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宿城第一初级中学2024-2025学年度第一学期九年级数学第一次综合素质评价
考生注意：本卷共八大题，计23小题，满分150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下面结论中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
3.关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，菱形对角线AC与BD交于点，AC=16，BD=12，则菱形的面积为（ ）
A．48 B．96 C．24 D．6
5．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
6． 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，于点E，当E为中点时，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
7．如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是2，则图中重叠部分的面积是（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．用配方法解一元二次方程 ，下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．一元二次方程的解为 ．
12．如图，在矩形中，点P是线段上一动点，且，E，F为垂足，，则的值为 ．

13.已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
14．如图（1），点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）的变化关系图象如图（2）.
则：（1）BD cm； （2） a的值是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解方程：
16．如图，已知E，F是正方形的对角线上的两点，且．求证：四边形为菱形．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．那么梯子的顶端下滑几米时，梯子的底端滑动的距离和它相等？

18．如图，点O是菱形ABCD的对角线的交点，DE//AC，CE//BD，连接OE．求证：OE=BC．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，求衬衫的单价降了多少元？
20．如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是菱形；
（2）若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．
六、（本题满分12分）
21．学校利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度为x米的道路．已知阴影部分的面积为．求道路的宽是多少米？
七、（本题满分12分）
22．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC=.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
八、（本题满分14分）
23．【问题情境】
（1）已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ．
【继续探究】
（2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示．
①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长．
宿城第一初级中学2024-2025学年度第一学期九年级数学第一次综合素质评价
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：A. ax2+bx+c＝0，当a=0时，方程不是一元二次方程，故A选项错误；
B.符合一元二次方程的定义，故B选项正确
C.不是整式方程，故C选项错误
D.化简后不含二次项，故D选项错误
故选：B.
2．下面结论中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】B
解：A、应该是对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，故选项不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确，故选项符合题意；
C、应该是对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，故选项不符合题意；
D、应该是对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，故选项不符合题意；
故选：B．
3.关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：∵关于的一元二次方程的一个根为2
∴将代入方程，得:
解得
故选：C
4．如图，菱形对角线AC与BD交于点，AC=16，BD=12，则菱形的面积为（ ）
A．48 B．96 C．24 D．6
【答案】B
解：∵在菱形ABCD中，AC=16 BD=12
∴菱形ABCD的面积×AC×BD×16×12=96
故选：B
5．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
解：∵△
∴方程有两个不相等的实数根
故选：A
6． 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，于点E，当E为中点时，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】D
解：四边形是矩形
，
∵于点E，当E为中点，
∴垂直平分，
，
．
故选：D．
7．如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是2，则图中重叠部分的面积是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
解：如图，
正方形和正方形的边长都是2，
，，，
∴，
在和中，，，
；
则图中重叠部分的面积是1，
故选：A
8．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
解：利用该款燃油汽车今年4月份的售价＝该款燃油汽车今年2月份的售价该款汽车这两月售价的月平均降价率，即可列出关于x的一元二次方程．
根据题意得：．
故选：A．
9．用配方法解一元二次方程 ，下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
解：，即，
方程两边同时加4，可得，即，
故选：B．
10．如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
解：如图，连接，
由正方形的性质可得，，
∴，
∵ H是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．一元二次方程的解为 ．
【答案】或
解：∵，
∴.
∴
∴
故答案为:或
12．如图，在矩形中，点P是线段上一动点，且，E，F为垂足，，则的值为 ．

【答案】
解：连接，

∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∵
∴．
故答案为：．
13.已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】2.
解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴,,
∴
故答案为:2
14．如图（1），点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）的变化关系图象如图（2）.
则：（1）BD cm； （2） a的值是 ．
【答案】（1）BD （2） =
（1）解：过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，
∵菱形ABCD中，ADBC，
∴当点F在边AD上运动时，y的值不变，
∴AD＝a，即菱形的边长是a，
∴a·DE＝a，
∴DE＝3，
当点F在DB上运动时，y逐渐减小，
∴DB＝5，
（2）中，BE＝，
在Rt△DCE中，DC＝a，CE＝4 a，DE＝3，
∴，
解得：，
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解方程：
解：十字相乘的方法分解可得(，
即或，
解得，。
16．如图，已知E，F是正方形的对角线上的两点，且．求证：四边形为菱形．
（1）证明：连接，交于点，
四边形是正方形，
，，，
∵
∴，即，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．那么梯子的顶端下滑几米时，梯子的底端滑动的距离和它相等？

解：未滑动前梯子底端距墙的水平距离为，
设梯子顶端向下滑动，则梯子底端也滑动，
此时梯子的顶端距地面的垂直距离为，梯子的底端距墙面的垂直距离为，
可得方程：，
解得，（舍去），
当梯子的顶端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等．
18．如图，点O是菱形ABCD的对角线的交点，DE//AC，CE//BD，连接OE．求证：OE=BC．
证明：∵DE//AC，CE//BD
∴四边形OCED是平行四边形
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，即∠COD=90°
∴四边形OCED是矩形；
∴OE=CD
又∵菱形ABCD
∴BC=CD
∴OE=BC．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，求衬衫的单价降了多少元？
解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得（20+2x）（40﹣x）=1250，
解得：x1=x2=15，
答：衬衫的单价降了15元．
20．如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是菱形；
（2）若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，
∴FG=CD，HE=CD，FH=AB，GE=AB．
∵AB=CD，
∴FG=FH=HE=EG．
∴四边形EGFH是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，
∴GF∥DC，HF∥AB．
∴∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC．
∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°．
∴∠GFH=90°．
∴菱形EGFH是正方形．
∵AB=1，
∴EG=AB=．
∴正方形EGFH的面积=（）2=．
六、（本题满分12分）
21．学校利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度为x米的道路．已知阴影部分的面积为．求道路的宽是多少米？
解：设道路的宽为x米， 根据题意结合平移的性质可得：
，
解得：（舍去）或，
通道的宽为6米；
七、（本题满分12分）
22．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC=.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
解：在中，，，，
．
又，
．
能，
，，
．
又，
四边形AEFD为平行四边形．
∵，根据30°角直角三角形的性质，
∴BC=, 又BC=
∴AB=6,AC=12．
∴AD=ACDC=．
若使 AEFD为菱形，则需，
即，．
即当时，四边形AEFD为菱形．
时，四边形EBFD为矩形．
在中，，
．
即，．
时，由四边形AEFD为平行四边形知，
．
，
∴AD=．
即，．
时，此种情况不存在．
综上所述，当秒或秒时，为直角三角形．
八、（本题满分14分）
23．【问题情境】
（1）已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ．
【继续探究】
（2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示．
①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长．
解：（1）如图1中，延长交于J．
∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故答案为：；．
（2）①结论：；．理由：
如图，延长，交的延长线于点H，
∵四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②如图3，过点G作，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；

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