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22.2.4一元二次方程根的判别式培优提升训练华东师大版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　）
A． B．且 C． D．且
2．已知关于x的方程的根的判别式的值为1，若，，则P，Q的数量关系是（　　）
A． B． C． D．
3．已知关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
4．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
5．已知关于的一元二次方程的两个实数根相等，则（ ）
A．1 B． C．0 D．0或
6．已知一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
7．已知为实数，关于的两个方程，公共的实数根的个数为（　　）
A． B． C． D．
8．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
9．已知a，b为整数，且有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根；没有实数根，则 ．
10．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
11．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
12．定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ．
三、解答题
13．已知：关于的方程．
(1)若方程总有两个实数根，求的取值范围；
(2)若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根．
14．关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围．
15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若该方程有一个根为2，求该方程的另一个根．
16．已知关于x的一元二次方程：．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根为负数，求m的取值范围．
17．已知关于的方程．
(1)求证：方程必有两个不等实数根；
(2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根．
18．已知关于x的一元二次方程：．
(1)求证：这个方程总有两个实数根．
(2)若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
参考答案
一、选择题
1．B
2．B
3．C
4．A
5．B
6．D
7．C
8．C
二、填空题
9．5
10．
11．且
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：，
∴，
∵方程总有两个实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵ 方程的一个根为3，
∴，
解得，
当时，原方程化为，解得，
∴另一根为1；
当时，原方程化为，解得，
∴另一根为9；
∴的值为1时，该方程的另一根为1，的值为5时，该方程的另一根为9．
14．【解】（1）证明：，
，
方程总有两个实数根；
（2）解：，
，
或，
方程有一个根为非负数，
，
．
15．【解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
，
，
；
（2）方程有一个根为2，代入得：
，
，
解得，
∵，
．
当时，原方程为．
解得或．
原方程另一个根为．
16．【解】（1）证明：根据题意，得
，
即，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：，
，
或，
∴，，
∵方程有一个根为负数，
∴，
∴．
17．【解】（1）证明：
．
∵，
∴，
即，
∴方程必有两个不等实数根；
（2）解：∵当m取的整数时，存在两个有理数根，且，
∴，
∴原方程为，且，
∴此时原方程的解为，
∴m的值为1，这两个有理数根为和．
18．【解】（1）证明：∵，
∴，
∴无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：当腰长为2时，则可知方程有一个实数根为2，
∴，解得，
∴方程为，解得或，
∴三角形的三边长为，满足题意，
∴三角形的周长为；
当底边长为2时，则可知方程有两个相等的实数根，
∴，解得，
方程为，解得，
∴三角形的三边长为，，不满足题意．
综上，的周长为．
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