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2025-2026学年上学期小学数学奥数专项《标数法（最短路线））》通用版
一、单选题
1．如图所示的正方体中，Q，R，S是棱PB上的点，一只蚂蚁从A点出发，沿着正方体的侧面爬行，经过PB上一点，爬行到C点，若此蚂蚁所爬行的路线最短，那么P，Q，R，S四个点中，它最有可能经过的点是(　　)。
A．P B．Q C．R D．S
2．某街道分布示意图如图所示，一个居民从A处前往B处，若规定只能走从左到右或从上到下的方向，这样该居民共有可选择的不同路线条数是（　　）
A．119 B．121 C．123 D．125
二、填空题
3．如图，8个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有　 　条。
4．蜜蜂王国为了迎接2010年春节的到来，特地筑了一个蜂巢如下．每个正六边形蜂窝中，有由蜂蜜凝结而成的数字0、1或2．春节到来之时，群蜂将在巢上跳起舞步，舞步的每个节拍恰好走过的四个数字：2010（从某个2出发最后走完四步后又回到2，如图中箭头所示为一个舞步），且蜜蜂每一步都只能从一个正六边形移动到与之有公共边的正六边形上．蜜蜂要经过四个正六边形且所得数字依次为2010，共有　 　种方法．
5．如图，用水平线或竖直线连结相邻汉字，沿着这些线读下去，正好可以读成“我爱学而思”，那么可读成“我爱学而思”的路线有　 　条．
6．如图为一幅街道图，从出发经过十字路口，但不经过走到的不同的最短路线有　 　条.
7．一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有　 　种不同排法。
8．奇奇要从A处前往B处的图书馆归还图书，若他只能向北走或向东走，则他一共有　 　种前往方式。
9．如图为某街区平面图，相邻两点间连接的长度均为1。甲从A地出发去B地，乙从B地出发去A地，两人同时出发，沿格线走最短路径到达目的地。如果乙的速度为甲的2倍，那么两人会在途中相遇的路线共有　 　种。
10．（最短路线问题）如图，8个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有　 　条。
11．如图，每个小正方形的边长为10km，图中有5个加油站。一辆小汽车从A地出发沿小正方形的边前往B地，若小汽车每走30km就需要加油一次，那么小汽车有　 　条到达B地的最短路线。
三、解决问题
12．学学和思思一起洗个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有　 　种不同的摞法．
13．如图，16个边长为1 的小正方形组成的大正方形ABCD，我们把小正方形的顶点都称为格点。
（1）点G是 AB 边上距离点 A 最近的格点，直线GH把正方形ABCD 分成面积比为4：5 的两部分，请求出 DH 的长； (写出必要过程)
（2）E，F 是两个固定格点，请选个格点P，使得三角形 PEF 为等腰三角形，则这样的格点P有　 　个。
（3）蚂蚁要沿着小正方形的边从点 A 出发爬到点 C，只能向右或向上爬，则共有　 　种不同的路径。
14．如图，81个边长为1的小正方形组成正方形ABCD，我们把小正方形的顶点都称为格点。
（1）若在正方形ABCD的四个角处都剪掉四个相等的小正方形后，剩余部分恰好能折叠成一个无盖的正方体，求出该正方体的体积。
（2）蚂蚁要沿着小正方形的边从点A出发爬到点C，只能向右或向上爬，速度是每秒钟爬两个单位，请说明：蚂蚁爬达终点的时间是否会随着爬行路径的不同而发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出这个时间。
（3）真真和诚诚利用该正方形ABCD做游戏，规定从A点出发，每次只能沿小正方形的边向右或向上走，每次只能走1个或两个单位长度，谁先到达C点谁获胜。真真先走，诚诚后走。请问：两个同学中谁有必胜把握？怎样操作才能必胜？
15．如图为一个阶梯的纵截面，一只老鼠沿长方形的两边A→B→D路线逃跑，一只猫同时沿阶梯（折线）
A→C→D的路线去捉，结果在距离点C 1.5米的D处，猫捉住了老鼠，已知老鼠的速度是猫的，问阶梯A→C的长度是多少米？
16．在m行n列的网格中，规定：由上而下的横行依次为第1行，第2行，…，由左向右的竖列依次为第1列，第2列，…。点(a，b)表示位于第a行，第b列的格点，图7是4行5列的网格。从点A(2，3)出发，按象棋中的马走“日”字格的走法，可达到网格中的格点B(1，1)，C(3，1)，D(4，2)，E(4，4)，F(3，5)，G(1，5)，如果在9行9列的网格中(如图)。从点(1，1)出发，按象棋中的马走“日”字格的走法，求：
（1）能否到达网格中的每一个格点？
答：　 　。(填“能”或“不能”)
（2）如果能，那么沿最短路线到达某个格点，最多的需要几步？这样的格点有几个？写出它们的位置。如果不能，请说明理由。
17．下图是一个商场的平面图，顾客可以从六个门进出商场（阴影部分为各商品部，空白处为通道），请你设计一种能够一次走遍各通道而又不必走重复路线的进出方法。
18．下图是一公园的平面图，要使游客走遍每一条路且不重复，问出入口应设在哪里
19．下图为某城市的街道示意图，c处正在挖下水道，不能通车，从A到B处的最短路线共有多少条
20．如图所示，从甲地到乙地，最近的道路有几条
21．如图，从P到Q共有多少种不同的最短路线
22．下图是某城市的主要公路示意图，今在C、D、E、F、G、H的各口修建立交桥，车辆不能通行，那么从A到B的最近路线共有几条
四、计算题
23．有一圆柱形油罐底面的周长为13厘米，一只老鼠从距底面1厘米的A 处，爬行到对角的 B 处吃食物，它爬行的最短路线为多少厘米？
五、操作题
24．（如图）前进村要挖一条水渠和小河相连，要使水渠最短，应该如何挖？请在图中画出来。
25．李叔叔要挖一条水渠，把河里的水引到饲养场。怎样设计可以使水渠最短，在图中画一画。
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】54
4．【答案】30
5．【答案】31
6．【答案】18
7．【答案】14
8．【答案】7
9．【答案】5100
10．【答案】54
11．【答案】24
12．【答案】42
13．【答案】（1）解：正方形ABCD：
梯形ADCG：
设DH为x，
解得x=
答：长。
（2）8
（3）70
14．【答案】（1）解：根据题意，可得
81=9×9
9=3×3
9-3×2=3
3×3×3=27
答：正方体的体积是27。
（2）解：根据题意，可得
（9+9）÷2
=18÷2
=9（秒）
答：爬到终点的时间不发生变化，始终是9秒。
（3）解：根据题意，可得
9+9=18
18÷（2+1）
=18÷3
=6
答：诚诚必胜，真真走1步，诚诚就走2步，真真走2步，诚诚走1步，诚诚每次和真真走的步数和为3，诚诚肯定先走到C点。
15．【答案】解：把楼梯的各条线段进行平移，可得AB+BC=楼梯A→C的总长；
设A→C的路程为x米，则猫行走的路程为x+1.5米，老鼠行走的路程为x-1.5米，
因为猫和老鼠行走的时间相同，且老鼠的速度是猫的，根据时间一定时，路程与速度成正比的性质可得：
解得，
答： 阶梯A→C的长度是16.5米
16．【答案】（1）能
（2）解：
最多需要6步
这样的格点有4个
分别是(7，9)(8，8) (9，7) (9，9)
17．【答案】解：D→C→O→E→F→A→B→E→D→O→B→C。
。
18．【答案】出入口应分别设在两个奇点处，即A、B处。
19．【答案】
答：从A到B的最短路线有431条．
20．【答案】
答：从甲到乙最近的道路11条。
21．【答案】
答：从P到Q共有126条不同的最短路线．
22．【答案】
答：从A到B最短的路线有699条．
23．【答案】解：如图，
将圆柱形油罐沿A 点竖直剪开。
则AB=10cm。
答： 它爬行的最短路线为10厘米
24．【答案】
25．【答案】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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