资源简介

3.2　等比数列的前n项和
第1课时　等比数列的前n项和
【课前预习】
知识点
1.na1　　
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)×
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)∵数列{an}为等比数列且a1=1,a5=16,∴a5=a1q4,即16=q4,解得q=2(负值舍去),
∴S7===127.
(2)方法一:由Sn=,an=a1qn-1以及已知条件得189=①,96=a1·2n-1②.由②得a1·2n=192,即2n=,代入①式得189=a1(2n-1)=a1,解得a1=3,代入②式得2n-1==32,∴n=6.
方法二:由Sn=及已知条件得189=,解得a1=3,由an=a1·qn-1,得96=3·2n-1,解得n=6.
变式　(1)C　(2)121或　[解析] (1)设等比数列{an}的公比为q,则解得因此,数列{an}的前6项和为=9.故选C.
(2)设数列{an}的公比为q,∵前三项积为27,∴a1a2a3==27,解得a2=a1q=3①,
∵前三项和为13,∴S3=+a2+a2q=+3+3q=13②,
由①②解得或
∴S5==121或S5==.
探究点二
例2　解:(1)由题意知,
a1=1000(1+50%)-x=1500-x,
a2=a1(1+50%)-x=1.5a1-x=1.5(1500-x)-x=2250-2.5x,
an+1=an(1+50%)-x=1.5an-x.
(2)由(1)可得,an+1=1.5an-x,
则当n≥2时,an=1.5an-1-x=1.5(1.5an-2-x)-x=1.52an-2-1.5x-x=…=1.5n-1a1-x(1+1.5+1.52+…+1.5n-2),
所以an=1.5n-1(1500-x)-2x(1.5n-1-1)=1.5n-1(1500-3x)+2x(n≥2),
又a1=1500-x满足上式,所以an=1.5n-1(1500-3x)+2x,n∈N*.
当an=3000时,由1.5n-1(1500-3x)+2x=3000,
解得x=,
当n=5时,x=≈348,
故该公司每年年底扣除的消费资金约为348万元时,5年后企业剩余资金为3000万元.
变式　13.5　[解析] 由题意知,此人每天走的路程构成公比为的等比数列,
设该等比数列为{an},前n项和为Sn,
则S6==189,可得a1=96,
则a4=a1·=96×=12,a7=a4·=12×=1.5,
所以a4+a7=13.5.
所以此人第4天和第7天共走了13.5千米.3.2　等比数列的前n项和
第1课时　等比数列的前n项和
1.A　[解析] 由已知可得====.故选A.
2.A　[解析] 设数列{an}的公比为q(q≠0),因为a2,a3,a4-2成等差数列,所以2a3=a2+a4-2,则2a2q=a2+a2q2-2,即2×2q=2+2q2-2,解得q=2或q=0(舍去).因为a2=2,所以a1=1,故S6==63.故选A.
3.C　[解析] 设数列{an}的公比为q,q>0,则解得所以S7==127.故选C.
4.D　[解析] 设数列{an}的公比为q,由题意得a2+a3=a1(q+q2)=2(q+q2)=6-2,解得q=-2或1.当q=-2时,a4+a5+a6=q3(a1+a2+a3)=q3S3=-48;当q=1时,a4+a5+a6=q3(a1+a2+a3)=1×6=6.故选D.
5.C　[解析] 由题意可得,a1=S1=2m-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=m·2n-1-(m·2n-1-1)=m·2n-1,所以==2(n≥2),且a2=2m.由{an}为等比数列,可知==2,解得m=1.所以an=1×2n-1=2n-1,则a4=8.故选C.
6.A　[解析] 第一次操作去掉的线段长度为,第二次操作去掉的线段长度和为×,第三次操作去掉的线段长度和为××,…,第n次操作去掉的线段长度和为·,所以前n次操作中去掉的线段长度之和为+×+…+×=×=1-.由题得1-≥,即≤,即nlg≤-lg 30,所以n≥=≈≈8.4,又n∈N*,所以n的最小值是9.故选A.
7.BD　[解析] 设数列{an}的公比为q,则a2=a1q=6,a5=a1q4=48,解得a1=3,q=2,故an=3·2n-1,Sn=3·(2n-1), a3=3×22=12,故B,D正确,A,C错误.故选BD.
8.BD　[解析] 设此人第n天走了an里路,则他每天走的路程依次构成等比数列{an},设数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则q=,S6===378,解得a1=192.对于选项A,a6=a1q5=192×=6,故A错误.对于选项B,由a1=192,得S6-a1=378-192=186,192-186=6,故B正确.对于选项C,a2=a1q=192×=96,而S6=94.5,96-94.5=1.5,故C错误.对于选项D,a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=192×=336,则后3天走的路程为378-336=42(里),336÷42=8,D正确.故选BD.
9.4　[解析] 依题意得,a1+a1q+a1q2=7,且q=2,所以a1=1,所以a3=a1q2=4.
10.2　[解析] 由S3=,S6=,得a4+a5+a6=S6-S3=28,又a1+a2+a3=S3=,所以q3==8,解得q=2.
11.11a(1.110-1)　[解析] 设从今年开始第i年超市的销售额为ai(i=1,2,3,…,10)万元,因为超市去年的销售额为a万元,计划在今后10年内每年比上一年增加10%,所以今年的销售额为a1=1.1a(万元),且ai+1=1.1ai,所以今后10年每年的销售额依次构成等比数列,其公比为1.1,首项为a1=1.1a,所以今后10年这家超市的总销售额为=11a(1.110-1)(万元).
12.　[解析] 设数列{an}的公比为q,若q=1,则由9S3=S6,得9×3a1=6a1,则a1=0,不满足题意,故q≠1.由9S3=S6,得9×=,所以q=2,故an=a1qn-1=2n,=,所以数列是首项、公比均为的等比数列,其前5项和为=.
13.解:(1)由题意得S10===×=.
(2)方法一:S100=a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=2(a2+a4+…+a100)+a2+a4+…+a100=3(a2+a4+…+a100)=150,∴a2+a4+…+a100=50.
方法二:S100==150,整理得a1=75,∴a2+a4+…+a100==a1=×75=50.
14.解:(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),∵
∴可得∴an=3n-1.
(2)由题可知bn=n+3n-1,∴Tn=1+2+…+n+1+31+…+3n-1=+=.
15.　[解析] 因为数列{an}的前n项积为Tn=(,所以当n=1时,a1=T1=(=3,
当n≥2时,an====3n,因为a1=3满足上式,所以an=3n.因为==3(n≥2),所以数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列,所以Sn===.
16.解:(1)因为数列{an}满足a1=1,an+1=3an(n∈N*),所以数列{an}为等比数列,且公比为3,则an=3n-1.由题意设数列{bn}的公差为d,则b1+2d=5,4b1+6d=16,解得b1=1,d=2,则bn=2n-1.综上所述,an=3n-1,bn=2n-1.
(2)由(1)可知an=3n-1,bn=2n-1,设cn==32n-2=9n-1,则==9,又因为c1=1,所以数列{cn}是首项为1,公比为9的等比数列,则+++…+=c1+c2+c3+…+cn==.3.2　等比数列的前n项和
第1课时　等比数列的前n项和
一、选择题
1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}的公比q=2,则= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2=2,且a2,a3,a4-2成等差数列,则S6= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.63 B.31
C.-63 D.-31
3.已知数列{an}是公比为正数的等比数列,Sn是其前n项和,且a2=2,a4=8,则S7= (　 )
A.31 B.63
C.127 D.255
4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,S3=6,则a4+a5+a6= (　 )
A.48 B.48或6
C.-48 D.-48或6
5.[2024·浙江温州高二期末] 已知Sn为等比数列{an}的前n项和,且Sn=m·2n-1,则a4=(　 )
A.2 B.4
C.8 D.16
6.集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的,希尔伯特赞誉其为“人类纯粹智力活动的最高成就之一”.取一条长度为1的直线段,将它三等分,去掉中间一段,留下的两段再分别三等分,各去掉中间一段,留下更短的四段,将这样的操作一直继续下去,直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中,所形成的线段的数目越来越多,长度越来越小,在极限情况下,得到一个离散的点集,称为康托尔三分集.若在前n次操作中去掉的线段长度之和不小于,则正整数n的最小值为(　 )
(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
A.9 B.8
C.7 D.6
7.(多选题)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a2=6,a5=48,则下列结论正确的是 (　 )
A.a3=9 B.an=3·2n-1
C.Sn=3n-1 D.Sn=3·(2n-1)
8.(多选题)我国古代有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是 (　 )
A.此人第六天只走了5里路
B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
C.此人第二天走的路程比全程的还多0.5里
D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
二、填空题
9.记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S3=7,数列{an}的公比q=2,则a3=　　　　.
10.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=,S6=,则公比q=　　　　.
11.某超市去年的销售额为a万元,计划在今后10年内每年比上一年增加10%,则预计今后10年这家超市的总销售额为　　　　万元.
12.已知数列{an}是首项为2的等比数列,Sn是其前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为　　　　.
三、解答题
13.已知数列{an}为等比数列,其公比为q,前n项和为Sn.
(1)若a1=2,q=-,求S10;
(2)若q=,S100=150,求a2+a4+a6+…+a100的值.
14.[2024·南宁高二期末] 已知等比数列{an}的各项均为正数,且a2+a3+a4=39,a5=2a4+3a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)数列{bn}满足bn=n+an,求{bn}的前n项和Tn.
15.[2024·深圳南山区高二期末] 若数列{an}的前n项积为Tn=(,则{an}的前n项和Sn=　　　　　　.
16.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an(n∈N*),数列{bn}为等差数列,b3=5,数列{bn}的前4项和S4=16.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求+++…+.(共23张PPT)
§3 等比数列
3.2 等比数列的前项和
第1课时 等比数列的前 项和
探究点一 等比数列的前项和的基本运算
探究点二 等比数列前项和的实际应用
【学习目标】
1.探索并掌握等比数列的前 项和公式.
2.理解等比数列的通项公式与前 项和公式的关系.
知识点 等比数列的前 项和
1.等比数列的前 项和公式
设等比数列的公比为,其前项和为,则当时, _____;当
时,_ _______ _______.
2.当时,两个公式的关系:把代入 中,就可以得到
.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知等比数列的前项和,则 的值为1.( )
×
（2）若数列的前项和（为常数）,则数列 不可能是等比
数列.( )
×
（3） .( )
×
探究点一 等比数列的前 项和的基本运算
例1 在等比数列中,公比为,前项和为 .
（1）若,,且,求 ;
解: 数列为等比数列且,,,即,
解得 （负值舍去）,
.
（2）若,,,求和 .
解:方法一:由,以及已知条件得 ①,
.
由②得,即 ,代入①式得,
解得，代入②式得 , .
方法二:由及已知条件得,解得,由 ,
得,解得 .
变式（1） 设数列为等比数列，若， ，
则数列 的前6项和为( )
C
A.18 B.16 C.9 D.7
[解析] 设等比数列的公比为，则
解得因此，数列的前6项和为 .故选C.
（2）已知数列为等比数列，其前项和为 ，前三项和为13，前三项积为
27，则 _________.
121或
[解析] 设数列的公比为， 前三项积为27， ，
解得 ，
前三项和为13， ，
由①②解得或
或 .
［素养小结］
等比数列前 项和的运算注意事项：
（1）基本量的计算常列方程组求解,一般用约分或两式相除的方法进行消元,有
时会用到整体代换,如, 都可看作一个整体.
（2）若公比不确定，则要判断还是 ,若两种情况都有可能,则要分类
讨论.
探究点二 等比数列前 项和的实际应用
例2 某公司从2020年年初起生产某种高科技产品，初始投入资金为1000万元，
到年底资金增长 .预计以后每年资金增长率与第一年相同，但每年年底公司
要扣除消费资金万元，余下资金再投入下一年的生产.设第 年年底扣除消费资
金后的剩余资金为 万元（2020年为第1年）.
（1）用表示，，并写出与 的关系式；
解:由题意知， ,
,
.
（2）若该公司希望5年后企业剩余资金达3000万元，试确定每年年底扣除的消
费资金 的值（精确到万元）.
解:由（1）可得， ,则当 时，
，
所以 ,
又满足上式，所以， .
当时，由 ，解得 ，
当时， ，
故该公司每年年底扣除的消费资金约为348万元时，5年后企业剩余资金为3000
万元.
变式 有一个人进行徒步旅行，他6天共走了189千米，第一天健步行走，从第二
天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半. 则此人第4天和第7天共走了_____千米.
13.5
[解析] 由题意知，此人每天走的路程构成公比为 的等比数列，
设该等比数列为，前项和为 ，
则，可得 ，
则, ，
所以 .
所以此人第4天和第7天共走了13.5千米.
［素养小结］
求解数列应用题的具体方法步骤:
（1）确认是等差数列问题、等比数列问题,还是含有递推关系的数列问题,是求
,还是求 ,特别要注意准确弄清项数是多少.
（2）抓住数量关系,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达,将
实际问题抽象为数学问题.
（3）求解数学问题，检验所得结果,并将符合要求的结果转化为实际问题的结论.
1.等比数列的前 项和公式的推导方法
方法一:由等比数列的定义知 .
当时,,即,即 ,
当 时满足上式,
故;当时, .
方法二: .
当时,;当时, .
2.正确应用等比数列前 项和的两个公式
（1）若已知,,,则可用公式求和;若已知,, ,
则可用公式 求和.
（2）在应用公式求和时,应注意公式的使用条件为,当 时应按常数列
求和,即.在解含参数的等比数列求和问题时,应分别讨论与 两
种情况.
3.解答数列应用问题的方法
（1）判断、建立数列模型
①变化“量”是同一个常数:等差数列;
②变化“率”是同一个常数:等比数列.
（2）提取基本量
从条件中提取相应数列的基本量,（或）,,, .
（3）根据要求解的问题,利用公式或列出方程（组）求解.
例1 [2024·重庆巴蜀中学高二期末]等比数列的前项和为，若 且
，则 ( )
D
A.6 B.6或14 C. 或14 D.2或6或14
解：设等比数列的公比为，当时，，所以；
当 时，若，则，所以，
因为 ，所以，即，
又因为 ，所以，解得，所以，
当时， ，当时，.
综上可得 或6或14，故选D.
例2 河南洛阳的龙门石窟是我国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,龙门石
窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕
像”共7层,从下到上自第2层起,每层“浮雕像”的数量都是其下一层的2倍,总共有10
16个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案.若从最下层往上,每层“浮雕像”
的数量构成一个数列,则 的值为( )
B
A.16 B.12 C.10 D.8
[解析] 由题可知,数列 是公比为2的等比数列,且7项之和为1016,
,得,,则 ,故选B.
例3 如图，是一块半径为的半圆形纸板，在 的左下端剪去一个
半径为的半圆后得到 ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪
掉半圆的半径）得到，， ，， .记第块纸板的面积为 ，则
______；如果任意的，恒成立，那么 的取值范围是
____________．
,
[解析] 第一块纸板的面积 ，
第二块纸板的面积 ，
第三块纸板的面积， ，
第块纸板 的面积
.
要使得任意的，恒成立，只需，解得 ，故
, ．3.2　等比数列的前n项和
第1课时　等比数列的前n项和
【学习目标】
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式.
2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
◆ 知识点　等比数列的前n项和
1.等比数列{an}的前n项和公式
设等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,则当q=1时,Sn=　　　　;当q≠1时,Sn=　　　　=　　　　.
2.当q≠1时,两个公式的关系:把a1qn-1=an代入Sn=中,就可以得到Sn=.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知等比数列{an}的前n项和Sn=4n+a,则a的值为1. (　 )
(2)若数列{an}的前n项和Sn=3n+k(k为常数),则数列{an}不可能是等比数列. (　 )
(3)1+x+x2+…+xn=. (　 )
◆ 探究点一　等比数列的前n项和的基本运算
例1 在等比数列{an}中,公比为q,前n项和为Sn.
(1)若a1=1,a5=16,且q>0,求S7;
(2)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
变式 (1)设数列{an}为等比数列,若a2+a3+a4=2,a3+a4+a5=4,则数列{an}的前6项和为 (　 )
A.18 B.16 C.9 D.7
(2)已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,前三项和为13,前三项积为27,则S5=　　　　.
[素养小结]
等比数列前n项和的运算注意事项:
(1)基本量的计算常列方程组求解,一般用约分或两式相除的方法进行消元,有时会用到整体代换,如qn,都可看作一个整体.
(2)若公比q不确定,则要判断q=1还是q≠1,若两种情况都有可能,则要分类讨论.
◆ 探究点二　等比数列前n项和的实际应用
例2 某公司从2020年年初起生产某种高科技产品,初始投入资金为1000万元,到年底资金增长50%.预计以后每年资金增长率与第一年相同,但每年年底公司要扣除消费资金x万元,余下资金再投入下一年的生产.设第n年年底扣除消费资金后的剩余资金为an万元(2020年为第1年).
(1)用x表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;
(2)若该公司希望5年后企业剩余资金达3000万元,试确定每年年底扣除的消费资金x的值(精确到万元).
变式 有一个人进行徒步旅行,他6天共走了189千米,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半. 则此人第4天和第7天共走了　　　　千米.
[素养小结]
求解数列应用题的具体方法步骤:
(1)确认是等差数列问题、等比数列问题,还是含有递推关系的数列问题,是求an,还是求Sn,特别要注意准确弄清项数是多少.
(2)抓住数量关系,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达,将实际问题抽象为数学问题.
(3)求解数学问题,检验所得结果,并将符合要求的结果转化为实际问题的结论.

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