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广东省汕头市潮阳一中明光学校2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题
（时间：120分钟，满分：150分）
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. i是虚数单位，若复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知抛物线的焦点是双曲线的右顶点，则双曲线的离心率是（ ）
A. 4 B. C. D.
4. 下列区间中，函数不单调的区间是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图所示为某函数的部分大致图象，则该函数的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　）
A. 2 B. C. D. 2
7. 在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（ ）
A. B. C. 3 D.
8. 我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分
9. 在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（ ）
A. B.
C 平面平面 D. 平面平面
10. 若，且，则（ ）
A. B. 展开式中系数最大
C. D.
11. 已知锐角三角形中，角的对边分别为，有，则的取值不可能是（ ）.
A. B. C. D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 曲线在处的切线方程为______．
13. 已知正项等比数列的前项积为，若是中唯一的最小项，则满足条件的的通项公式可以是_________（写出一个即可）.
14. 已知随机变量，设函数，若曲线的对称中心为，则______．
四 解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 部分胎儿在B超检查时会检测出鼻骨缺失，其中有的胎儿是孤立性鼻骨缺失（不合并其他超声异常），有的胎儿是鼻骨缺失的同时合并了其他超声异常．某儿科医院统计了100名鼻骨缺失胎儿的染色体检测结果，得到如下列联表：
是否合并其他超声异常 染色体是否异常 不合并 合并 合计
正常 72 6 78
异常 3 19 22
合计 75 25 100
（1）根据小概率值独立性检验，分析鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体是否异常有没有关系；
（2）现有3例鼻骨缺失胎儿，以频率估计概率，记为这3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，求的分布列和数学期望．
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16. 已知数列的前n项和为，且.
（1）求；
（2）求的通项公式，并证明为等差数列；
（3）若，求.
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
18. 已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于两点，点关于轴的对称点为为坐标原点．
（1）求的方程；
（2）证明：的面积为定值；
（3）若点在直线的右侧，求直线在轴上的截距的最小值．
19. 已知函数处有极大值，且函数在定义域内单调递增．
（1）求的值；
（2）求的取值范围．
参考答案
1-8.BBABB DAC 9-11.BD ACD ABD
12.
13.
14.3
15【小问1详解】
解：设零假设：鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体异常无关.
由题知.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为胎儿鼻骨缺失合并其他超声异常与胎儿染色体异常有关，此推断犯错误概率不大于.
【小问2详解】
由列联表所给频数可得鼻骨缺失的胎儿中合并其他超声异常的频率为,
以此估计鼻骨缺失的胎儿的中合并其他超声异常的概率为，
即一例鼻骨缺失胎儿合并其他超声异常的概率为
为3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，所以的所有可能取值为,
且，故.
则的分布列如下
0 1 2 3
故的数学期望.
16.【小问1详解】
令可得：，
即
【小问2详解】
由，
可得：，
两式相减可得：，，
当时，不满足，
所以的通项公式为，
令，所以，
由的通项公式可得：，
由通项公式可知：。
所以为等差数列；
【小问3详解】
由（2）知，当时，
，
所以
17.【小问1详解】
如图所示，作线段的中点，连接，
因为侧面为等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，面，
所以平面，因为平面，所以，
因为底面为矩形，所以，
因为，面，面，所以面，
因为平面，所以平面面.
【小问2详解】
如图所示，作中点，连接，则
由（1）可得，面，面，所以面，
则可以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系；
则，
可得，
设面的法向量为，则，得，
令，解得，所以面的一个法向量为，
易知面得一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18.【小问1详解】
由椭圆的离心率为，得，即，
由点在上，得，联立解得，
所以的方程为.
【小问2详解】
设，则，
由消去并整理得，
，，
，
所以的面积为定值.
【小问3详解】
由点在直线的右侧，得，设直线与轴的交点为，
当时，点中有一个点与椭圆的上顶点重合，此时即为的上顶点，，
当时，由共线，得，即，
整理得，而
，当且仅当时取等号，，
所以直线在轴上的截距的最小值为.
19.【小问1详解】
首先对求导，可得：
.
因在处有极大值，所以，即，解得或.
当时，.
令，可得或.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以是极小值点，不符合题意，舍去.
当时，.
令，可得或.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以是极大值点，符合题意.
综上，.
【小问2详解】
由（1）可知，则，其定义域为.
对求导可得：
.
因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.
化简不等式可得：，，即
令，对其进行配方可得，其对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，.
则在上恒成立，即在上恒成立.
因为，所以，则.
当且仅当时取得最值，与前面最值条件一样.
那么在上恒成立，即.
因为，所以，则，解得.

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