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2.5可化为一元一次方程的分式方程培优提升训练湘教版2025—2026学年八年级数学上册
一、选择题
1．下列各式中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．解分式方程去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（ ）．
A． B．且
C．且 D．且
4．如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ）
A． B．1或0 C．1 D．1或
5．若关于的方程的增根是，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
6．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型比“神舟”模型多2个，设“天宫”模型单价为元，则可以列出方程为（ ）
A． B． C． D．
7．若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．定义运算“*”：若，则的值为（ ）
A． B．6 C．或6 D．或
二、填空题
9．若是分式方程的解，则的值为 ．
10．若分式方程有增根，则a的值为 ．
11．若关于的分式方程在实数范围内无解，则实数的值为 ．
12．若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为 ．
三、解答题
13．某水果店去年购买了一批水果．其中水蜜桃每千克的单价比李子多4元，用1200元购买的水蜜桃与用800元购买的李子千克数相等．
(1)求去年购买的水蜜桃和李子的单价各是多少元/千克？
(2)若今年李子的单价比去年提高了，水蜜桃的单价与去年相同，这家水果店今年计划再购买李子和水蜜桃共200千克，且购买李子和水蜜桃的总费用不超过2120元，这家水果店今年至少要购买多少千克李子？
14．解下列方程．
(1)； (2)．
15．我们定义：形如（不为零），且两个解分别为的方程称为＂十字分式方程＂．
例如为十字分式方程，可化为．
再如为十字分式方程，可化为．．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若十字分式方程的两个解分别为，求的值．
(2)若关于的十字分式方程的两个解分别为，求的值．
16．已知关于x的方程=．
(1)若方程无解，求m的值；
(2)若方程的解是正数，求m的取值范围．
17．已知关于的分式方程．
(1)若方程的增根为，求的值；
(2)若方程的解为非负数，求的取值范围．
18．一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如：
①；
②；
③
(1)仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；
(2)仿照上述方法，把化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；
(3)已知x、y均为正整数，，，且M、N均为正数．若，请求出x、y的值．
参考答案
一、选择题
1．D
2．C
3．D
4．D
5．A
6．D
7．B
8．C
二、选择题
9．
10．或
11．1
12．2或3
三、解答题
13．【解】（1）解：设李子的价格为x元，则水蜜桃的价格为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根．
此时，
答：去年李子单价为8元/千克，则水蜜桃单价为12元/千克．
（2）解：根据题意，设购买李子千克，则购买水蜜桃千克，
且，
解得，
故a的最小值是140；
答：这家水果店今年至少要购买140千克李子．
14．【解】（1）解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是；
（2）解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
15．【解】（1）解：十字分式方程变形为，
可化为，
∴，或
∴；
（2）解：方程是十字分式方程，可化为，
∴，，
∵，，
∴，，即，，
代入得，，
∴的值为2022．
16．【解】（1）解：去分母得，
整理得，
当时，整式方程无解，即时，原方程无解；
当时，，解得；
当时，，解得，
即或时，整式方程的解为2或1，此时分式方程无解，
综上所述，m的值为或2或；
（2）解：解方程得，
∵且且，
∴且且，
∴或且且．
17．【解】（1）解：，
去分母得：，
，
，
是原方程的增根，
，解得．
（2）解：
去分母并整理得，
方程的解为非负数，
，即，
，
又或时，该分式方程无解，
且，
且，
综上所述，的取值范围为且．
18．【解】（1）解：；
；
（2）解：
；
（3）解：∵，
，
因为，
所以，
即，
令，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M、N均为正数，x、y均为正整数，
∴a，b为正整数，
∴或或，
当时，，此时，，
当时，，此时，（舍），
当时，，此时，（舍），
∴综上，，
∴，，
经检验，符合题意，
∴，．
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