第二章 实数 强化训练 (含答案)2025—2026学年北师大版(2024)数学八年级上册

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第二章 实数 强化训练 (含答案)2025—2026学年北师大版(2024)数学八年级上册

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第二章实数
一、单选题
1.下列说法正确的是(  )
A.1的平方根是1 B.
C.4的算术平方根是2 D.9的立方根是3
2.实数3.14,,,0.505005000…,中,无理数有(  )个
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如果二次根式有意义,那么实数a的取值范围是(  )
A. B. C. D.
4.下列说法中正确的是(  )
A.正数和负数统称为有理数 B.0既不是整数,又不是分数
C.0是最小的正数 D.整数和分数统称为有理数
5.代数式(m+1)2,(m≥0),x2+1,|-2|,中一定是正数的有(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6. 若一个正数的两个不同的平方根分别是和,则这个数的立方根为(  )
A.8 B.4 C. D.64
7.估计 ( )的值应在(  )
A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间
8.一般地,如果(为正整数,且),那么叫作的次方根.例如:∵,,∴16的四次方根是.则下列结论:①3是81的四次方根;②任何实数都有唯一的奇次方根;③若,则的三次方根是;④当时,整数的二次方根有4050个.其中正确的个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.计算 的结果是(  )
A. B. C. D.
10.若实数a,b,c满足等式 则c 可能取的最大值为(  )
A.0 B.1 C.2 D.3
11.如图,正六边形ABCDEF(每条边都相等)在数轴上的位置如图所示,点A、F对应的数分别为-2和-1,现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转,翻转1次后,点E所对应的数为0,连续翻转2000次后,数轴上1998这个数所对应的点是(  )
A.A点 B.D点 C.E点 D.F点
12.如图,已知等腰直角,,.射线在内部(),,.设,,,下列结论正确的是(  )
①②③④
A.①②③ B.②③④ C.②④ D.③④
二、填空题
13.化简:   .
14. 的值在哪两个整数之间    .
15.实数m、n在数轴上的位置如图所示,则|n﹣m|=   .
16.已知,则化简的结果为   .
17.已知|x|=3,y2=4,且x<y,那么x+y的值是   .
18.古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考,尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法:若三角形三边长分别为相a、b、c,记,则三角形的面积为,因此后人将他们的发现合称为海伦﹣秦九韶公式,请你利用海伦﹣秦九韶公式计算以下△ABC的面积为    .
19.如图,在数轴上,点A所对应的实数为-1,点C对应的实数为2,过C作数轴的垂线段BC,使得BC = 1,再以A为圆心,AB长为半径画弧,交数轴的正半轴于点D,则点D对应的实数为    
20.若 ,且x,y,z均不为零,则 的值为   .
21.阅读理解:对于任意正整数a,b,∵,∴,∴,只有当时,等号成立;结论:在(a、b均为正实数)中,只有当时,有最小值.若,有最小值为   .
22.数轴是一个非常重要的数学工具,它使数和数轴上的点建立起对应关系,揭示了数与点之间的内在联系,它是“数形结合”的基础.小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究:
(1)操作一:折叠纸面,若使表示的点1与﹣1表示的点重合,则﹣2表示的点与   表示的点重合;
(2)操作二:折叠纸面,若使1表示的点与﹣3表示的点重合,回答以下问题:
① 表示的点与数   表示的点重合;
②若数轴上A、B两点之间距离为8(A在B的左侧),且A、B两点经折叠后重合,则A、B两点表示的数分别是   ;
(3)操作三:在数轴上剪下9个单位长度(从﹣1到8)的一条线段,并把这条线段沿某点折叠,然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段(如图). 若这三条线段的长度之比为1:1:2,则折痕处对应的点所表示的数可能是   .
三、解答题
23.已知,,求的值.
24.已知3是2x﹣1的平方根,y是﹣8的立方根,z是绝对值为2的数,求2x+y﹣5z的值.
25.如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的,已知一张长方形纸板的面积为.
(1)求正方形纸板的边长;
(2)若将该正方形纸板进行裁剪,然后拼成一个体积为的正方体,请你判断该纸片是否够用?若够用,求剩余的纸片的面积;若不够用,求缺少的纸片的面积.
26.定义:若两个二次根式a,b满足ab=c,且c是有理数,则称a与b是关于c的共轭(è)二次根式.问题解决:
(1)若a与2是关于6的共轭二次根式,则a=   ;
(2)若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式,求m的值.
27.已知二次根式.
(1)求使得该二次根式有意义的的取值范围;
(2)已知是最简二次根式,且与可以合并.
①求的值;
②求与的乘积.
28.如图,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,若AB=2 ,CD=4 ,BC=8,求四边形ABCD的面积.
29. 前山河部分水域的两岸是互相平行的直线,在两岸的处分别设置了一盏可以不断匀速旋转地探照灯.设两岸,点M处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转,点N处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转,当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转,旋转中常常出现交叉照射,若点M处射出的光线每秒旋转a度,点N处射出的光线每秒旋转b度,且.
(1)求的值;
(2)设点M处探照灯先旋转20秒后,记两盏灯一起旋转的时间为t秒,当点M处探照灯射出的光线首次旋转至位置之前,能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行,若能,求出所有t的值:若不能,说明理由;
(3)已知垂直河岸,设两灯同时开始旋转,若两盏探照灯射出的光线在河面上点F处互相垂直,求的度数;
30.据说,我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中,看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题:一个数是32 768,它是一个整数的立方,求它的立方根.华罗庚不假思索给出了答案,邻座的乘客非常惊奇,很想得知其中的奥秘.你知道华罗庚是怎样快速准确计算出的吗 请按照下面的方法试一试.
(1)由 因为 ,所以可以确定 是   位数.
(2)由32768的个位上的数是8,可以确定、 的个位上的数是   ,划去32768后面的三位数768得到32,因为 ,可以确定 的十位上的数是   .
(3)所以    .
(4)仿照上述方法计算
答案解析部分
1.【答案】C
2.【答案】C
【解析】【解答】解:3.14这是一个有限小数,为有理数;
,由于是一个无理数,则也是一个无理数;
π是一个著名的无理数,其小数部分无限不循环,因此也是一个无理数;
0.505005000…这是一个无限不循环小数,因此也是无理数;
这是一个分数,为有理数,
∴无理数有3个.
故答案为:C.
【分析】无理数就是无限不循环的小数,常见的无理数有四类:①开方开不尽的数,②与π有关的数,③规律性的数,如0.101001000100001000001…(每两个1之间依次多一个0)这类有规律的数,④锐角三角函数,如sin60°等,据此逐一判断得出答案.
3.【答案】D
4.【答案】D
【解析】【解答】因为整数和分数统称有理数,因此A选项表述不符合题意,
因为0是整数,因此B选项表述不符合题意,
因为0不是正数也不是负数,因此C选项表述不符合题意,
因为整数和分数统称有理数,因此D选项表述符合题意,
故答案为:D.
【分析】整数和分数统称有理数, 0是整数,0既不是正数也不是负数,根据有理数的定义和有理数的分类进行求解即可.
5.【答案】B
6.【答案】B
【解析】【解答】解:根据题意得,3a-4+(-2a)=0,解得a=4,
则这个正数的两个不同的平方根分别为8和-8,
∴ 这个是64,
∴=4.
故答案为:B.
【分析】根据平方根的性质可得a的值,进而求得该正数,再求其立方根即可.
7.【答案】B
【解析】【解答】解:原式=2 ﹣5
∵9<15<16
∴3.5< <4
∴7<2 <8
∴2<2 ﹣5<3
故答案为:B.
【分析】原式化简后,估算即可得到结果.
8.【答案】C
9.【答案】B
【解析】【解答】原式= + - = + - = ,故选B.
【分析】正确进行根式的加减法,迅速运算解答,是解此类单选题的基本途径.
10.【答案】C
【解析】【解答】解:代入4 -9|b|=6c,得
∴c 可能取的最大值为2.
故选C.
故答案为:C
【分析】 先用消元的思想用含c 的式子表示出 和|b|,再根据 和|b|都是非负数确定c的取值范围,即可解答.
11.【答案】C
12.【答案】B
13.【答案】
14.【答案】5和6
【解析】【解答】解:
故答案为:5和6
【分析】用无理数的估算方法进行估算.
15.【答案】m﹣n
16.【答案】6
17.【答案】-1或-5
【解析】【解答】解:∵|x|=3,y2=4,
∴x=±3,y=±2,
∵x<y,
∴x=-3,y=±2,
当x=-3,y=2时,x+y=-1,
当x=-3,y=-2时,x+y=-5,
所以,x+y的值是-1或-5.
故答案为:-1或-5.
【分析】利用绝对值和乘方的知识确定x、y的值,然后计算即可解答.
18.【答案】2
【解析】【解答】解:∵,

故答案为:2.
【分析】先求出p,再代入面积公式求解.
19.【答案】
【解析】【解答】解:∵数轴上A、C表示的数分别是-1、2,
∴,
∵BC⊥AC,BC=1,
∴,
由作图方式可知,,
∴点D表示的实数为,
故答案为:.
【分析】根据两点间距离公式可得AC=3,利用勾股定理可得AB的值,由作图方式可知AD=AB,据此不难得到点D表示的实数.
20.【答案】
【解析】【解答】解:∵ ,且 , , 均不为零,
∴x,y,z的值可能是两负一正或两正一负,
①当 , , 时,其他两负一正的情况都是一样的,故这里只说明一种,则有:

②当 , , 时,则有:

综上所述: 的值为 ;
故答案为: .
【分析】先求出x,y,z的值可能是两负一正或两正一负,再分类讨论,计算求解即可。
21.【答案】3
【解析】【解答】解:由题中结论可得
即:当时,有最小值为3,
故答案为:3.
【分析】将原式化为,然后根据题中材料所给结论,可得3,即可求解.
22.【答案】(1)2
(2);-5
(3)
【解析】【解答】解:操作一,
(1)∵表示的点1与-1表示的点重合,
∴折痕为原点O,
则-2表示的点与2表示的点重合,
操作二:
(2)∵折叠纸面,若使1表示的点与-3表示的点重合,
则折痕表示的点为-1,
①设 表示的点与数a表示的点重合,
则 -(-1)=-1-a,
a=-2- ;
②∵数轴上A、B两点之间距离为8,
∴数轴上A、B两点到折痕-1的距离为4,
∵A在B的左侧,
则A、B两点表示的数分别是-5和3;
操作三:
(3)设折痕处对应的点所表示的数是x,
如图1,当AB:BC:CD=1:1:2时,
设AB=a,BC=a,CD=2a,
a+a+2a=9,
a= ,
∴AB= ,BC= ,CD= ,
x=-1+ + = ,
如图2,当AB:BC:CD=1:2:1时,
设AB=a,BC=2a,CD=a,
a+a+2a=9,
a= ,
∴AB= ,BC= ,CD= ,
x=-1+ + = ,
如图3,当AB:BC:CD=2:1:1时,
设AB=2a,BC=a,CD=a,
a+a+2a=9,
a= ,
∴AB= ,BC=CD= ,
x=-1+ + = ,
综上所述:则折痕处对应的点所表示的数可能是 或 或 .
【分析】(1)根据对称性找到折痕的点为原点O,可以得出-2与2重合;
(2)根据对称性找到折痕的点为-1,①设 表示的点与数a表示的点重合,根据对称性列式求出a的值;②因为AB=8,所以A到折痕的点距离为4,因为折痕对应的点为-1,由此得出A、B两点表示的数;
(3)分三种情况进行讨论:设折痕处对应的点所表示的数是x,如图1,当AB:BC:CD=1:1:2时,所以设AB=a,BC=a,CD=2a,得a+a+2a=9,a= ,得出AB、BC、CD的值,计算也x的值,同理可得出如图2、3对应的x的值.
23.【答案】3
24.【答案】﹣2或18
25.【答案】(1)正方形纸板的边长为;
(2)够用,剩余的正方形纸板的面积为.
26.【答案】(1);
(2)
27.【答案】(1)
(2)①;②5
28.【答案】解:∵ AB=AD,∠BAD=90°,AB= ,
∴ BD= =4,
∵ BD2+CD2=42+( )2=64,BC2=64,
∴ BD2+CD2=BC2,
∴ △BCD为直角三角形,
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD= × × + × ×4=4+8
【解析】【分析】在三角形ABD中,用勾股定理可求得BD的值,再用勾股定理的逆定理即可证得△BCD为直角三角形,然后可得四边形ABCD的面积=直角三角形ABD的面积+直角三角形BDC的面积即可求解。
29.【答案】(1)解:∵,
∴,
解得:.
(2)解:M处探照灯先旋转20秒后,M旋转了;
当点M处探照灯射出光线首次旋转至位置,,解得;而当t经过70s,CN旋转了;
中间存在t值使得两盏探照灯射出的光线互相平行,如图
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,解得;
此后的移动速度比要快,均不可能平行.
当QN到达转到DN,又返回时,若两组光线平行,如图:
同样有∠CNQ=∠BMP.

解得;
因此答案为或秒;
(3)解:设两灯同时开始旋转,若两盏探照灯射出的光线在河面上点F处互相垂直.
∵点N处的射线旋转速度为4°每秒,故从NC旋转到ND需要的时间为:180÷4=45(s).
∵点M处的射线旋转速度为2°每秒,故从NA旋转到NBD需要的时间为:180÷2=90(s).
①当时,如图,过点作,
∵,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
即:,
解得:,此时,两光线交于点,不符合题意;
当时:
两盏探照灯射出的光线在河面上点F处互相垂直时,
同法可得:,解得;
此时
当,两个的探照灯又会回到平行时候的状态,
故是唯一解.
【解析】【分析】(1)根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性,得到关于a和b的二元一次方程,求解即可;
(2)根据平行线的性质可证得,设ts时两盏探照灯射出的光线互相平行,分ON到达DN之前和ON到达DN之后两种情况分别表示出∠CNQ和∠BMP,列方程求解即可;
(3)求出两岸的两盏探照灯从岸的一头旋转到另一头的时间,然后分两种情况讨论即可。①N出发出的光线从NC运动到ND的过程,即;②N出发出的光线运动到ND又返回到NC的过程,即;过F作EF//CD,根据平行线的性质建立关于时间t的方程,求解即可.注意排除不合题意的交点F.
30.【答案】(1)两
(2)2;3
(3)32
(4)解:∵,,且,
∴是一个2位数.
∵13824的个位上的数是4,
∴可以确定,的个位上的数是4.
∵13824前2位的数字是13,且,
∴可以确定十位上的数字是2.
综上所述,.
【解析】【解答】解:(1)(2)(3)∵,,且,
∴是一个2位数.
∵32768的个位上的数是4,
∴可以确定,的个位上的数是2.
∵ 划去32768后面的三位数768得到32 ,且,
∴可以确定十位上的数字是3.
综上所述,.
故答案为:2;3;32.
【分析】 通过第(1)步,求出立方根的数位,然后通过第(2)步分别求出各数位上的数字.

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