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3.1二次根式的概念及性质培优提升训练湘教版2025—2026学年八年级数学上册
一、选择题
1．使式子在实数范围内有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
2．已知有理数满足，则的值是（ ）
A．1 B．2012 C．2013 D．2014
3．下列说法错误的有（　　）
①的平方根是；②是2的算术平方根；③；④．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
4．已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　）
A．2022 B．2024 C．2026 D．2028
5．实数，在数轴上对应的位置如图，化简等于（ ）
A． B．
C． D．
6．若，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．化去式子根号内的分母，结果为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则的值为（）
A． B． C．2024 D．2025
二、填空题
9．观察：，，，…计算，其结果为 ．
10．已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ．
11．已知，则 ．
12．若、为实数，且满足，则的算术平方根为 ．
三、解答题
13．计算：
(1) (2)
14．先观察下列等式，猜想找规律，回答问题：
①；
②；
③．
(1)根据上面三个等式，请写出第7个等式为 ；
(2)请写出第 n个等式为 ；
(3)根据上述规律，解答问题：
设 ，求不超过m的最大整数是多少？
15．（1）计算：
（2）实数，在数轴上的位置如图所示．化简：．
16．（1）【问题情景】请认真阅读下列这道例题的解法．
例：已知，求的值．
解：由已知得：，解得___________，___________；
（2）【尝试应用】若为实数，且，则___________；
（3）【拓展创新】已知，求的值．
17．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题：
(1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ；
(2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值；
(3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“整数区间”．
18．（1）若，为实数，且，求的值；
（2）若实数满足，求的值．
参考答案
一、选择题
1．B
2．D
3．C
4．D
5．B
6．D
7．D
8．B
二、填空题
9．
10．4
11．16
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．【解】（1）解：第7个等式为；
故答案为：；
（2）第 n个等式为；
故答案为：；
（3）
，
∴不超过m的最大整数是2024．
15．【解】（1）解：
；
（2）解：由数轴知：，，，
∴
．
16．【解】解：（1）由已知得：，解得，
；
故答案为：2024；2025；
（2）由题意得：，解得，
∴，
则，
∴；
故答案为：1；　
（3）由题意得：，解得，
∴，
即，
∴．
17．【解】（1）解：∵，，
∴，，
∴的“整数区间”是，的“整数区间”是．
故答案为：，．
（2）解：∵无理数的“整数区间”为，
∴，
∴，即，
∵的“整数区间”为，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵a为正整数，
∴或，
当时，；
当时，．
∴的值为2或．
（3）解：∵，
∴、，
∴，
∴，
∴、，
两式相减，得，即，
∴m的算术平方根为，
∵，
∴，
∴m的算术平方根的“整数区间”是．
18．【详解】解：（1）∵式子有意义，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵式子有意义，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
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