资源简介

2025学年上海市建平中学高二上学期开学综合素质检测
数学 试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
考生注意：
1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟
2. 请将答案正确填写在答题纸上，作答在原卷上不予评分
一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1．设，向量，．若在方向上的数量投影为1，则 ．
2．方程在区间上的所有解的和为 ．
3．已知数列满足，则 ．
4．已知平面向量，，满足，且，则的值为 ．
5．设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数 ．
6．已知、满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为 ．
7．若，平面内一点满足，则的最大值为 ．
8．疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 ．
9．为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数满足：，，则 ．
10．已知平面向量、是不共线的单位向量，记、的夹角为，若平面向量满足，且对于任意的正实数，恒成立，则的最大值为 ．
11．已知函数，，若方程在区间内无解，则的取值范围是 ．
12．莱洛三角形也称圆弧三角形，是一种特殊的曲边三角形，在建筑、工业上应用广泛如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为莱洛三角形曲边上的一动点，则的最小值为 ．
二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）
13．若，则是第（ ）象限角
A．一或二 B．一或三 C．二或三 D．二或四
14．设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（ ）
A． B． C． D．
15． 是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
16．矩形中，，，动点满足，，则下列说法中错误的是（ ）
A．若，则的面积为定值 B．若，则的最小值为4
C．若，则满足的点不存在 D．若，，则的面积为
三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）
17．（本题共14分，每小问均为7分）
已知函数（其中常数）的最小正周期为．
（1）求：函数的表达式；
（2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求：的值．
18．（本题共14分，每小问均为7分）
某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25%
（1）设第年该生产线的维护费用为,求的表达式;
（2）若该生产线前年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线
19．（本题共14分，每小问均为7分）
如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为2km、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头在第一象限，且三个码头、、均在一条航线上.
（1）求码头点的坐标；
（2）海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标.
20．（本题共18分，每小问均为6分）
已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且.
（1）若为纯虚数，求：；
（2）若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点.
①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由；
②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求：及其最大值.
21．（本题共18分，（1）小问4分，（2）小问8分，（3）小问6分）
设数列是公比为q的等比数列，其前n项和为．
（1）若，，求：数列的前n项和；
（2）若，，成等差数列，求：q的值并证明：存在互不相同的正整数m，n，p，使得，，成等差数列；
（3）若存在正整数，使得数列，，…，在删去以后按原来的顺序所得到的数列是等差数列，求：所有数对所构成的集合．
参考答案：
填空题（1~12题）
1． 3
2．
3．
4．
5．13
6．10
9．40
10．
11．
12．
选择题（13~16题）
13．A
14．B
15．D
16．B
解答题（17~21题）
17． （1）（7分） （2）或（7分）
18． （1）；（7分） （2）9 （7分）
（1）（7分） （2）（7分）
20．（1）或（6分）
（2）①存在，；（6分）
②，最大值为2（6分）
21． （1），，数列是公比为q的等比数列，
，（1分）
数列为，
数列为首项为公差为的等差数列，（1分）
数列的前n项和.（2分）
（2），，成等差数列，
+=2，（1分）
当时,+=,2,不符题意舍去，（1分）
当时，.（1分）
,即，，
，（舍）或即，（2分）
存在互不相同的正整数，使得，，成等差数列，（1分）
，，（1分）
.（1分）
（3）由题意列出，，…，,,,,,…，在删去以后, 按原来的顺序所得到的数列是等差数列,
则，（2分）,（1分）即，（1分）
解得：方程组无解.（1分）
即符合条件的不存在，所有数对所构成的集合为. （1分）

展开更多......

收起↑