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3.3二次根式的加法和减法培优提升训练湘教版2025—2026学年八年级数学上册
一、选择题
1．计算的值为（　　）
A． B． C． D．
2．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片如图①不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知：，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．活动课上，淇淇打算用长方形卡纸做一个长、宽、高的比为的长方体纸盒，且纸盒的底面积为，他设计的展开图（阴影部分）如图所示（恰好剪出），关于①、②，下列判断①这个长方体纸盒的体积为；②该长方形卡纸的长为，宽为；正确的是（ ）
A．①、②都不对 B．①、②都对 C．①对②不对 D．①不对②对
8．用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分，已知，是的小数部分，是的小数部分，则的值是（ ）
A． B． C．1 D． E．
二、填空题
9．已知，则代数式的值为 ．
10．化简：＝ ．
11．若，，则的值为 ．
12．若最简二次根式与能进行合并，则 ．
三、解答题
13．计算
(1)． (2)．
14．（1）先化简，再求代数式的值，其中．
（2）已知，，求下列代数式的值：
①；
②．
15．已知．求下列各式的值：
(1)；
(2)．
16．阅读下列材料，然后回答问题：
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)若是正整数，，，且，求的值；
(3)若，则的值是______．（直接写出答案结果）
17． 计算：
(1) (2)
(3) (4)
18．阅读与思考
阅读材料：像，，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．再如与也互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
，
．
，，
，．
请你根据小明的解答过程，解决下列问题：
(1)的一个有理化因式是______．
(2)化简：
(3)若，求的值．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
1．B
2．A
3．A
4．A
5．C
6．D
7．B
8．A
二、填空题
9．4
10．
11．
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：，
；
（2）解：，
．
14．【解】解：（1）
，
当时，
原式；
（2）①∵，，
∴，，
∴；
②由①可知，
∴．
15．【解】（1）∵
∴
；
（2）∵
∴
．
16．【解】（1）解：原式
（2），，
．
．
．
，
，
，
解得：；
（3），
，
，
，
，
，
．
故答案为：9．
17．【解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
18．【解】（1）解：∵
∴的一个有理化因式是，
故答案为：（答案不唯一）
（2）解：
（3）解：∵
∴．
∴，
∴，
∴，
∴．

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