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安徽省合肥市庐阳中学2024--2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷
说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟．
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D，四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 抛物线与轴交点的坐标是（ ）
A B. C. D.
4. 如果将抛物线向上平移2个单位长度，那么所得到的拋物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
5. 对于二次函数，当函数值随的增大而减小时，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 若关于的函数的图象与轴只有一个交点，则的值是（ ）
A. 3 B. C. D. 或
7. 如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（ ）
x 1 2 3 4
y ﹣3 ﹣1 3 9
A 1.2 B. 2.3 C. 3.4 D. 4.5
8. 某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩(即的长度)是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，已知二次函数的图象与一次函数的图象存在两个交点，其中一个交点在轴上，另一个交点在轴上，则函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，这是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④点在二次函数图象上，若，则．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11. 二次函数的顶点坐标是______．
12. 如图，抛物线与直线相交于两点，横坐标分别为，则不等式的解集为______．
13. 相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长30厘米，宽20厘米．相框边（阴影部分）的宽为厘米，相框内的空白部分面积是平方厘米，则与之间的函数关系式为_______．
14. 如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，O是坐标系的原点，P是该二次函数图象对称轴上一动点．
（1）_______．
（2）周长的最小值为_______．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15. 已知抛物线的顶点是，且过原点，求该抛物线的解析式．
16. 已知抛物线的解析式为，求该抛物线与轴的两个交点的坐标．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17. 如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且，，求抛物线的顶点的坐标．
18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系．
（1）在坐标系中画出抛物线与直线．
（2）根据（1）中所作图象，直接写出方程根．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19. 已知某商品的进价为100元/件，销售数量(单位：件)与销售单价(单位：元)之间满足一次函数关系，设该商品的利润为元．
（1）求利润关于销售单价的函数解析式．
（2）问当销售单价为多少时，利润最大？最大为多少？
20. 已知二次函数的图象过点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若和都是该二次函数图象上的点，且，求的最小值．
六、(本题满分12分)
21. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，若直线与抛物线交于A、C两点，已知C点的横坐标为2．
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）根据图象判断，当x满足什么条件时，？
（3）抛物线上有两点，，且，求m的取值范围．
七、(本题满分12分)
22. 植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示)：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长．
（1）按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为．
①求与之间的函数关系式；
②求矩形的面积的最大值．
（2）甲、乙哪种方案能使围成矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由．
八、(本题满分14分)
23. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线，
（1）求，的值．
（2）若点，都在抛物线上，且，，比较，的大小，并说明理由．
（3）若抛物线与轴另一个交点为，与轴交于点，顶点为，轴于点，是第一象限内抛物线上的一点，连接，，，求面积的最大值及此时点的坐标．
安徽省合肥市庐阳中学2024--2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷参考答案
说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟．
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D，四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
解：A、最高次为1次，不是二次函数，不符合题意；
B、中为分式，不是二次函数，不符合题意；
C、是二次函数，符合题意；
D、中为分式，不是二次函数，不符合题意；
故选：C．
2. 二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数的顶点坐标为，
∴二次函数图象的顶点所在的象限是第二象限，
故选：B．
3. 抛物线与轴交点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
解：在中，当时，，
∴抛物线与轴交点的坐标是，
故选：B．
4. 如果将抛物线向上平移2个单位长度，那么所得到的拋物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
解：将抛物线向上平移2个单位长度，那么所得到的拋物线的解析式是，
故选：A．
5. 对于二次函数，当函数值随的增大而减小时，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解：∵二次函数解析式为，，
∴二次函数开口向下，对称轴为直线，
∴当时，函数值随的增大而减小，
故选：D．
6. 若关于的函数的图象与轴只有一个交点，则的值是（ ）
A. 3 B. C. D. 或
解：当，即时，函数为与x轴有一个交点，符合题意；
当时，函数为二次函数，
令，则，
∵此时方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：；
综上分析可知：关于的函数的图象与轴只有一个交点时，的值为或．
故选：D．
7. 如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（ ）
x 1 2 3 4
y ﹣3 ﹣1 3 9
A. 1.2 B. 2.3 C. 3.4 D. 4.5
解：观察表格得：方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根在2和3之间，
故选：B．
8. 某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩(即的长度)是（ ）
A. B. C. D.
解：在中，令，则，
解得：，（不符合题，舍去），
∴，
∴，
故选：D．
9. 如图，已知二次函数的图象与一次函数的图象存在两个交点，其中一个交点在轴上，另一个交点在轴上，则函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
解：由图知，二次函数开口向下，
，
二次函数对称轴轴左侧，
，
二次函数的图象与一次函数的图象存在两个交点，
，即有两个根，
，
开口向上，即函数开口向上，
由图知，与轴交与点，
可看作向上平移2个单位，
函数与轴交点在右侧，
，
函数对称轴在轴左侧，
故选：B．
10. 如图，这是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④点在二次函数图象上，若，则．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解：由图象开口向上，可得，
又对称轴是直线，
∴，，故②错误；
当时，，
∴，故①正确；
当时，，
又∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，故③正确；
由题意，对称轴是直线，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
若，由于两点与对称轴的位置关系不确定，
不一定成立，故④错误．
故选：B．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11. 二次函数顶点坐标是______．
解：二次函数，
该函数的顶点坐标为，
故答案为：．
12. 如图，抛物线与直线相交于两点，横坐标分别为，则不等式的解集为______．
解：由函数图象可知，当时，，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
13. 相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长30厘米，宽20厘米．相框边（阴影部分）的宽为厘米，相框内的空白部分面积是平方厘米，则与之间的函数关系式为_______．
解：由题意得：相框内的空白部分的长为，宽为，
则，
∴与之间的函数关系式为，
故答案为：．
14. 如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，O是坐标系的原点，P是该二次函数图象对称轴上一动点．
（1）_______．
（2）周长的最小值为_______．
解：（1）将代入得：，
解得：，
故答案为：；
（2）由（1）可得，二次函数解析式为，
∴二次函数的对称轴为直线，
当时，，
∴，
∴，
如图，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于，连接，
，
则，
由轴对称的性质可得：，
∴的周长，由两点之间线段最短可得此时的周长最小，
∵，
∴的周长的最小值，
故答案为：．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15. 已知抛物线的顶点是，且过原点，求该抛物线的解析式．
解：设抛物线的解析式为，
将原点代入，得，
解得，
故抛物线的解析式为．
16. 已知抛物线的解析式为，求该抛物线与轴的两个交点的坐标．
解：当时，，
整理得：，
解得：，
抛物线与轴的两个交点的坐标分别为和．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17. 如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且，，求抛物线的顶点的坐标．
解：，
代入，得，解得，
，
顶点．
18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系．
（1）在坐标系中画出抛物线与直线．
（2）根据（1）中所作图象，直接写出方程的根．
（1）解：，
∴二次函数的对称轴为：，顶点为，
当时，，，
∴二次函数过点，，，
一次函数过点，，
∴二次函数和一次函数的图象如下图所示，
（2）解：的解为两个图像的交点，即，，
∴．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19. 已知某商品的进价为100元/件，销售数量(单位：件)与销售单价(单位：元)之间满足一次函数关系，设该商品的利润为元．
（1）求利润关于销售单价的函数解析式．
（2）问当销售单价为多少时，利润最大？最大为多少？
（1）解：由题意可得；
（2）解：，
当销售单价为150元时，利润最大，最大为2500元．
20. 已知二次函数的图象过点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若和都是该二次函数图象上的点，且，求的最小值．
（1）解：二次函数的图象过点，
，
，
二次函数的表达式为；
（2）解：和都是二次函数图象上的点，
，
.
，
，
，
的最小值是．
六、(本题满分12分)
21. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，若直线与抛物线交于A、C两点，已知C点的横坐标为2．
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）根据图象判断，当x满足什么条件时，？
（3）抛物线上有两点，，且，求m的取值范围．
（1）解：将代入直线得，
将代入抛物线，得，
解得：c=3，
即，
令，得，
解得或3，
则求抛物线与x轴的交点坐标为和；
（2）由图象可得：当或时，；
（3）由题意得，，
∵，
∴，
．
七、(本题满分12分)
22. 植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示)：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长．
（1）按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为．
①求与之间的函数关系式；
②求矩形的面积的最大值．
（2）甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由．
（1）解：①∵的长为，
的长为，
；
②∵甲中的长不超过墙长，
，
由可知：
，
时，随的增大而增大，
当时，矩形的面积最大，最大为；
（2）解：乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，理由如下：
乙方案中，设的长为，矩形的面积为，
则，
方案乙中的长大于墙长，
，
，
，
，
当时，矩形的面积最大，最大为，
，
乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是．
八、(本题满分14分)
23. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线，
（1）求，的值．
（2）若点，都在抛物线上，且，，比较，的大小，并说明理由．
（3）若抛物线与轴的另一个交点为，与轴交于点，顶点为，轴于点，是第一象限内抛物线上的一点，连接，，，求面积的最大值及此时点的坐标．
（1）解：对称轴为直线，
，
∴，
将代入得，
解得：；
（2）解：由(1)知，
当时，，当时，，
∴；
当时，，当时，，
∴，
；
（3）解：当时，，
解得，，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∵轴于点，
∴，
如图，过点作轴于点，
设，则，
，，，，，
∴，
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，此时点．

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