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21.1二次根式培优提升训练华东师大版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）．
A． B． C． D．
2．设，，则可以表示为（　　）
A． B． C． D．
3．若是最简二次根式，则的值可以是（ ）
A．20 B． C． D．11
4．计算的结果是（ ）
A．9 B．3 C． D．
5．下列各式中，一定能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列各三角形中，面积为无理数的是（ ）
A．B． C． D．
7．下列各数与相乘，结果为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
8．若，把化成最简二次根式为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ．
10．计算： ．
11．把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ．
12．已知，则 ．
三、解答题
13．计算：
(1)；
(2)．
14．定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，所以．
已知：，求：
(1)①求代数式中的取值范围
②求代数式的值；
(2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程：；
15．一个三角形的三边长分别为 ，，．
(1)求证：三角形是直角三角形；
(2)求这个三角形的面积．
16．计算：
(1)；
(2)；
(3)，；
(4)；
(5)；
(6)．
17．如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，求：
(1)阴影部分的长和宽；
(2)阴影部分的面积．
18．阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：______，______；
(2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值；
参考答案
一、选择题
1．A
2．D
3．D
5．D
6．C
7．A
8．C
二、填空题
9．
10．6
11．
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：；
（2）解：．
14．【解】（1）解：① 由二根式有意义的条件得到：，
解得，
即的取值范围是；
②∵
，
而，
∴；
（2）解：由（1）得，
而，
两式相加得到，
即，
则，
解得，
经检验，是原方程的根，
即方程的解是；
15．【解】（1）证明：，
∴三角形是直角三角形．
（2）解：这个三角形的面积为：．
16．【解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
；
（5）解：原式
；
（6）解：原式=
=4
；
∵，
∴，
原式.
17．【解】（1）解：∵两个裁去的小正方形的面积分别为和，
∴这两个裁去的小正方形的边长分别为和，
∴阴影部分的长和宽分别为和；
（2）解：由（1）可知阴影部分的长为，宽为，
∴阴影部分的面积．
18．【解】（1）解：，
，，
故答案为：，；
（2）解：，
，，
，
m，n均为正整数，
，，或，，
当，时，，
当，时，，
综上可知，a的值为13或7；
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