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北京市第四中学2025-2026学年高二上学期开学测试
数学试题
一、单选题:本大题共11小题，共44分。
1．计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于
A． B． C． D．
2．若是第四象限角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3．化简（ ）
A． B． C．-1 D．1
4．一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．设是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A．若∥，∥，则∥ B．若∥，，则
C．若，则 D．若，∥，则
7．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
8．是非零向量，与的夹角为，，则为（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．设点，，不共线，则“”是“”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
10．已知，则下列直线中，是函数对称轴的为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（ ）

A．平面
B．平面
C．三棱锥的体积为定值
D．的面积与的面积相等
二、多选题：本大题共4小题，共20分。
12．下列命题中正确的是（ ）
A．若直线，则
B．若直线在平面内，则必不相交
C．若直线，则
D．若直线，则必不相交
13．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
14．在△ABC中，已知，则下列说法正确的是（ ）．
A．tanA=tanB B．
C． D．
15．赵炎为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.下图是某同学绘制的赵爽弦图，其中，点分别是正方形和正方形上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．设与的夹角为，则的值为3
D．的最大值为12
三、填空题：本大题共6小题，共30分。
16．已知，则 ．
17．的值域是 ．
18．设，则的值是 ．
19．中，角所对的边分别为，，则 .
20．如图，在中，，点满足．若 ．
21．设函数，若关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实根，则的最大整数值为 .
四、解答题：本大题共4小题，每小题14分，共56分。
22．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)若函数，求在区间上的最大值和最小值．
23．在中，，．
(1)求；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：的周长为．
24．如图，在四棱锥中，平面，，．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)设点为的中点，过点，的平面与棱交于点，且平面，求的值．
25．已知，若存在数阵满足：①；②．则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”．
(1)已知数阵是的一个“好数阵”，试写出的值；
(2)若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；
(3)判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C B B B D C C
题号 11 12 13 14 15
答案 D AB BD BD BC
16．3
17．
18．
19．
20．14
21．4
22．（1）由图象可知：，
将点代入得，
∴
（2）
由得
当时，即；
当时，即；
23．（1）由余弦定理知，，
因为，所以．
（2）选择条件①：
把，代入中，化简得，解得，
所以存在两个，不符合题意；
选择条件②：
因为，，所以，
由正弦定理知，，所以，
因为，
所以的面积．
选择条件③：
因为的周长为，且，所以，
又，所以，解得，
所以的面积.
24．（1）因为平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面.
（2）因为，，所以，
因为平面，平面，所以，
，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（3）因为平面，平面平面，
平面，所以，因为点为的中点，
所以点为的中点，所以.
25．（1）由“好数阵”的定义，
知，，，,4,5,，
故，，，,,，进一步得到，，
从而，，，．
（2）如果是一个“好数阵”，
则，.
从而，
.
故也是一个“好数阵”.
由于是偶数，故，从而.
所以数阵和的第1行第2列的数不相等，故是不同的数阵.
设全体“好数阵”构成的集合为S，并定义映射如下：
对，规定.
因为由中的元素构成的数阵只有不超过种，故是有限集合.
而
，
即，从而是满射，由是有限集，知也是单射，故是一一对应.
对于“好数阵”，
已证数阵和是不同的数阵，
故.
同时，对两个“好数阵”，，如果，则；
如果，则.所以，当且仅当.
最后，对，由，称2元集合为一个“好对”.
对，若属于某个“好对”，则或，即或.
由于，故无论是还是，都有.
所以每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有偶数个.
（3）若是“好数阵”，则有
，
所以，
，
若，
因为， ，
所以只有以下两种可能：和，
（i）若，则，
使的只有，使的有两种可能：，或，
情形一：时，只有，，，可得；
情形二：时，只有，，，可得；
（ii）若，则，
使的只有，使的有两种可能：，或，
情形一：时，只有，，，可得，
情形二：时，只有，，，可得，
综上， 是“好集合”，且满足的好数阵有四个：
；；；．
答案第1页，共2页
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