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广东省清远市清新区第四中学教育集团六校联考2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题
1．（2024八上·清新期中）化简 的结果是（　　）
A．8 B．4 C．﹣2 D．2
2．（2024八上·清新期中）《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”（斛：古量器名，容量单位）其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛？设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据题意，可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八上·清新期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知，，， 则的度数是（　　）
A．38° B．44° C．46° D．56°
4．（2024八上·清新期中）如图，下列两个角是同位角的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
5．（2024八上·清新期中）如图，，，则点到的距离为（　　）
A．3 B．8 C．10 D．12
6．（2024八上·清新期中）若与是同位角，且，则是（　　）
A． B． C．或 D．不能确定
7．（2024八上·清新期中）在实数、3.1415、、、、2.12312231223……（1和3之间的2逐次加1个）中，无理数的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2024八上·清新期中） 如图，已知直线AB与CD平行，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，若∠1=125°，则∠2=(　　)
A．65° B．55° C．50° D．45°
9．（2024八上·清新期中）五月份学校将举办“雅信杯”校园好声音大赛，某班进行了预选赛，为鼓励同学们，老师花了48元钱买了甲、乙两种（两种都买）励志标语牌作为奖品．已知甲种励志标语牌每个6元，乙种励志标语牌每个4元，则老师购买励志标语牌的方案共有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
10．（2024八上·清新期中）如图所示，下列语句描述正确的是（　　）
①若∠1=∠3，则AB∥DC；②若∠C+∠1+∠4=180°，则AD∥BC；③∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，则AB∥DC；④若∠2=∠4，BD平分∠ABC，则BC=CD；⑤若AD∥BC，∠A=∠C，则AB∥DC．
A． B． C． D．
11．（2024八上·清新期中）4的平方根是　 　，算术平方根是　 　．
12．（2024八上·清新期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，则实数的值为　 　．
13．（2024八上·清新期中）如果是关于x、y的二元一次方程，那么的值是　 　．
14．（2024八上·清新期中）如图，AB∥CD，∠BOC＝100°，BE，CF分别平分∠ABO，∠OCD，则∠2﹣∠1＝　 　．
15．（2024八上·清新期中）如图，下列条件：①；②；③；④，能判断的是　 　．
16．（2024八上·清新期中）点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点的坐标为　 　．
17．（2024八上·清新期中）（1）解方程：；
（2）计算：．
18．（2024八上·清新期中）随着大陆惠及台胞政策措施的落实，台湾水果进入了大陆市场，一水果经销商购进了A，B两种台湾水果各10箱，分配给他的甲，乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表：
　 A种水果/箱 B种水果/箱
甲店 11元 17元
乙店 9元 13元
有两种配货方案（整箱配货）：
方案一：甲，乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱；
方案二：按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店几箱，乙店几箱？B种水果甲店几箱，乙店几箱？
（1）如果按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元；
（2）请你将方案二补充完整，写出所有结果，并将你填写的方案二与方案一做比较，得出哪一种方案盈利较多．
19．（2024八上·清新期中）问题探究：
（1）如图1，，求证：．
（2）如图2，，的平分线与的平分线相交于点G，，则的度数为　 　．
（3）问题迁移：
如图3，，EF平分，FD平分．若，请求出的度数．
20．（2024八上·清新期中）某校在2021年组织七年级学生参加研学活动，租用二种不同型号的客车，每辆座位如下表：
客车型号 A B
人数/辆 28 49
若租用 A型客车5辆和 B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用 A型客车1辆和 B型客车5辆，则需要租金 2800 元.
（1）求租用A，B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？
（2）现有七年级14个班级的学生588人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，为节约成本，则租用 A型客车和 B型客车各多少辆，需要花费多少钱？
21．（2024八上·清新期中）如图1，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的小立方体组成，体积为27．
（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）在图2的方格中画一个面积为10的正方形；并将数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解： =2，
故选：D．
【分析】根据立方根的定义，即可解答．
2．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，
根据题意列方程为：，
故答案为：A．
【分析】根据大、小容器的数量与总容量的关系，分别列出两个关于x、y的方程，组成方程组.
3．【答案】A
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】如下图，延长CD，交AE于点F
∵AB∥FD，∠BAE=82°
∴∠EFC=82°
∵∠ECD=120°
∴∠ECF=60°
∴∠E=38°
故答案为：A
【分析】本题关键是利用平行公理推论（平行于同一直线的两直线互相平行 ）作辅助线，构造出与已知角（、 ）相关的同旁内角，再依据“两直线平行，同旁内角互补”，分别求出与相关的角，最后通过角的和差关系算出的度数 。
4．【答案】D
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：∠1与∠2，是内错角，选项A不符合题意；
∠1与∠3，是同旁内角，选项B不符合题意；
∠1与∠4，是对顶角，选项C不符合题意；
∠2与∠4是同位角，选项D不符合题意；
故答案为：D．
【分析】核心是依据同位角的定义，逐一分析每个选项中角的位置关系，判断是否符合同位角的特征.
5．【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴点到的距离为，
故答案为：A．
【分析】利用平行线间距离处处相等，得出与面积相等，再结合三角形面积公式求出点到的距离.
6．【答案】D
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：∵与是同位角，且，但是并没有说明是两条平行直线形成的同位角，
∴与的大小关系是无法确定的，
故答案为：D．
【分析】本题核心是理解同位角的性质前提：同位角相等的结论，必须建立在“两直线平行”的条件上，题目仅告知“是同位角”，未限定两直线平行，因此无法确定的具体度数，需根据“平行与否”的分类讨论，判断的可能性 .
7．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵，为有理数，
∴无限不循环小数：、、、2.12312231223……（1和3之间的2逐次加1个）
故答案为：C.
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠1=125°，
∴∠AEC=180°-125°=55°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠AEC=55°，
故答案为：B．
【分析】先通过邻补角定义（平角为 ），由算出其邻补角的度数；再依据平行线的性质（两直线平行，同位角相等 ），将与关联，得出的度数 。
9．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：设购买甲种标语牌个，乙种标语牌个，由题意，得：，
∴，
∵为正整数，
∴，
∴共有3种方案，
故答案为：C．
【分析】本题通过设未知数（甲、乙标语牌数量 ），依据“总价 = 单价×数量”列二元一次方程，再结合“正整数解”（两种都买， ）的限制条件，通过对取值（的倍数 ）的讨论，求出所有符合题意的方案数量 .
10．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1=∠3，
∴AD∥BC故①错误
∵∠C+∠1+∠4=180°，则∠C+∠ADC=180°
∴AD∥BC故②正确
∵∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，且∠A+∠C+∠ABC+∠ADC=360°
∴∠C+∠ABC=180°
∴AB∥DC；故③正确
∵BD平分∠ABC
∴∠2=∠3且∠2=∠4
∴∠3=∠4，
∴BC=CD故④正确
∵AD∥BC
∴∠A+∠ABC=180°且∠A=∠C
∴∠ABC+∠C=180°
∴AB∥CD故⑤正确
故答案为：B．
【分析】先通过识别角的位置关系（内错角、同旁内角 ），结合已知角的数量关系，判断直线是否平行；然后利用角平分线性质和等角关系，推导边的数量关系（等腰 ）。通过分类验证每个语句的逻辑合理性，确定正确选项 .
11．【答案】±2；2
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：4的平方根是=±2，算术平方根是=2．
故答案为±2；2．
【分析】1.平方根包含正负两个值（满足平方等于原数 ）.
2.算术平方根是平方根中的非负数值。通过定义直接推导4的平方根和算术平方根，区分两者的取值差异（平方根有正负，算术平方根仅取正 ）.
12．【答案】-1
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：得：，
∵x+y=3，
∴，
解得：k=-1.
故答案为：-1.
【分析】利用加减消元法求出二元一次方程组的解，结合x+y=3可得关于k的方程，求解即可.
13．【答案】2
【知识点】二元一次方程的概念；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
∴
故答案为：
【分析】根据二元一次方程中未知数次数为的定义，列出关于、的方程组，通过代入消元法求解、，再代入计算的值.
14．【答案】40°
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点O作OG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OG∥CD，
∵BE平分∠ABO，
∴∠4=∠ABO=2∠1，∠5=∠3，
∵∠BOC=100°，即∠4+∠5=2∠1+∠3=100°，
∴∠3=100°-2∠1，
∵CF平分∠OCD，
∴2∠2=180°-∠3=180°-(100°-2∠1)=80°+2∠1，
∴2∠2-2∠1=80°，
∴∠2-∠1=40°．
故答案为：40°．
【分析】通过作辅助线，利用平行线的传递性得到，再结合角平分线的定义和平行线的性质，推导与的数量关系.
15．【答案】①③④
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①，根据内错角相等，两直线平行，可判断；
②，根据同位角相等，两直线平行，可判断；
③，根据同旁内角互补，两直线平行，可判断；
④，
，根据同旁内角互补，两直线平行，可判断；
综上，能判断的是①③④，
故答案为：①③④．
【分析】依据平行线的判定定理（ 内错角相等、同旁内角互补时两直线平行 ），逐一分析每个条件中角的关系，判断是否能推出.
16．【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，∴所得点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴.
故答案为：．
【分析】根据点的坐标的平移规律“右加左减、上加下减”即可求解．
17．【答案】解：（1），
，
，
解得，或
（2）
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；利用开平方求未知数
【解析】【分析】（1） 利用平方根的定义，将方程转化为关于的等式，进而求解.
（2） 分别根据平方根、绝对值、立方根的性质化简各项，再进行实数的加减运算.
18．【答案】（1）解：元.
∴经销商能盈利250元.
（2）解：设按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店x箱，B种水果甲店y箱由题意得：
∵，
当时，方程有整数解
答：A种水果甲店5箱，乙店5箱，B种水果甲店4箱，乙店6箱；A种水果甲店2箱，乙店8箱。B种水果甲店6箱，乙店4箱；A种水果甲店8箱，乙店2箱。B种水果甲店2箱，乙店8箱；
元
元
元
∵
∴方案一盈利较多.
【知识点】二元一次方程的解；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）方案一：利用 “单价 × 数量 = 总价”，将两店各类水果盈利相加，因配货对称（各5箱 ），直接分组计算总盈利.
（2）方案二：通过设未知数表示甲店配货量，根据 “两店盈利相等” 列方程，结合整数约束（箱数为0 - 10整数 ）求所有可能解，再分别计算总盈利，与方案一对比得出结论.
（1）元
∴经销商能盈利250元
（2）设按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店x箱，B种水果甲店y箱
由题意得：
∵，
当时，方程有整数解
答：A种水果甲店5箱，乙店5箱，B种水果甲店4箱，乙店6箱；A种水果甲店2箱，乙店8箱。B种水果甲店6箱，乙店4箱；A种水果甲店8箱，乙店2箱。B种水果甲店2箱，乙店8箱；
元
元
元
∵
∴方案一盈利较多；
19．【答案】（1）证明：过点E作，∵，，
∴，
∴，，
∴．
（2）28°
（3）解：∵，∴设，．
由（1）得，
∵EF平分，FD平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；内错角的概念；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【解答】解：（2）解：由（1）得，，过点G作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴，
∴，，
∴．
又的平分线与的平分线相交于点G，
∴∠1=，∠2=，
∴，
又∠BED=56°，
∴∠BGD=28°．
故答案为：28°．
【分析】（1）通过作辅助线构造平行关系，利用平行线内错角相等的性质，证明角的关系.
（2）先依据（1）的结论得到与、的关系，再结合角平分线的定义，求出.
（3）根据角的比例关系设未知数，结合（1）的结论、角平分线定义以及平行线性质，列方程求解的度数.
（1）证明：过点E作，
∵，，
∴，
∴，，
∴．
（2）解：由（1）得，，
过点G作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴，
∴，，
∴．
又的平分线与的平分线相交于点G，
∴∠1=，∠2=，
∴，
又∠BED=56°，
∴∠BGD=28°．
故答案为：28°．
（3）解：∵，
∴设，．
由（1）得，
∵EF平分，FD平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
20．【答案】（1）解：设A型车每辆的租金为x，B型车每辆的租金为y，由题意可得：，
解得：，
∴A型车每辆的租金为300元，B型车每辆的租金为500元.
（2）解：设租用A型车辆a辆，B型车辆b辆，28a+49b=588，
化简得：4a+7b=84，
∴，
∴当b=4，a=14，需要花费14×300+4×500=6200元；
当b=8，a=7，需要花费7×300+8×500=6100元，
∴租用A型客车14辆，B型客车4辆，需要花费6200元；租用A型客车7辆，B型客车8辆，需要花费6100元．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）通过设未知数，依据两种租车方案的租金总费用，建立二元一次方程组，利用消元法求解租金单价.
（2）根据总人数列二元一次方程，结合正整数约束（车辆数为正 ），通过分析倍数关系确定可能的租车组合，再计算费用对比，找到符合 “两种都租” 的方案.
（1）解：设A型车每辆的租金为x，B型车每辆的租金为y，
由题意可得：，
解得：，
∴A型车每辆的租金为300元，B型车每辆的租金为500元；
（2）设租用A型车辆a辆，B型车辆b辆，
28a+49b=588，
化简得：4a+7b=84，
∴，
∴当b=4，a=14，需要花费14×300+4×500=6200元；
当b=8，a=7，需要花费7×300+8×500=6100元，
∴租用A型客车14辆，B型客车4辆，需要花费6200元；租用A型客车7辆，B型客车8辆，需要花费6100元．
21．【答案】（1）解：设魔方的棱长为x，根据题意，得，
解得．
故魔方的棱长为3．
（2）解：阴影部分的面积为：，
正方形的边长为.
（3）解：如图，正方形为所求作的正方形，以点O为原点，建立如图所示的数轴，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴上一点D，则点D表示的数为，
图中正方形的面积为：，
正方形的边长，
∴，
∴点D表示的数为．
【知识点】实数在数轴上表示；三角形的面积；算术平方根的实际应用；立方根的实际应用
【解析】【分析】（1）棱长计算：利用正方体体积公式，通过开立方直接求解.
（2）阴影面积：用“补形法”，通过大正方形（魔方面 ）面积减去外围三角形面积，间接求阴影面积；再由正方形面积公式开方得边长.
（3）画正方形与表示数：利用勾股定理构造直角边，生成斜边（正方形边长 ），通过“割补法”画正方形；结合数轴与圆规，利用边长（半径 ）在数轴负方向截取，体现数形结合.
（1）解：设魔方的棱长为x，根据题意，得，
解得．
故魔方的棱长为3．
（2）解：阴影部分的面积为：，
正方形的边长为；
（3）解：如图，正方形为所求作的正方形，以点O为原点，建立如图所示的数轴，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴上一点D，则点D表示的数为，
图中正方形的面积为：，
正方形的边长，
∴，
∴点D表示的数为．
1 / 1广东省清远市清新区第四中学教育集团六校联考2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题
1．（2024八上·清新期中）化简 的结果是（　　）
A．8 B．4 C．﹣2 D．2
【答案】D
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解： =2，
故选：D．
【分析】根据立方根的定义，即可解答．
2．（2024八上·清新期中）《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”（斛：古量器名，容量单位）其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛？设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据题意，可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，
根据题意列方程为：，
故答案为：A．
【分析】根据大、小容器的数量与总容量的关系，分别列出两个关于x、y的方程，组成方程组.
3．（2024八上·清新期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知，，， 则的度数是（　　）
A．38° B．44° C．46° D．56°
【答案】A
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】如下图，延长CD，交AE于点F
∵AB∥FD，∠BAE=82°
∴∠EFC=82°
∵∠ECD=120°
∴∠ECF=60°
∴∠E=38°
故答案为：A
【分析】本题关键是利用平行公理推论（平行于同一直线的两直线互相平行 ）作辅助线，构造出与已知角（、 ）相关的同旁内角，再依据“两直线平行，同旁内角互补”，分别求出与相关的角，最后通过角的和差关系算出的度数 。
4．（2024八上·清新期中）如图，下列两个角是同位角的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：∠1与∠2，是内错角，选项A不符合题意；
∠1与∠3，是同旁内角，选项B不符合题意；
∠1与∠4，是对顶角，选项C不符合题意；
∠2与∠4是同位角，选项D不符合题意；
故答案为：D．
【分析】核心是依据同位角的定义，逐一分析每个选项中角的位置关系，判断是否符合同位角的特征.
5．（2024八上·清新期中）如图，，，则点到的距离为（　　）
A．3 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴点到的距离为，
故答案为：A．
【分析】利用平行线间距离处处相等，得出与面积相等，再结合三角形面积公式求出点到的距离.
6．（2024八上·清新期中）若与是同位角，且，则是（　　）
A． B． C．或 D．不能确定
【答案】D
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：∵与是同位角，且，但是并没有说明是两条平行直线形成的同位角，
∴与的大小关系是无法确定的，
故答案为：D．
【分析】本题核心是理解同位角的性质前提：同位角相等的结论，必须建立在“两直线平行”的条件上，题目仅告知“是同位角”，未限定两直线平行，因此无法确定的具体度数，需根据“平行与否”的分类讨论，判断的可能性 .
7．（2024八上·清新期中）在实数、3.1415、、、、2.12312231223……（1和3之间的2逐次加1个）中，无理数的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵，为有理数，
∴无限不循环小数：、、、2.12312231223……（1和3之间的2逐次加1个）
故答案为：C.
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
8．（2024八上·清新期中） 如图，已知直线AB与CD平行，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，若∠1=125°，则∠2=(　　)
A．65° B．55° C．50° D．45°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠1=125°，
∴∠AEC=180°-125°=55°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠AEC=55°，
故答案为：B．
【分析】先通过邻补角定义（平角为 ），由算出其邻补角的度数；再依据平行线的性质（两直线平行，同位角相等 ），将与关联，得出的度数 。
9．（2024八上·清新期中）五月份学校将举办“雅信杯”校园好声音大赛，某班进行了预选赛，为鼓励同学们，老师花了48元钱买了甲、乙两种（两种都买）励志标语牌作为奖品．已知甲种励志标语牌每个6元，乙种励志标语牌每个4元，则老师购买励志标语牌的方案共有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：设购买甲种标语牌个，乙种标语牌个，由题意，得：，
∴，
∵为正整数，
∴，
∴共有3种方案，
故答案为：C．
【分析】本题通过设未知数（甲、乙标语牌数量 ），依据“总价 = 单价×数量”列二元一次方程，再结合“正整数解”（两种都买， ）的限制条件，通过对取值（的倍数 ）的讨论，求出所有符合题意的方案数量 .
10．（2024八上·清新期中）如图所示，下列语句描述正确的是（　　）
①若∠1=∠3，则AB∥DC；②若∠C+∠1+∠4=180°，则AD∥BC；③∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，则AB∥DC；④若∠2=∠4，BD平分∠ABC，则BC=CD；⑤若AD∥BC，∠A=∠C，则AB∥DC．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1=∠3，
∴AD∥BC故①错误
∵∠C+∠1+∠4=180°，则∠C+∠ADC=180°
∴AD∥BC故②正确
∵∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，且∠A+∠C+∠ABC+∠ADC=360°
∴∠C+∠ABC=180°
∴AB∥DC；故③正确
∵BD平分∠ABC
∴∠2=∠3且∠2=∠4
∴∠3=∠4，
∴BC=CD故④正确
∵AD∥BC
∴∠A+∠ABC=180°且∠A=∠C
∴∠ABC+∠C=180°
∴AB∥CD故⑤正确
故答案为：B．
【分析】先通过识别角的位置关系（内错角、同旁内角 ），结合已知角的数量关系，判断直线是否平行；然后利用角平分线性质和等角关系，推导边的数量关系（等腰 ）。通过分类验证每个语句的逻辑合理性，确定正确选项 .
11．（2024八上·清新期中）4的平方根是　 　，算术平方根是　 　．
【答案】±2；2
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：4的平方根是=±2，算术平方根是=2．
故答案为±2；2．
【分析】1.平方根包含正负两个值（满足平方等于原数 ）.
2.算术平方根是平方根中的非负数值。通过定义直接推导4的平方根和算术平方根，区分两者的取值差异（平方根有正负，算术平方根仅取正 ）.
12．（2024八上·清新期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，则实数的值为　 　．
【答案】-1
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：得：，
∵x+y=3，
∴，
解得：k=-1.
故答案为：-1.
【分析】利用加减消元法求出二元一次方程组的解，结合x+y=3可得关于k的方程，求解即可.
13．（2024八上·清新期中）如果是关于x、y的二元一次方程，那么的值是　 　．
【答案】2
【知识点】二元一次方程的概念；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
∴
故答案为：
【分析】根据二元一次方程中未知数次数为的定义，列出关于、的方程组，通过代入消元法求解、，再代入计算的值.
14．（2024八上·清新期中）如图，AB∥CD，∠BOC＝100°，BE，CF分别平分∠ABO，∠OCD，则∠2﹣∠1＝　 　．
【答案】40°
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点O作OG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OG∥CD，
∵BE平分∠ABO，
∴∠4=∠ABO=2∠1，∠5=∠3，
∵∠BOC=100°，即∠4+∠5=2∠1+∠3=100°，
∴∠3=100°-2∠1，
∵CF平分∠OCD，
∴2∠2=180°-∠3=180°-(100°-2∠1)=80°+2∠1，
∴2∠2-2∠1=80°，
∴∠2-∠1=40°．
故答案为：40°．
【分析】通过作辅助线，利用平行线的传递性得到，再结合角平分线的定义和平行线的性质，推导与的数量关系.
15．（2024八上·清新期中）如图，下列条件：①；②；③；④，能判断的是　 　．
【答案】①③④
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①，根据内错角相等，两直线平行，可判断；
②，根据同位角相等，两直线平行，可判断；
③，根据同旁内角互补，两直线平行，可判断；
④，
，根据同旁内角互补，两直线平行，可判断；
综上，能判断的是①③④，
故答案为：①③④．
【分析】依据平行线的判定定理（ 内错角相等、同旁内角互补时两直线平行 ），逐一分析每个条件中角的关系，判断是否能推出.
16．（2024八上·清新期中）点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，∴所得点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴.
故答案为：．
【分析】根据点的坐标的平移规律“右加左减、上加下减”即可求解．
17．（2024八上·清新期中）（1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】解：（1），
，
，
解得，或
（2）
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；利用开平方求未知数
【解析】【分析】（1） 利用平方根的定义，将方程转化为关于的等式，进而求解.
（2） 分别根据平方根、绝对值、立方根的性质化简各项，再进行实数的加减运算.
18．（2024八上·清新期中）随着大陆惠及台胞政策措施的落实，台湾水果进入了大陆市场，一水果经销商购进了A，B两种台湾水果各10箱，分配给他的甲，乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表：
　 A种水果/箱 B种水果/箱
甲店 11元 17元
乙店 9元 13元
有两种配货方案（整箱配货）：
方案一：甲，乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱；
方案二：按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店几箱，乙店几箱？B种水果甲店几箱，乙店几箱？
（1）如果按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元；
（2）请你将方案二补充完整，写出所有结果，并将你填写的方案二与方案一做比较，得出哪一种方案盈利较多．
【答案】（1）解：元.
∴经销商能盈利250元.
（2）解：设按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店x箱，B种水果甲店y箱由题意得：
∵，
当时，方程有整数解
答：A种水果甲店5箱，乙店5箱，B种水果甲店4箱，乙店6箱；A种水果甲店2箱，乙店8箱。B种水果甲店6箱，乙店4箱；A种水果甲店8箱，乙店2箱。B种水果甲店2箱，乙店8箱；
元
元
元
∵
∴方案一盈利较多.
【知识点】二元一次方程的解；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）方案一：利用 “单价 × 数量 = 总价”，将两店各类水果盈利相加，因配货对称（各5箱 ），直接分组计算总盈利.
（2）方案二：通过设未知数表示甲店配货量，根据 “两店盈利相等” 列方程，结合整数约束（箱数为0 - 10整数 ）求所有可能解，再分别计算总盈利，与方案一对比得出结论.
（1）元
∴经销商能盈利250元
（2）设按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店x箱，B种水果甲店y箱
由题意得：
∵，
当时，方程有整数解
答：A种水果甲店5箱，乙店5箱，B种水果甲店4箱，乙店6箱；A种水果甲店2箱，乙店8箱。B种水果甲店6箱，乙店4箱；A种水果甲店8箱，乙店2箱。B种水果甲店2箱，乙店8箱；
元
元
元
∵
∴方案一盈利较多；
19．（2024八上·清新期中）问题探究：
（1）如图1，，求证：．
（2）如图2，，的平分线与的平分线相交于点G，，则的度数为　 　．
（3）问题迁移：
如图3，，EF平分，FD平分．若，请求出的度数．
【答案】（1）证明：过点E作，∵，，
∴，
∴，，
∴．
（2）28°
（3）解：∵，∴设，．
由（1）得，
∵EF平分，FD平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；内错角的概念；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【解答】解：（2）解：由（1）得，，过点G作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴，
∴，，
∴．
又的平分线与的平分线相交于点G，
∴∠1=，∠2=，
∴，
又∠BED=56°，
∴∠BGD=28°．
故答案为：28°．
【分析】（1）通过作辅助线构造平行关系，利用平行线内错角相等的性质，证明角的关系.
（2）先依据（1）的结论得到与、的关系，再结合角平分线的定义，求出.
（3）根据角的比例关系设未知数，结合（1）的结论、角平分线定义以及平行线性质，列方程求解的度数.
（1）证明：过点E作，
∵，，
∴，
∴，，
∴．
（2）解：由（1）得，，
过点G作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴，
∴，，
∴．
又的平分线与的平分线相交于点G，
∴∠1=，∠2=，
∴，
又∠BED=56°，
∴∠BGD=28°．
故答案为：28°．
（3）解：∵，
∴设，．
由（1）得，
∵EF平分，FD平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
20．（2024八上·清新期中）某校在2021年组织七年级学生参加研学活动，租用二种不同型号的客车，每辆座位如下表：
客车型号 A B
人数/辆 28 49
若租用 A型客车5辆和 B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用 A型客车1辆和 B型客车5辆，则需要租金 2800 元.
（1）求租用A，B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？
（2）现有七年级14个班级的学生588人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，为节约成本，则租用 A型客车和 B型客车各多少辆，需要花费多少钱？
【答案】（1）解：设A型车每辆的租金为x，B型车每辆的租金为y，由题意可得：，
解得：，
∴A型车每辆的租金为300元，B型车每辆的租金为500元.
（2）解：设租用A型车辆a辆，B型车辆b辆，28a+49b=588，
化简得：4a+7b=84，
∴，
∴当b=4，a=14，需要花费14×300+4×500=6200元；
当b=8，a=7，需要花费7×300+8×500=6100元，
∴租用A型客车14辆，B型客车4辆，需要花费6200元；租用A型客车7辆，B型客车8辆，需要花费6100元．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）通过设未知数，依据两种租车方案的租金总费用，建立二元一次方程组，利用消元法求解租金单价.
（2）根据总人数列二元一次方程，结合正整数约束（车辆数为正 ），通过分析倍数关系确定可能的租车组合，再计算费用对比，找到符合 “两种都租” 的方案.
（1）解：设A型车每辆的租金为x，B型车每辆的租金为y，
由题意可得：，
解得：，
∴A型车每辆的租金为300元，B型车每辆的租金为500元；
（2）设租用A型车辆a辆，B型车辆b辆，
28a+49b=588，
化简得：4a+7b=84，
∴，
∴当b=4，a=14，需要花费14×300+4×500=6200元；
当b=8，a=7，需要花费7×300+8×500=6100元，
∴租用A型客车14辆，B型客车4辆，需要花费6200元；租用A型客车7辆，B型客车8辆，需要花费6100元．
21．（2024八上·清新期中）如图1，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的小立方体组成，体积为27．
（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）在图2的方格中画一个面积为10的正方形；并将数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数．
【答案】（1）解：设魔方的棱长为x，根据题意，得，
解得．
故魔方的棱长为3．
（2）解：阴影部分的面积为：，
正方形的边长为.
（3）解：如图，正方形为所求作的正方形，以点O为原点，建立如图所示的数轴，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴上一点D，则点D表示的数为，
图中正方形的面积为：，
正方形的边长，
∴，
∴点D表示的数为．
【知识点】实数在数轴上表示；三角形的面积；算术平方根的实际应用；立方根的实际应用
【解析】【分析】（1）棱长计算：利用正方体体积公式，通过开立方直接求解.
（2）阴影面积：用“补形法”，通过大正方形（魔方面 ）面积减去外围三角形面积，间接求阴影面积；再由正方形面积公式开方得边长.
（3）画正方形与表示数：利用勾股定理构造直角边，生成斜边（正方形边长 ），通过“割补法”画正方形；结合数轴与圆规，利用边长（半径 ）在数轴负方向截取，体现数形结合.
（1）解：设魔方的棱长为x，根据题意，得，
解得．
故魔方的棱长为3．
（2）解：阴影部分的面积为：，
正方形的边长为；
（3）解：如图，正方形为所求作的正方形，以点O为原点，建立如图所示的数轴，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴上一点D，则点D表示的数为，
图中正方形的面积为：，
正方形的边长，
∴，
∴点D表示的数为．
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