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2025年韶关市九年级中考数学考前训练卷（四）
一、选择题:本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．实数2，0，，中，最小的数是（ ）
A．2 B．0 C． D．
2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．2025年全国普通高校毕业生规模预计达到1222万人，数12220000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知△ABC中，∠B＝α，∠C＝β，（α＞β）AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数为（　　）
A．α﹣β B．2（α﹣β） C．α﹣2β D．（α﹣β）
5．袋子中装有个红球和个黑球，这些球除了颜色外都相同．从袋子中随机地摸出1个球，则它是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．和0之间 C．2和3之间 D．和之间
8．方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
9．已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
10．如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分,共15分.
11．因式分解： ．
12．若一个 边形的外角和是它内角和的 倍，则 _______．
13．在△ABC中，若∠A，∠B满足|cosA－|＋(sinB－)2＝0，则∠C＝ ．
14．一组数据：1，7，7，3，5，3的中位数 ．
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝45°，BD＝，BC＝3，则的最小值为 ．
三、解答题（一）:本大题共3小题,每小题7分，共21分.
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，长方形中，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①在边上取一点，使；
②在上作一点，使点到点和点的距离相等；
(2)在（1）的条件下，连接．若，，求的面积．
四、解答题（二）:本大题共3小题,每小题9分，共27分.
19．为了迎接体育中考，某校对600名毕业班学生进行了一次体能摸底测试（满分30分），并随机抽取部分学生的测试成绩（单位：分），制成如下图所示的频数分布直方图，已知成绩在15.5~18.5这一组的频率为0.05．请回答下列问题：
（1）在这个调查中，样本容量为 ，学生体育测试的平均成绩是 （提示：取各组的组中值进行计算）；
（2）补全成绩在21.5~24.5这组的频数分布直方图；
（3）学校准备从测试成绩在27.5~30.5这一组同学中，选2名同学当体育集训的督导员，但只有5名同学自愿报名，且5名同学中男生比女生多1名，若学校采取随机抽签的方式确定两名同学，求选中的同学恰好是一男一女的概率．
20．自2022年新课程标准颁布以来，我校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台．
(1)求A，B型设备单价分别是多少元；
(2)我校计划购买两种设备共50台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的．设购买a台A型设备，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并设计出费用最低时的购买方案．
21．如图，直线，与反比例函数的图象交于点A与点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求不等式的解集
五、解答题（三）:本大题共2小题, 第22小题13分,第23小题14分,共21分.
22．已知中，点和点是平面内两点，连接，和，．
(1)如图1，若，，，求的长度；
(2)如图2，连接和，点为中点，点为中点，连接和，若，求证：；
(3)若，，当取得最小值，且取得最大值时，直接写出的面积．
23．已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，请连接，求出的面积最大值及此时点P的坐标．
(3)如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，若抛物线与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线对称轴上一动点，在（2）的条件下，当是等腰三角形时，求点E的坐标．
参考答案
1．C
2．C
3．A
4．D
5．D
6．B
7．A
8．A
9．B
10．D
11．
12．5
13．75°
14．4
15．
16．解：
．
17．解：原式
，
当时，原式．
18．（1）解：①以点为圆心，长为半径画弧，交于，即为点；如下图：
②连接，作线段的垂直平分线，交于点，即为所求，如下图：
（2）解：连接，
由作图可得，，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴．
19．
解：（1）样本容量：3÷0.05＝60；
∴21.5～24.5组别人数＝60 3 6 10 14＝27（人），
， 平均成绩＝1458÷60＝24.3，
故答案为：60，24.3；
（2）补全频数分布直方图如下
（3）∵5名同学中男生比女生多1名，
∴男生3名，女生2名，
画树状图如下：
∵一共有20种等可能的结果，选中的同学恰好是一男一女有12种，
∴P(选中的同学恰好是一男一女)=12÷20=0.6．
20．（1）解：设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意得，
，
解得，
经检验是原方程的解，
型设备的单价为元；
答：，型设备单价分别是元．
（2）解：设购买台型设备，则购买型设备台，依题意，
，
解得，
的最小整数解为，
购买总费用为元，，
，
，随的增大而增大，
时，取得最小值．
答：当购买13台型设备，则购买型设备37台时，购买费用最低．
21．（1）解：，在一次函数的图象上，
∴
，
，
在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为；
（2）解：联立，
解得：或
∴
观察图象，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象上方，
∴不等式的解集是或．
22．（1）解：如图所示，过点作交于点，
∵中，
∴，，
∵，，
∴，．
又∵，
∴
∴
∴；
（2）解：如图所示，取的中点，连接，
又∵是，，
∴，
∵
∴，
∵，为的中点，
∴，
在中，
∴
∴
∴即
又∵
即，
∴
∴
∵
∴
∴
（3）解：∵中，，
∴是等边三角形，
如图所示，将绕点顺时针转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，
∴，，，
则是等边三角形， 是等边三角形，
∵
取的中点，则，
∵是的中点，，，
∴
∴当四点共线时，最小
此时如图所示，
∴
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴是直角三角形，
∴
∵
∴
∴
设，则，，
在中，
∵是等边三角形，
∴，
在中，
∴
∴
解得：
∴，
取的中点，连接，
∵
∴点在为圆心，为半径的圆上运动，
∴，
∴当取得最大值时，在的延长线上，
连接，过点作于点，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
23．（1）解：抛物线与轴交于点、，
设抛物线的解析式为：，
把代入中，得
，
，
抛物线的解析式为：，
即；
（2）解：设点的坐标为，过点作轴于点，与交于点，如图1，
设直线的解析式为，则
，
解得，
直线的解析式为：，
，
，
∵，
，
∵，
当时，的最大值为，
此时点的坐标为；
（3）解：抛物线，
∴将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，
的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
把代入中，得，
点的坐标为，
设的坐标为；
①当时，则，
即，
解得，，
．
②当时，则，
即，
解得，，
点的坐标为或；
③当时，则，
即，
解得，，
点的坐标为或．
综上，当是等腰三角形时，点的坐标为或或或或．
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