要有甲、乙、丙三种不同的方案（如图）：
（1）直观猜想：方案中小路的总面积大小关系：______，______；（请填“”或“”）
任务2 （2）验证猜想：请用含x代数式表示甲方案中小路总面积______；
任务3 （3）如果甲种方案除小路后草坪总面积约为551平方米．请求每条小路的宽度是多少？
任务4 （4）为了深入研究，各个小组选择丙方案（如图2）进行研究，若两条小路与矩形两组对边所夹锐角．用含x的代数式表示四边形的面积．
八、（本题满分14分）
23. 已知二次函数（b、c为常数）．
（1）当，时，求函数最小值；
（2）当时，函数的最小值为，求b的值；
（3）当且时，函数有最小值，求二次函数的解析式．
2025届九年级第一次学情调研
数学卷（RJ）
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解：A、方程中未知数的次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、方程是一元二次方程，故本选项符合题意．
C、方程由两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
2. 一元二次方程x2﹣x+2=0的根的情况是（　　）
A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根
【答案】C
解：∵△=b2-4ac=1-8=-7＜0，
∴方程无实数根．
故选C．
3. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 图象与y轴交点的坐标是 B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】D
解：将代入，求出，故图象与y轴交点的坐标是，选项A错误；
对称轴是直线，故选项B错误；
顶点坐标为，故选项C错误，
因为函数开口向下，当时，y随x的增大而增大，故选项D正确．
故选：D．
4. 关于方程的一个根是，则另一个根是（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】C
解：∵关于方程的一个根是，设另一个根为，
∴
∴，
故选：C．
5. 把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解：抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为，
故选B．
6. 若方程的两根为，，则的值为（ ）
A. B. 4 C. D.
【答案】A
解：∵方程的两根为，，
∴，
∴，
故选：A
7. 如图所示，在中，，，，点P以的速度从点A开始沿边向点B移动，点Q以的速度从点B开始沿边向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发，若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过（ ）
A. B. 2s C. D. 或2s
【答案】A
解：设后P、Q之间的距离等于，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
解得，，
当时，，应舍去
∴，
∴需要经过．
故选：A．
8. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解：依题意可得函数对称轴为，且函数开口向上，
点关于的对称点为，
根据题意可得，当时，随着轴的增大而减小，
，
故选B．
9. 二次函数，当时，y随x增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解：∵二次函数，
∴对称轴为直线，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴
故选C
10. 如图，在中，对角线，相交于点，，，．若过点且与边，分别相交于点，，设，，则关于的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解：如图过点向作垂线，交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
当时，,
当时，．且图像是二次函数的一部分,
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 一元二次方程x2＝2x的解为________．
【答案】x1＝0，x2＝2
解：移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0，
解得x=0或x=2．
故答案为：
12. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是________．
【答案】且
解：关于x的一元二次方程有两个实数根，
，且，
解得：且，
故答案为：且．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为_____．
【答案】2．
解：y=x2-2x+3=（x-1）2+2，
则抛物线的顶点坐标为（1，2），
∴当点A在抛物线的顶点时，AC最小，最小值为2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴对角线BD的最小值为2，
故答案为2．
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点，B两点，交y轴于点C．
（1）______；
（2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，当周长的最大时，点P的坐标为______．
【答案】 ①. ②.
解：（1）将点代入函数解析式，
即，
解得，
故答案为：．
（2）由（1）可得，
令，即，解得或，
令，即，
故，
设解析式为：，
将代入，
解得，
解析式为：，
设点，则点，
，
，抛物线开口向下，
当时，最大，为，
，
，
，
，则，
当最大时，即时，最大，
则点，
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解下列方程：
（1）（配方法）
（2）
（1）解：，
移项得：，
配方得：，即，
开平方得：，
∴，．
（2）解：，
移项得：，
分解因式得：，
∴或，
解得，．
16. 抛物线经过点、、，求该抛物线的解析式．
解：由题意可设函数解析式为，
将代入，
，
解得，
．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”．
（1）判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由；
（2）已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值．
（1）解：当时，，
故一元二次方程是 “和谐方程”；
（2）解：是关于x的“和谐方程”，
当时，，
是此“和谐方程”的一个根，
，
即，
解得．
故．
18. 如图所示的是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点．
（1）根据上面的内容，请直接写出是三角点阵中前行的点数和；
（2）请直接写出三角点阵中前行的点数和_____；
（3）三角点阵中前行的点数和能是吗？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由．
（1）解：由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点，
前行共有个点，
∴前行共有个点，
由题意可得：，
整理得，
，，
为正整数，
．
故答案为：．
（2）解：∵前行共有个点，
∴当时，，即三角点阵中前行的点数和为，
故答案为：．
（3）依题意，得，
即，
解得：或，
为正整数，
．
当时，三角点阵中前行的点数的和是．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值．
（1）证明：，
，
，
故不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：，，
，
，
解得．
20. 某商场销售某男款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利64元，此时平均每天可售出30件．
（1）求平均每次降价盈利减少的百分率；
（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在国庆期间该商场决定在每件盈利64元的情况下再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件男款上衣再次降价时，每降价1元，每天可多售出2件，若商场每天要盈利元，每件应再降价多少元？
（1）解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意可得：，
解得（不合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分率是；
（2）解：设每件应再降价a元，
由题意可得：，
解得，
为扩大销售量，尽快减少库存，应该降价元，
答：商场每天要盈利元，每件应再降价元．
六、（本题满分12分）
21. 如图，抛物线（、为常数）与轴交于、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在抛物线上，且点的横坐标为，直线与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点为，求的面积；
（3）在（2）的条件下，点是抛物线上一动点，求线段长的最小值．
（1）解：∵抛物线（、为常数）与轴交于、，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∴，
∴对称轴为直线，顶点，
当时，，
∴，
设直线的表达式为，将代入，
得，
解得：，
∴直线的表达式为，
令，则，
∴，
∵顶点，
∴，
∴的面积为；
（3）解：设，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，即有最小值，
解方程得或，
∴当的横坐标为或时，有最小值，最小值为．
七、（本题满分12分）
22. 综合与实践：
项目任务：校园草坪设计
项目背景：学校举办“迎十一，爱祖国，爱劳动”主题实践活动，九（1）班参加校园草坪设计：
校园内有一块宽为20米，长为30米的矩形草坪，在草坪上设计两条小路．具体要求：
①矩形草坪每条边上必须有一个口宽相等的路口；②两条小路必须设计成平行四边形．
任务1 九（1）班各个实践小组的设计方案汇总后，主要有甲、乙、丙三种不同的方案（如图）：
（1）直观猜想：方案中小路的总面积大小关系：______，______；（请填“”或“”）
任务2 （2）验证猜想：请用含x的代数式表示甲方案中小路总面积______；
任务3 （3）如果甲种方案除小路后草坪总面积约为551平方米．请求每条小路的宽度是多少？
任务4 （4）为了深入研究，各个小组选择丙方案（如图2）进行研究，若两条小路与矩形两组对边所夹锐角．用含x的代数式表示四边形的面积．
解：（1）∵小路都是平行四边形，
∴甲、乙、丙三种方案中，经过平移之后种植草坪的面积都相当于一个长为米，宽为的长方形面积，
又∵整块地的面积相等，
∴甲、乙、丙三种方案中的小路面积相等，
∴，
故答案为：；；
（2）平方米，
故答案为：平方米；
（3）由（1）可得，
整理得：，
解得或（舍去），
∴每条小路的宽度是1米；
（4）如图3，连接、、、，过点F作，交于M，
则四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
在中，，
同理可得，
∴四边形的面积为平方米．
八、（本题满分14分）
23. 已知二次函数（b、c为常数）．
（1）当，时，求函数最小值；
（2）当时，函数的最小值为，求b的值；
（3）当且时，函数有最小值，求二次函数的解析式．
（1）解：当，时，二次函数解析式为，
∵，
∴当时，函数有最小值，最小值为；
（2）解：当时，二次函数解析式为，
∵，
∴当时，函数有最小值，最小值为，
∵当时，函数的最小值为，
∴，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴对称轴为直线，
∵，
∴函数开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，
当，即时，则当时，函数有最小值，
∴，
解得（舍去）；
当，即时，则当时，函数有最小值，
∴，
∴（舍去）；
当，即时，函数的最小值为，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述，，
∴函数解析式为．

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