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安徽省池州市贵池区2024-2025学年上学期九年级九月
学情诊断·数学（沪科版）
考试时间：120分钟满分∶150分
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（　　）
A. y=x2 B. y=﹣3x2 C. y=﹣x2 D. y=2x2
3. 已知点是反比例函数图象上的点，若，则一定成立的是( )
A B. C. D.
4. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A. B.
C. D.
5. 函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　）
A. 0 B. 0或2 C. 0或2或﹣2 D. 2或﹣2
6. 已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2 B. 有最大值0，有最小值﹣1
C. 有最大值7，有最小值﹣1 D. 有最大值7，有最小值﹣2
7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数y 的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（　　）
A. B. C. D.
9. 在平面直角坐标系中，已知，设函数的图像与x轴有M个交点，函数的图像与x轴有N个交点，则（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
10. 将二次函数． 的图象在x轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11. 已知抛物线y＝x2，当－1≤x≤3时，y的取值范围是________．
12. 如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为______．
13. 如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC边于点E.若△BDE的面积为1，则k =________
14. 某汽车在刹车后行驶的距离s（米）与时间t（秒）之间的部分数据如下表：
时间t/秒 0 1 ．．
行驶距离s/米 0 10
假设这种变化规律一直延续到汽车停止，如果选择用二次函数表示s（米）与t（秒）之间关系．
（1）其函数表达式为______；
（2）刹车后汽车行驶了______米才停止．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15. 已知函数 ．
（1）当m为何值时，此函数是一次函数；
（2）当m为何值时，此函数是二次函数．
16. 将抛物线 左右平移，使得它与x轴交于点A，与y轴交于点B，若 的面积为27，求平移后的抛物线的函数表达式．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17. 如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP=S△BOC，求点P的坐标．
18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若．
（1）求点的坐标及的值；
（2）若，求一次函数的表达式．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19. 如图所示，为了改造小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙的最大可使用长度12m）的空地上建造一个矩形绿化带．除靠墙一边（AD）外，用长为32m的栅栏围成矩形ABCD．设绿化带宽AB为xm，面积为Sm2，
（1）求S与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）绿化带的面积能达到128m2吗？若能，请求出AB的长度；若不能，请说明理由；
（3）当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大．
20. 如图，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P．
（1）求反比例函数y=表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）求△OAP的面积．
六、(本题满分12分)
21. 今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．
（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；
（2）若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：
购票方式 甲 乙 丙
可游玩景点 和
门票价格 100元/人 80元/人 160元/人
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．
①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；
②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
七、(本题满分12分)
22. 若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的伴随函数，如：是的伴随函数．
（1）若是伴随函数，求直线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若函数的伴随函数与轴两个交点间的距离为4，求，的值．
八、(本题满分14分)
23. 如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2-4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．
（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
安徽省池州市贵池区2024-2025学年上学期九年级九月
学情诊断·数学（沪科版）
参考答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：C．
2. 抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（　　）
A. y=x2 B. y=﹣3x2 C. y=﹣x2 D. y=2x2
解：∵二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大，
又∵，
∴抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是y=x2，
故选A．
3. 已知点是反比例函数图象上的点，若，则一定成立的是( )
A. B. C. D.
解：∵k=2＞0，
∴在每一象限内，y随x增大而减小．
又∵x1＞0＞x2，
∴A，B两点不在同一象限内，
∴y2＜0＜y1．
故选B．
4. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A. B.
C. D.
解：∵该公司第二、三两个月投放共享单车数量的月平均增长率为x，
∴第二个月投放共享单车辆，第三个月投放共享单车辆，
∴y与x之间的函数表达式是．
故选：B．
5. 函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　）
A. 0 B. 0或2 C. 0或2或﹣2 D. 2或﹣2
解：∵函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴当m＝0时，y＝2x+1，此时y＝0时，x＝﹣0.5，该函数与x轴有一个交点，
当m≠0时，函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
则△＝（m+2）2﹣4m（m+1）＝0，解得，m1＝2，m2＝﹣2，
由上可得，m的值为0或2或﹣2，
故选：C．
6. 已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2 B. 有最大值0，有最小值﹣1
C. 有最大值7，有最小值﹣1 D. 有最大值7，有最小值﹣2
解：∵y＝x2 4x＋2＝（x 2）2 2，
∴在 1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值 2，
当x＝ 1时，有最大值为y＝9 2＝7．
故选D．
7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数y 的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，不符合题意；
B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，符合题意；
C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，不符合题意；
D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，不符合题意．
故选：B．
8. 如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（　　）
A. B. C. D.
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠C=∠ABC=,
∵DEAC，
∴∠DEB=∠C=，∠EDB=∠A=,
∴∠DEB=∠EDB=∠DBE=，
∴△DEB是等边三角形，
∴DE=BD=2-x，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=，
∴∠DFE=，
∴DF=2DE=4-2x,
∴EF=(2-x)，
∴△DEF的面积为y=（0∵此函数为二次函数，开口向上，对称轴为直线x=2，且0故选：A．
9. 在平面直角坐标系中，已知，设函数的图像与x轴有M个交点，函数的图像与x轴有N个交点，则（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
解：对于函数，当时，函数与x轴两交点为（－a，0）、（－b，0），
∵，所以有2个交点，故
对于函数
①，交点为，此时
②，交点为，此时
③，交点为，此时
综上所述，或
故选C．
10. 将二次函数． 的图象在x轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
解：二次函数表达式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴当时，，解得：，
∴抛物线与x轴的交点为，
∴翻折部分的抛物线表达式为，顶点坐标，
如图所示：
，
①当直线过点B时，直线与该新图象恰好有三个公共点，
∴，解得，
②当直线与抛物线相切时，
直线与该新图象恰好有三个公共点，即有相等的实数解，
即：，，
解得：，
∴的值为或，
故选：C．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11. 已知抛物线y＝x2，当－1≤x≤3时，y的取值范围是________．
解：∵抛物线y＝x2中，1＞0，对称轴为直线x=0
∴当x=0时，y最小=0；当x=3时，y最大=9
当自变量x取－1≤x≤3时， y的取值范围为0≤y≤9．
故答案为：0≤y≤9
12. 如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为______．
解：∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴当y＝0时，x2﹣2x﹣3=0即（x+1）（x-3）＝0，
解得 x＝-1或x＝3
故设P（x，y），
设P（x，x2﹣2x-3）（0∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，
∴四边形OAPB为矩形，
∴四边形OAPB周长C＝2PA+2OA
＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x
＝﹣2x2+6x+6
＝﹣2（x2﹣3x）+6，
＝﹣2+．
∴当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．
故答案为：．
13. 如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC边于点E.若△BDE的面积为1，则k =________
解：设D（a，），
∵点D为矩形OABC的AB边的中点，
∴B（2a，），
∴E（2a，），
∵△BDE的面积为1，
∴ a （-）=1，解得k=4．
故答案为4．
14. 某汽车在刹车后行驶的距离s（米）与时间t（秒）之间的部分数据如下表：
时间t/秒 0 1 ．．
行驶的距离s/米 0 10
假设这种变化规律一直延续到汽车停止，如果选择用二次函数表示s（米）与t（秒）之间的关系．
（1）其函数表达式为______；
（2）刹车后汽车行驶了______米才停止．
解：（1）设二次函数的解析式为：，
∵抛物线经过点，
，
又由点可得：，
解得：；
∴二次函数的解析式为：；
经检验，其余各点均在上．
（2）解：汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离，
当时，滑行距离最大，，
即刹车后汽车行驶了米才停止．
故答案为：；．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15. 已知函数 ．
（1）当m为何值时，此函数是一次函数；
（2）当m为何值时，此函数是二次函数．
（1）解：∵函数是一次函数，
∴．
解得：．
（2）解：∵函数是二次函数，
∴，
解得：且．
16. 将抛物线 左右平移，使得它与x轴交于点A，与y轴交于点B，若 的面积为27，求平移后的抛物线的函数表达式．
解：设，平移后抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴，
∴，
解得．
∴或．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17. 如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP=S△BOC，求点P的坐标．
解：（1）把点A（﹣1，a）代入y=x+4，得a=3，
∴A（﹣1，3），
把A（﹣1，3）代入反比例函数，
∴k=﹣3，
∴反比例函数的表达式为
（2）联立两个函数的表达式得：，
解得：或，
∴点B的坐标为B（﹣3，1），
当y=x+4=0时，得x=﹣4，
∴点C（﹣4，0），
设点P的坐标为（x，0），
∵，
∴，
解得x1=﹣6，x2=﹣2
∴点P（﹣6，0）或（﹣2，0）
18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若．
（1）求点的坐标及的值；
（2）若，求一次函数的表达式．
解：（1）在中，令y＝0可得，解得x＝2，
∴A点坐标为（2，0）；
连接CO，
∵CB ⊥y轴，
∴CB∥x轴，
∴=3，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴，即：m=-5；
（2）∵点A(2，0)，
∴OA=2，
又∵AB=，
∴在中，OB=，
∵CB ⊥y轴，
∴设C(b，2)，
∴，即b=-3，即C(-3，2)，
把C(-3，2)代入，得：，解得：k=，
∴一次函数的解析式为：．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19. 如图所示，为了改造小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙的最大可使用长度12m）的空地上建造一个矩形绿化带．除靠墙一边（AD）外，用长为32m的栅栏围成矩形ABCD．设绿化带宽AB为xm，面积为Sm2，
（1）求S与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）绿化带的面积能达到128m2吗？若能，请求出AB的长度；若不能，请说明理由；
（3）当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大．
解：（1）由题意得，BC=32-2x，
∴S＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x，
又0＜32-2x≤12，解得10≤x＜16，
故S与x的函数关系式为S=﹣2x2+32x(10≤x＜16)；
（2）根据题意得，当S=128时，有﹣2x2+32x＝128，
解得：x＝8，
又由（1）知10≤x＜16，
∴x=8不符合题意，
故绿化带的面积不能达到128m2；
（3）∵S＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，
当10≤x＜16，y随x的增大而减小，
∴当x＝10时，绿化带面积最大．
20. 如图，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=图象于点P．
（1）求反比例函数y=的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）求△OAP的面积．
解：（1）将点A（4，3）代入y=，得：k=12，
则反比例函数解析式为y=；
（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
则OC=4、AC=3，
∴OA==5，
∵AB∥x轴，且AB=OA=5，
∴点B的坐标为（9，3）；
（3）∵点B坐标为（9，3），
∴OB所在直线解析式为y=x，
由可得点P坐标为（6，2），（负值舍去），
过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，
则点E坐标（6，3），
∴AE=2、PE=1、PD=2，
则△OAP的面积=×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1=5．
六、(本题满分12分)
21. 今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．
（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；
（2）若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：
购票方式 甲 乙 丙
可游玩景点 和
门票价格 100元/人 80元/人 160元/人
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．
①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；
②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
解：（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为，
由题意，得
解这个方程，得（舍去）
答：四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长20%．
（2）①由题意，丙种门票价格下降10元，得：
购买丙种门票的人数增加：（万人），
购买甲种门票的人数为：（万人），
购买乙种门票的人数为：（万人），
所以：门票收入问；
（万元）
答：景区六月份的门票总收入为798万元．
②设丙种门票价格降低元，景区六月份的门票总收入为万元，
由题意，得
化简，得，
，
∴当时，取最大值，为817.6万元．
答：当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，为817.6万元．
七、(本题满分12分)
22. 若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的伴随函数，如：是的伴随函数．
（1）若是的伴随函数，求直线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若函数的伴随函数与轴两个交点间的距离为4，求，的值．
解：（1），
其顶点坐标为，
是的伴随函数，
在一次函数的图象上，
．
，
一次函数为：，
一次函数与坐标轴的交点分别为，，
直线与两坐标轴围成的三角形的两直角边长度都为，
直线与两坐标轴围成的三角形的面积为：．
（2）设函数与轴两个交点的横坐标分别为，，则，，
，
∵函数与轴两个交点间的距离为4，
，
解得，，
函数为：，
其顶点坐标为，
是的伴随函数，
，
．
八、(本题满分14分)
23. 如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2-4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM否为直角三角形，并说明理由．
（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线与y轴相交于点C（0，﹣3），
∴﹣3=a﹣4，
∴a=1，
∴抛物线解析式为，即；
（2）△BCM是直角三角形．
理由：
由（1）有，抛物线解析式为，
∵顶点为M的抛物线，
∴M（﹣1，﹣4），
由（1）抛物线解析式为，
令y=0，∴，
∴=﹣3，=1，
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴=9+9=18，=1+1=2，=4+16=20，
∴，
∴△BCM是直角三角形；
（3）存在．
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，且点M是抛物线的顶点，分两种情况讨论：
①点N在x轴上方抛物线上，如图，由（2）有△BCM是直角三角形，=18，=2，
∴BC=，CM=，
∴S△BCM=BC×CM==3，
设N（m，n），
∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，∴S△ABN+S△ABC=S△BCM+S△ABC，∴S△ABN=S△BCM=3，
∵A（1，0），B（﹣3，0），
∴AB=4，
∴S△ABN=×AB×n=×4×n=2n=3，
∴n=，
∵N在抛物线解析式为的图象上，
∴，
∴m1=，m2=，
∴N（，）或N（，）；
②如图2，点N在x轴下方的抛物线上，∵点C在对称轴的右侧，
∴点N在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧，过点M作MN∥BC，交抛物线于点N，
∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为y=﹣x﹣3，
设MN的解析式为y=﹣x+b，
∵抛物线解析式为①，
∴M（﹣1，﹣4），
∴直线MN解析式为y=﹣x﹣5②，
联立①②得：，
解得：（舍），，
∴N（﹣2，﹣3）．
综上所述：N（，）或N（，）或N（﹣2，﹣3）．

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