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第四章《相交线和平行线》提升卷—华东师大版数学七（上）单元测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分
1．如图，直线AB，CD 相交于点O，OE⊥AB 于点O，OF 平分∠AOE，∠1=15°31'，则下列结论中不正确的是（　　）.
A． B．∠1=∠3
C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于 75°31'
2．（2025七上·长春期末）下列语句中，正确的是（　　）
A．相等的角一定为对顶角
B．不是对顶角的角一定不相等
C．不相等的角一定不是对顶角
D．有公共顶点且和为的两个角一定为邻补角
3．（2023七上·巴中月考）已知A、B、C三点，若过其中任意两点画一条直线，则画出的不同直线（　　）
A．一定有三条 B．只能有一条
C．可能有三条，也可能只有一条 D．以上结论都不对
4．（2021七上·德阳月考）如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（　　）个.
A．3个 B．1或3个
C．1或2或3个 D．0或1或2或3个
5．（2023七上·南海期末）若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了（　　）个部分．
A．7或8 B．8 C．8或9 D．10
6．（2024七上·海曙期末）如图所示，下列说法中：①与是同旁内角；②与是内错角；③与是内错角；④与是同位角．正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2025七下·榕城期末） 下列图形中， 由∠1=∠2， 能得到AB∥CD的是(　　)
A． B．
C． D．
8．（2025七下·雨花期末）如图，某条行车路线共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的．已知第一次转过的角度为120°，第三次转过的角度为135°，则第二次转过的角度为（　　)
A．75° B．60° C．135° D．120°
9．（2025七下·福田期末） 图1 是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性.如图2，现将其中的一组背景线条与直线a，b抽象出来，下列说法能判断出的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024七下·柳州期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝64°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C、D，下列结论：①∠ACB＝∠CBN；②∠CBD＝58°；③当∠ACB＝∠ABD时，∠ABC＝29°；④当点P运动时，∠APB∶∠ADB＝2∶1的数量关系不变.其中正确结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分
11．（2024七上·乾安期末）如图，直线、相交于点O，射线平分，．若，则的度数为　 　．
12．如图，有下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠A与∠ACB不是同旁内角.其中正确的是　 　.(写序号)
13．（2020七上·德惠期末）如图，在直线a外有一点P，经过点P可以画无数条直线，如果 ，那么过点P的其它直线与直线a一定不平行，理由是　 　．
14．（2024七下·金溪期中）如图，直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线与间一动点，连接，，且，的平分线与的平分线交于点Q，则的度数为　 　．
15．（2025七下·绍兴期末） 学行线后，小明想出了过直线外一点画这条直线的平行线的方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小明画平行线的依据可以是　 　.（把所有正确的序号填上）
①同位角相等，两直线平行；
②两直线平行，内错角相等；
③同旁内角互补，两直线平行；
④如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行.
三、解答题：本大题共8小题，共75分
16．
（1）在一条直线上有n个点，以这些点为端点的线段共有多少条
（2）平面内有n 条两两相交直线，这n条直线最少有几个交点 最多有几个交点
17．（2024七上·松阳期末）如图，已知点A，B表示同一条铁路上的两个火车站，点C表示码头，直线a，b分别表示铁路和河流．按下列要求画图：
（1）画出直线a；
（2）从火车站A到码头C怎样走最近，请画图表示；
（3）从码头C到铁路怎样走最近，请画图表示．
18．（2025七下·莲都期末） 如图，是内一点，点在上．过点画一条直线平行于，过点画一条直线平行于，直线交于．
（1）用直尺和三角尺画平行线的方法，画出图形．
（2）若，求的度数．
19．（2025七下·源城期末）高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板，将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形，BA⊥AE，垂足为A，CD∥AE，有同学认为在这种情况下，∠ABC与∠BCD的和是个定值，下面是小林同学计算∠ABC+∠BCD的度数的过程，请你将解答过程补充完整．
解：如图②，过点B作BF∥AE，
因为CD∥AE（ ），
所以（ ）∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
所以∠BCD+∠CBF＝（ ）°（ ），
因为AB⊥AE（ ），
所以∠EAB＝（ ）°（垂直定义），
因为BF∥AE，
所以（ ）+∠EAB＝180°，
所以∠ABF＝180°﹣90°＝（ ）°，
所以∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝（ ）°．
20．如图，已知点O 为直线AB 上一点， ，OM 平分 ，.
（1）求 的度数.
（2）试说明：OP 平分 .
（3）若改变 的大小，其余条件不变，设 ，(2)中的结论是否依然成立 若成立，请说明理由；若不成立，请用含α的式子表示 .
21．（2024七下·河池期中） 课题学行线问题中的转化思想.
【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”.与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁.当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整.将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想.有这样一道典型问题：
例题：如图（1）.已知，点在直线、之间，探究与、之间的关系.
解：过点作.
，，
，
，
，
.
【学以致用】
（1）如图（1），当，时，　 　；
（2）①如图（2），已知，若，，求出的度数.
②如图（3），在①的条件下，若、分别平分和，求的度数.
22．（2025七下·潮阳月考）如图①，把一块含角的直角三角尺的边放置于长方形直尺的边上．
（1）填空：______°，______°；
（2）现把三角尺绕点逆时针旋转．
①如图②．当，且点恰好落在边上时，求，的度数（结果用含的式子表示）；
②当时，是否会存在三角尺某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．
23．（2025七下·浙江期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角．
（1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜的工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，请判断入射光线和反射光钱是否平行，并说明理由．
（2）显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系、经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线和光线平行，且，则　 　°，　 　°．
（3）试猜想：在图3中，当两平面镜AB，CD的夹角的度数是多少时，可以使任何入射光线经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线平行？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念；余角；补角
【解析】【解答】解：∵OE⊥AB
∴∠AOE=90°
∵OE⊥AB
∴，A正确
∠1与∠3为对顶角
∴∠1=∠3，B正确
∵∠AOD+∠1=∠AOB=180°
∴∠AOD与∠1互为补角，C正确
∵∠1=15°31'
∴∠1的余角等于90°- 15°31'=74°29'，D错误
故答案为：D
【分析】根据角平分线定义可判断A选项，根据对顶角相等可判断B选项，根据补角定义可判断C选项，根据余角定义可判断D选项.
2．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：A中，由相等的角不一定是对顶角，本选项错误，所以A不符合题意；
B中，由不是对顶角的角也可能相等，本选项错误，所以B不符合题意；
C中，由不相等的角一定不是对顶角，本选项正确，所以C符合题意；
D中，由有公共顶点且和为的两个角不一定是邻补角，本选项错误，所以D不符合题意．
故选：C．
【分析】本题考查了对顶角和邻补角的定义，把有公共端点且两条边互为反向延长线的两个角互为对顶角，对顶角相等；把两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，据此逐项分析判断，即可得到答案.
3．【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】
解：如图所示
可以看出可以为1条直线，也可以是3条直线.
故答案为：C.
【分析】当A、B、C三点在同一直线时，可以知道有一条直线；当三点不在同一条直线时，由定理：过两点有且只有一条直线，可以得出答案.
4．【答案】D
【知识点】相交线的相关概念
【解析】【解答】解：①如图，三条直线全都平行，此时交点个数为0个
②如图，三条直线中，有两条直线平行，第三条直线交这两条直线，此时交点个数为2个
③如图，三条直线两两相交，当组成一个三角形时，此时交点个数为3个
④如图，三条直线两两相交，交点个数为1个
故答案为：D.
【分析】本题需要通过分类讨论，三条直线是否平行，是否交于一个点。
5．【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系；相交线的相关概念
【解析】【解答】解：如图：如下两种情况下平面内互不重合的4条直线只有3个交点：
图①中分成9个部分，图②中分成8个部分.
故答案为：C.
【分析】画出满足条件的图形，即可得到答案.
6．【答案】C
【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：①与是同旁内角，正确；
②与是内错角，正确；
③与是同旁内角，错误；
④与是同位角，正确．
故答案为：C．
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐一判断即可.
7．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A：∠1和∠2不是三线八角，不能判定两直线平行，故A不符合题意；
B： 由∠1=∠2， 能判定AD∥BC，故B不符合题意；
C：∠1和∠2的对顶角是直线AB和CD被MN所截得到的一组同位角，所以 由∠1=∠2， 可以得到 AB∥CD ，故C符合题意；
.D：∠1和∠2不是AB，CD被第三条直线截得的角，所以不能判定AB∥CD，故D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据平行线的判定定理，分别进行判定，即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF∥DE，
则∠DCF+∠CDE=180°，
由题可知∠CDE=135°，∠ABC=120°，
所以∠DCF=45°，
因为行车路线与开始的路线是平行的，
所以AB∥DE，
又CF∥DE，
所以AB∥CF，
所以∠BCF=∠ABC=120°，
所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=75°，
所以第二次转过的角度为75°.
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质来求解第二次转过的角度。
9．【答案】A
【知识点】平行线的判定；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解： 、与是同位角，同位角相等，两直线平行，可判断，A正确.
、与是对顶角，对顶角相等不能判定，B错误.
、与是邻补角，和为是必然，不能判定，C错误.
、与无直接平行判定关系，D错误.
故答案为：A .
【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 ），逐一分析选项中角的关系是否符合判定条件.
10．【答案】D
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故①正确；
∵，，
∴，
∵、分别平分和，
∴，，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，，
∴，
故③正确；
∵，
∴，，
又，
∴，
∴，
故④正确．
故答案为：D．
【分析】直接利用平行线的性质判断①；先求出∠ABN的度数，然后利用角平分线的定义可得求∠CBD的度数，即可判断②；利用平行线的性质和∠ACB=∠ABD可证∠ABC=∠DBN，然后结合角平分线定义可求∠DBP的度数，即可判断③；利用平行线的性质可得，结合可得∠APB=2∠ADB，即可判断④．
11．【答案】55°
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，OM平分∠AOC，
∴∠COM=∠AOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠NOM=90°，
∴∠CON=∠NOM-∠COM=90°-35°=55°，
故答案为：55°.
【分析】先利用角平分线的定义求出∠COM=∠AOC=35°，再利用角的运算求出∠CON=∠NOM-∠COM=90°-35°=55°即可.
12．【答案】①②③
【知识点】同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解：①∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①符合题意；
②∠2与∠B是直线CD、直线BC，被直线AB所截的一对同位角，因此②符合题意；
③∠A与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③符合题意，
④∠A与∠ACB是直线AB、直线BC，被直线AC所截的一对同旁内角，因此④不符合题意.
故答案为： ①②③ .
【分析】同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角.
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.
同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角.
13．【答案】平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：在直线a外有一点P，经过点P可以画无数条直线，但根据平行公理可知，过点P只有一条直线a平行，既然如果 ，那么过点P的其它直线与直线a一定不平行.
故答案是：平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，解决即可.
14．【答案】或120°
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①如图1，过点，分别作，，
，
．
，．
．
的平分线与的平分线交于点，
，．
，
，
同理可得；
②如图2，过点，分别作，，
，
．
，．
，
．
的平分线与的平分线交于点，
，．
．
，同①可得．
综上所述，的度数为或．
故答案为：或
【分析】分两种情况讨论，当点P，Q在EF同侧或异侧时，先画出图形，再利用角平分线的定义和平行线的性质，分别求解即可．
15．【答案】①③
【知识点】同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：如图。
第一次折叠后，得到的折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直。
将正方形纸展开，再进行第二次折叠如图（4）所示，得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直。
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：①③ .
【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直，然后根据平行线的判定条件求解即可。
16．【答案】（1）解：从第1个点到第n个点的线段数量总和为：
1+2+3+4+……+（n-1）=
∴ 共有条.
（2）解：当平面内两两相交的n条直线交于一点时，此时交点个数最少为1个；
为使平面内两两相交的直线的交点个数最多，可使其任意两线相交都产生一个新的交点，且任意三条直线都不过同一点，于是可得交点数最多：
2条直线最多1个交点；
3条直线最多：1+2个交点；
4条直线最多：1+2+3个交点；
5条直线最多：1+2+3+4个交点；
∴ n条直线最多：1+2+3+4+……+（n-1）=个交点.
【知识点】线段的计数问题；直线相交的交点个数问题
【解析】【分析】（1）从简单情形入手，先找两个点之间的线段条数，再找出三个点之间的线段条数，再找出四个点之间的线段条数，归纳发现规律，算出和即可解答；
（2）当平面内两两相交的n条直线交于一点时，此时交点个数最少为1个；再从简单情形入手，2条直线最多1个交点；3条直线最多：1+2个交点；4条直线最多：1+2+3个交点；归纳发现规律，算出和即可解答.
17．【答案】（1）解：直线ａ如下图所示，
（2）解：线段AC就是所求线段，
（3）∴垂线段CD就是所求直线，
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据两点确定一条直线作图即可；
（2）根据两点之间线段最短作图即可；
（3）根据直线外一点到直线最短距离为垂线段据此作图即可．
18．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵直线a平行于AB，
∵直线b平行于BC，

【知识点】平行线的性质；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【分析】(1)根据画平行线的方法作图即可；
(2)先根据两直线平行，内错角相等求出 再根据两直线平行，同位角相等解答即可.
19．【答案】解：如图②，过点B作BF∥AE，
因为CD∥AE（ 已知 ），
所以（ BF ）∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
所以∠BCD+∠CBF＝（ 180 ）°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），
因为AB⊥AE（已知 ），
所以∠EAB＝（ 90 ）°（垂直定义），
因为BF∥AE，
所以（ ∠ABF ）+∠EAB＝180°，
所以∠ABF＝180°﹣90°＝（ 90 ）°，
所以∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝（ 270 ）°．
故答案为：已知；BF；180；两直线平行，同旁内角互补；已知；90；∠ABF；90；270
【知识点】垂线的概念；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【分析】 如图②，过点B作BF∥AE， 根据平行公理，平行线的性质以及垂直定义可推理的出结论，根据每一步推理的依据，可得出答案。
20．【答案】（1）解：因为点O 为直线AB 上一点， ∠BOC=110°，
所以 ，
因为OC⊥OD，
所以∠COD=90°，
所以∠AOD=∠COD-∠AOC=90°-70°=20°
（2）解：因为∠AOC=70°， OM 平分∠AOC，
所以∠AOM=
由(1)可知， ∠AOD=20°，
所以∠DOM=
所以∠BOP=∠DOM=55°，
所以
所以∠BOP=∠COP=55°，
所以OP 平分∠BOC.
（3）解：(2)中的结论依然成立.
理由如下：
因为点O为直线AB上一点，
所以 ∠BOC=180°-α.
因为OC⊥OD，
所以∠COD=90°，
所以
因为 OM 平分∠AOC，
所以
所以∠DOM=∠AOD+∠AOM
所以
所以
所以 所以OP 平分∠BOC.
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念
【解析】【分析】这道题主要围绕角度的计算和角平分线的证明展开，通过已知条件中角的关系以及角平分线的性质来求解和证明
（1）首先根据平角的定义，已知∠BOC的度数，求出∠AOC的度数。然后由OC⊥OD得出∠COD的度数，最后利用∠AOD=∠COD - ∠AOC求出∠AOD的度数。
（2）先根据∠AOC的度数以及OM平分∠AOC求出∠AOM的度数，再结合∠AOD的度数求出∠DOM的度数，由∠BOP=∠DOM求出∠BOP的度数，最后通过∠BOC的度数求出∠COP的度数，比较∠ BOP和∠COP的度数来证明OP平分∠BOC。
（3）先根据∠BOC =α求出∠AOC的度数，再根据OM平分∠AOC求出∠AOM的度数，然后结合∠AOD =∠COD∠AOC（∠COD = 90°）求出∠AOD的度数，进而求出∠DOM的度数。因为∠BOP=∠ DOM，最后通过∠COP=∠BOC - ∠BOP求出∠COP的度数，判断结论是否成立。
21．【答案】（1）
（2）解：①过点作，如图：
，，
，
，
又，
，
，
，
②，平分，
，
，平分，
，
由（1）问可知：，
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）∵∠BED=∠B+∠D，
∵， ，
∴∠BED=65°.
故答案为：65°.
【分析】（1）根据∠BED=∠B+∠D，将数值代入即可得到答案；
（2）①过点作，根据题意得到，得到，，进而得到，即可得到答案；
②根据角平分线的定义得到，，根据（1）的结论即可求出的度数.
22．【答案】（1）120；90
（2）解：（2）①如图2．
，
，
，
，，
，
；
②存在。
当时，，
，
∴；
当时，
，；
当时，
．
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，；
∴∠1=120°，∠2=90°。
故答案为，；
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等可得出，，再根据邻补角的定义可求得，进而得出∠1=120°，∠2=90°；
（2）①根据邻补角的定义求出，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到；
②结合图形，分、、三条边与直尺垂直讨论求解．
（1）解：∵，，
∴，；
故答案为，；
（2）解：①如图2．
，
，
，
，，
，
；
②当时，，
，
∴；
当时，
，；
当时，
．
23．【答案】（1）平行；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，
∵，
∴，
∴，即∠5=∠6，
∴m∥n
（2）94；90
（3）解：∠ABC=90°，理由如下：
∵∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠5+∠6=180°+180°-180°=180°，
∴m∥n
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：(2)∵∠1=∠2=47°，
∴∠5=180°-∠1-∠2=180°-47°-47°=86°，
∵m∥n，
∴∠5+∠6=180°，
∴∠6=94°，
∴∠3+∠4=180°-∠6=86°，
∴∠3=∠4=43°，
∴∠ABC=180-2-∠3=90°，
故答案为：94，90.
【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠2=∠3，再根据已知条件及三角形内角和可得∠5=∠6，再根据根据平行线的判定即可得证；
（2）根据已知条件及平行线的性质可得出∠6的度数，再根据平角的定义即可求解；
（3）当∠ABC=90°时，及已知条件可得出∠5与∠6=互补，再根据平行线的判断即可得出结论.
1 / 1第四章《相交线和平行线》提升卷—华东师大版数学七（上）单元测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分
1．如图，直线AB，CD 相交于点O，OE⊥AB 于点O，OF 平分∠AOE，∠1=15°31'，则下列结论中不正确的是（　　）.
A． B．∠1=∠3
C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于 75°31'
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念；余角；补角
【解析】【解答】解：∵OE⊥AB
∴∠AOE=90°
∵OE⊥AB
∴，A正确
∠1与∠3为对顶角
∴∠1=∠3，B正确
∵∠AOD+∠1=∠AOB=180°
∴∠AOD与∠1互为补角，C正确
∵∠1=15°31'
∴∠1的余角等于90°- 15°31'=74°29'，D错误
故答案为：D
【分析】根据角平分线定义可判断A选项，根据对顶角相等可判断B选项，根据补角定义可判断C选项，根据余角定义可判断D选项.
2．（2025七上·长春期末）下列语句中，正确的是（　　）
A．相等的角一定为对顶角
B．不是对顶角的角一定不相等
C．不相等的角一定不是对顶角
D．有公共顶点且和为的两个角一定为邻补角
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：A中，由相等的角不一定是对顶角，本选项错误，所以A不符合题意；
B中，由不是对顶角的角也可能相等，本选项错误，所以B不符合题意；
C中，由不相等的角一定不是对顶角，本选项正确，所以C符合题意；
D中，由有公共顶点且和为的两个角不一定是邻补角，本选项错误，所以D不符合题意．
故选：C．
【分析】本题考查了对顶角和邻补角的定义，把有公共端点且两条边互为反向延长线的两个角互为对顶角，对顶角相等；把两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，据此逐项分析判断，即可得到答案.
3．（2023七上·巴中月考）已知A、B、C三点，若过其中任意两点画一条直线，则画出的不同直线（　　）
A．一定有三条 B．只能有一条
C．可能有三条，也可能只有一条 D．以上结论都不对
【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】
解：如图所示
可以看出可以为1条直线，也可以是3条直线.
故答案为：C.
【分析】当A、B、C三点在同一直线时，可以知道有一条直线；当三点不在同一条直线时，由定理：过两点有且只有一条直线，可以得出答案.
4．（2021七上·德阳月考）如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（　　）个.
A．3个 B．1或3个
C．1或2或3个 D．0或1或2或3个
【答案】D
【知识点】相交线的相关概念
【解析】【解答】解：①如图，三条直线全都平行，此时交点个数为0个
②如图，三条直线中，有两条直线平行，第三条直线交这两条直线，此时交点个数为2个
③如图，三条直线两两相交，当组成一个三角形时，此时交点个数为3个
④如图，三条直线两两相交，交点个数为1个
故答案为：D.
【分析】本题需要通过分类讨论，三条直线是否平行，是否交于一个点。
5．（2023七上·南海期末）若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了（　　）个部分．
A．7或8 B．8 C．8或9 D．10
【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系；相交线的相关概念
【解析】【解答】解：如图：如下两种情况下平面内互不重合的4条直线只有3个交点：
图①中分成9个部分，图②中分成8个部分.
故答案为：C.
【分析】画出满足条件的图形，即可得到答案.
6．（2024七上·海曙期末）如图所示，下列说法中：①与是同旁内角；②与是内错角；③与是内错角；④与是同位角．正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：①与是同旁内角，正确；
②与是内错角，正确；
③与是同旁内角，错误；
④与是同位角，正确．
故答案为：C．
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐一判断即可.
7．（2025七下·榕城期末） 下列图形中， 由∠1=∠2， 能得到AB∥CD的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A：∠1和∠2不是三线八角，不能判定两直线平行，故A不符合题意；
B： 由∠1=∠2， 能判定AD∥BC，故B不符合题意；
C：∠1和∠2的对顶角是直线AB和CD被MN所截得到的一组同位角，所以 由∠1=∠2， 可以得到 AB∥CD ，故C符合题意；
.D：∠1和∠2不是AB，CD被第三条直线截得的角，所以不能判定AB∥CD，故D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据平行线的判定定理，分别进行判定，即可得出答案。
8．（2025七下·雨花期末）如图，某条行车路线共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的．已知第一次转过的角度为120°，第三次转过的角度为135°，则第二次转过的角度为（　　)
A．75° B．60° C．135° D．120°
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF∥DE，
则∠DCF+∠CDE=180°，
由题可知∠CDE=135°，∠ABC=120°，
所以∠DCF=45°，
因为行车路线与开始的路线是平行的，
所以AB∥DE，
又CF∥DE，
所以AB∥CF，
所以∠BCF=∠ABC=120°，
所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=75°，
所以第二次转过的角度为75°.
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质来求解第二次转过的角度。
9．（2025七下·福田期末） 图1 是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性.如图2，现将其中的一组背景线条与直线a，b抽象出来，下列说法能判断出的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解： 、与是同位角，同位角相等，两直线平行，可判断，A正确.
、与是对顶角，对顶角相等不能判定，B错误.
、与是邻补角，和为是必然，不能判定，C错误.
、与无直接平行判定关系，D错误.
故答案为：A .
【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 ），逐一分析选项中角的关系是否符合判定条件.
10．（2024七下·柳州期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝64°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C、D，下列结论：①∠ACB＝∠CBN；②∠CBD＝58°；③当∠ACB＝∠ABD时，∠ABC＝29°；④当点P运动时，∠APB∶∠ADB＝2∶1的数量关系不变.其中正确结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故①正确；
∵，，
∴，
∵、分别平分和，
∴，，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，，
∴，
故③正确；
∵，
∴，，
又，
∴，
∴，
故④正确．
故答案为：D．
【分析】直接利用平行线的性质判断①；先求出∠ABN的度数，然后利用角平分线的定义可得求∠CBD的度数，即可判断②；利用平行线的性质和∠ACB=∠ABD可证∠ABC=∠DBN，然后结合角平分线定义可求∠DBP的度数，即可判断③；利用平行线的性质可得，结合可得∠APB=2∠ADB，即可判断④．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分
11．（2024七上·乾安期末）如图，直线、相交于点O，射线平分，．若，则的度数为　 　．
【答案】55°
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，OM平分∠AOC，
∴∠COM=∠AOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠NOM=90°，
∴∠CON=∠NOM-∠COM=90°-35°=55°，
故答案为：55°.
【分析】先利用角平分线的定义求出∠COM=∠AOC=35°，再利用角的运算求出∠CON=∠NOM-∠COM=90°-35°=55°即可.
12．如图，有下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠A与∠ACB不是同旁内角.其中正确的是　 　.(写序号)
【答案】①②③
【知识点】同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解：①∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①符合题意；
②∠2与∠B是直线CD、直线BC，被直线AB所截的一对同位角，因此②符合题意；
③∠A与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③符合题意，
④∠A与∠ACB是直线AB、直线BC，被直线AC所截的一对同旁内角，因此④不符合题意.
故答案为： ①②③ .
【分析】同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角.
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.
同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角.
13．（2020七上·德惠期末）如图，在直线a外有一点P，经过点P可以画无数条直线，如果 ，那么过点P的其它直线与直线a一定不平行，理由是　 　．
【答案】平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：在直线a外有一点P，经过点P可以画无数条直线，但根据平行公理可知，过点P只有一条直线a平行，既然如果 ，那么过点P的其它直线与直线a一定不平行.
故答案是：平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，解决即可.
14．（2024七下·金溪期中）如图，直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线与间一动点，连接，，且，的平分线与的平分线交于点Q，则的度数为　 　．
【答案】或120°
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①如图1，过点，分别作，，
，
．
，．
．
的平分线与的平分线交于点，
，．
，
，
同理可得；
②如图2，过点，分别作，，
，
．
，．
，
．
的平分线与的平分线交于点，
，．
．
，同①可得．
综上所述，的度数为或．
故答案为：或
【分析】分两种情况讨论，当点P，Q在EF同侧或异侧时，先画出图形，再利用角平分线的定义和平行线的性质，分别求解即可．
15．（2025七下·绍兴期末） 学行线后，小明想出了过直线外一点画这条直线的平行线的方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小明画平行线的依据可以是　 　.（把所有正确的序号填上）
①同位角相等，两直线平行；
②两直线平行，内错角相等；
③同旁内角互补，两直线平行；
④如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行.
【答案】①③
【知识点】同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：如图。
第一次折叠后，得到的折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直。
将正方形纸展开，再进行第二次折叠如图（4）所示，得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直。
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：①③ .
【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直，然后根据平行线的判定条件求解即可。
三、解答题：本大题共8小题，共75分
16．
（1）在一条直线上有n个点，以这些点为端点的线段共有多少条
（2）平面内有n 条两两相交直线，这n条直线最少有几个交点 最多有几个交点
【答案】（1）解：从第1个点到第n个点的线段数量总和为：
1+2+3+4+……+（n-1）=
∴ 共有条.
（2）解：当平面内两两相交的n条直线交于一点时，此时交点个数最少为1个；
为使平面内两两相交的直线的交点个数最多，可使其任意两线相交都产生一个新的交点，且任意三条直线都不过同一点，于是可得交点数最多：
2条直线最多1个交点；
3条直线最多：1+2个交点；
4条直线最多：1+2+3个交点；
5条直线最多：1+2+3+4个交点；
∴ n条直线最多：1+2+3+4+……+（n-1）=个交点.
【知识点】线段的计数问题；直线相交的交点个数问题
【解析】【分析】（1）从简单情形入手，先找两个点之间的线段条数，再找出三个点之间的线段条数，再找出四个点之间的线段条数，归纳发现规律，算出和即可解答；
（2）当平面内两两相交的n条直线交于一点时，此时交点个数最少为1个；再从简单情形入手，2条直线最多1个交点；3条直线最多：1+2个交点；4条直线最多：1+2+3个交点；归纳发现规律，算出和即可解答.
17．（2024七上·松阳期末）如图，已知点A，B表示同一条铁路上的两个火车站，点C表示码头，直线a，b分别表示铁路和河流．按下列要求画图：
（1）画出直线a；
（2）从火车站A到码头C怎样走最近，请画图表示；
（3）从码头C到铁路怎样走最近，请画图表示．
【答案】（1）解：直线ａ如下图所示，
（2）解：线段AC就是所求线段，
（3）∴垂线段CD就是所求直线，
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据两点确定一条直线作图即可；
（2）根据两点之间线段最短作图即可；
（3）根据直线外一点到直线最短距离为垂线段据此作图即可．
18．（2025七下·莲都期末） 如图，是内一点，点在上．过点画一条直线平行于，过点画一条直线平行于，直线交于．
（1）用直尺和三角尺画平行线的方法，画出图形．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵直线a平行于AB，
∵直线b平行于BC，

【知识点】平行线的性质；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【分析】(1)根据画平行线的方法作图即可；
(2)先根据两直线平行，内错角相等求出 再根据两直线平行，同位角相等解答即可.
19．（2025七下·源城期末）高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板，将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形，BA⊥AE，垂足为A，CD∥AE，有同学认为在这种情况下，∠ABC与∠BCD的和是个定值，下面是小林同学计算∠ABC+∠BCD的度数的过程，请你将解答过程补充完整．
解：如图②，过点B作BF∥AE，
因为CD∥AE（ ），
所以（ ）∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
所以∠BCD+∠CBF＝（ ）°（ ），
因为AB⊥AE（ ），
所以∠EAB＝（ ）°（垂直定义），
因为BF∥AE，
所以（ ）+∠EAB＝180°，
所以∠ABF＝180°﹣90°＝（ ）°，
所以∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝（ ）°．
【答案】解：如图②，过点B作BF∥AE，
因为CD∥AE（ 已知 ），
所以（ BF ）∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
所以∠BCD+∠CBF＝（ 180 ）°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），
因为AB⊥AE（已知 ），
所以∠EAB＝（ 90 ）°（垂直定义），
因为BF∥AE，
所以（ ∠ABF ）+∠EAB＝180°，
所以∠ABF＝180°﹣90°＝（ 90 ）°，
所以∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝（ 270 ）°．
故答案为：已知；BF；180；两直线平行，同旁内角互补；已知；90；∠ABF；90；270
【知识点】垂线的概念；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【分析】 如图②，过点B作BF∥AE， 根据平行公理，平行线的性质以及垂直定义可推理的出结论，根据每一步推理的依据，可得出答案。
20．如图，已知点O 为直线AB 上一点， ，OM 平分 ，.
（1）求 的度数.
（2）试说明：OP 平分 .
（3）若改变 的大小，其余条件不变，设 ，(2)中的结论是否依然成立 若成立，请说明理由；若不成立，请用含α的式子表示 .
【答案】（1）解：因为点O 为直线AB 上一点， ∠BOC=110°，
所以 ，
因为OC⊥OD，
所以∠COD=90°，
所以∠AOD=∠COD-∠AOC=90°-70°=20°
（2）解：因为∠AOC=70°， OM 平分∠AOC，
所以∠AOM=
由(1)可知， ∠AOD=20°，
所以∠DOM=
所以∠BOP=∠DOM=55°，
所以
所以∠BOP=∠COP=55°，
所以OP 平分∠BOC.
（3）解：(2)中的结论依然成立.
理由如下：
因为点O为直线AB上一点，
所以 ∠BOC=180°-α.
因为OC⊥OD，
所以∠COD=90°，
所以
因为 OM 平分∠AOC，
所以
所以∠DOM=∠AOD+∠AOM
所以
所以
所以 所以OP 平分∠BOC.
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念
【解析】【分析】这道题主要围绕角度的计算和角平分线的证明展开，通过已知条件中角的关系以及角平分线的性质来求解和证明
（1）首先根据平角的定义，已知∠BOC的度数，求出∠AOC的度数。然后由OC⊥OD得出∠COD的度数，最后利用∠AOD=∠COD - ∠AOC求出∠AOD的度数。
（2）先根据∠AOC的度数以及OM平分∠AOC求出∠AOM的度数，再结合∠AOD的度数求出∠DOM的度数，由∠BOP=∠DOM求出∠BOP的度数，最后通过∠BOC的度数求出∠COP的度数，比较∠ BOP和∠COP的度数来证明OP平分∠BOC。
（3）先根据∠BOC =α求出∠AOC的度数，再根据OM平分∠AOC求出∠AOM的度数，然后结合∠AOD =∠COD∠AOC（∠COD = 90°）求出∠AOD的度数，进而求出∠DOM的度数。因为∠BOP=∠ DOM，最后通过∠COP=∠BOC - ∠BOP求出∠COP的度数，判断结论是否成立。
21．（2024七下·河池期中） 课题学行线问题中的转化思想.
【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”.与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁.当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整.将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想.有这样一道典型问题：
例题：如图（1）.已知，点在直线、之间，探究与、之间的关系.
解：过点作.
，，
，
，
，
.
【学以致用】
（1）如图（1），当，时，　 　；
（2）①如图（2），已知，若，，求出的度数.
②如图（3），在①的条件下，若、分别平分和，求的度数.
【答案】（1）
（2）解：①过点作，如图：
，，
，
，
又，
，
，
，
②，平分，
，
，平分，
，
由（1）问可知：，
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）∵∠BED=∠B+∠D，
∵， ，
∴∠BED=65°.
故答案为：65°.
【分析】（1）根据∠BED=∠B+∠D，将数值代入即可得到答案；
（2）①过点作，根据题意得到，得到，，进而得到，即可得到答案；
②根据角平分线的定义得到，，根据（1）的结论即可求出的度数.
22．（2025七下·潮阳月考）如图①，把一块含角的直角三角尺的边放置于长方形直尺的边上．
（1）填空：______°，______°；
（2）现把三角尺绕点逆时针旋转．
①如图②．当，且点恰好落在边上时，求，的度数（结果用含的式子表示）；
②当时，是否会存在三角尺某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）120；90
（2）解：（2）①如图2．
，
，
，
，，
，
；
②存在。
当时，，
，
∴；
当时，
，；
当时，
．
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，；
∴∠1=120°，∠2=90°。
故答案为，；
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等可得出，，再根据邻补角的定义可求得，进而得出∠1=120°，∠2=90°；
（2）①根据邻补角的定义求出，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到；
②结合图形，分、、三条边与直尺垂直讨论求解．
（1）解：∵，，
∴，；
故答案为，；
（2）解：①如图2．
，
，
，
，，
，
；
②当时，，
，
∴；
当时，
，；
当时，
．
23．（2025七下·浙江期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角．
（1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜的工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，请判断入射光线和反射光钱是否平行，并说明理由．
（2）显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系、经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线和光线平行，且，则　 　°，　 　°．
（3）试猜想：在图3中，当两平面镜AB，CD的夹角的度数是多少时，可以使任何入射光线经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线平行？请说明理由．
【答案】（1）平行；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，
∵，
∴，
∴，即∠5=∠6，
∴m∥n
（2）94；90
（3）解：∠ABC=90°，理由如下：
∵∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠5+∠6=180°+180°-180°=180°，
∴m∥n
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：(2)∵∠1=∠2=47°，
∴∠5=180°-∠1-∠2=180°-47°-47°=86°，
∵m∥n，
∴∠5+∠6=180°，
∴∠6=94°，
∴∠3+∠4=180°-∠6=86°，
∴∠3=∠4=43°，
∴∠ABC=180-2-∠3=90°，
故答案为：94，90.
【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠2=∠3，再根据已知条件及三角形内角和可得∠5=∠6，再根据根据平行线的判定即可得证；
（2）根据已知条件及平行线的性质可得出∠6的度数，再根据平角的定义即可求解；
（3）当∠ABC=90°时，及已知条件可得出∠5与∠6=互补，再根据平行线的判断即可得出结论.
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