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22.2.2配方法培优提升训练华东师大版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．如果方程可以配方成，那么（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．已知，（为任意实数），则P，Q的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．已知方程配方后是，那么与的值分别为（ ）
A． B． C． D．
4．关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．若关于x的一元二次方程有一根为2025，则关于x的一元二次方程的其中一个根必为（ ）
A．2022 B．2024 C．2025 D．2028
6．已知满足，则（）
A． B． C．2 D．3
7．对于两个不相等的实数a，b，我们规定表示a，b中较小的数，如：，若，则x的值为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．3或
8．已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为( )
A． B． C． D．
二、填空题
9．若，则的值为 ．
10．一元二次方程配方，得，则是 ．
11．已知为实数，满足，那么的最小值为 ．
12．若代数式与的值互为相反数，则的值为 ．
三、解答题
13．小明在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值大．求原方程的根．
14．用配方法解下列方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)．
15．把方程配方，得到．
①求m和p的值；
②解这个方程．
16．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题，下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程：
解：移项得，
配方得，
所以，
直接开平方得，
所以．
【问题解决】
（1）小明配方的依据是（ ）
A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则
（2）用配方法解方程：；
【拓展应用】
（1）已知是实数，求代数式的最小值；
（2）已知都是实数，求代数式的最小值．
17．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有一个根为0，求实数的值；
(2)当时，等腰的底边长和腰长分别是一元二次方程的两个根．请用配方法解此方程，并求出的周长．
18．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在求代数式最值问题中有着广泛的应用．
示例：用配方法求代数式的最小值，
解：原式
，，的最小值为．
(1)若代数式是完全平方式，则常数的值为______；
(2)用配方法求代数式的最小值，并求出此时的值．
(3)若实数，满足，求的最小值．
参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．C
4．A
5．A
6．B
7．A
8．A
二、填空题
9．0
10．9
11．14
12．3或
三、解答题
13．【解】解：由题意可知，小明解的方程是，
把代入方程，
可得：，
解得：，
原方程为，
方程两边同时加可得：，
把方程左边分解因式可得：，
两边同时开平方可得：，
或，
解得：，．
14．【解】（1）解：，
，
配方得：，
，
开方得：，
，；
（2）解：，
，
，
配方得：，
，
开方得：，
，；
（3）解：，
，
配方得：，
，
开方得：，
，；
（4）解：，
，
，
配方得：，
，
开方得：，
，；
（5）解：，
，
配方得：，
，
开方得：，
，．
15．【解】①解：∵，
∴，
∴，
即，
∴，，
解得：，；
②，
配方得：，
开平方得：，
解得：，．
16．【解】解：[问题解决]（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，
则运用的是完全平方公式，
故选：A；
（2）移项得，二次项系数化为1得，
配方得，即，
直接开平方得，
则；
[拓展应用]
（1）．
无论取什么数，都有，
，
当时，有最小值4，
即代数式的最小值是4；
（2）
．
无论取什么数，都有，
，
当且时，有最小值，
即代数式的最小值是．
17．【解】（1）∵方程有一个根为0，
∴把代入方程得，
∴或；
（2）当时，方程为，
整理得，
配方得，
直接开平方得或，
解得，
当的底为3时，则该三角形的三边长为3，5，5，其周长为13，
当的底为5时，则该三角形的三边长为5，3，3，其周长为11，
综上所述，的周长为13或11．
18．【解】（1）解：根据完全平方式的定义，即，
可知代数式中，，
则，
当时，，解得；
当时，，解得；
所以或．
（2）解：
，
，，
当，时，有最小值，最小值为，
此时，，解得：，．
所以．
（3）解：，
，，
，，的最小值为4．
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