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2025-2026学年度高中数学必修一1.1-1.3集合滚动测试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若集合，，则
A． B． C． D．
3．集合的非空子集个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
4．已知集合， ， ，则=（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，若，则实数取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．设，其中，，，是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是错误的，则满足条件的的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．
7．定义，若，，则中元素的个数是（ ）
A．6个 B．7个
C．8个 D．9个
8．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A}，则集合B中的元素个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
9．已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
11．设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（ ）
A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1
C．若，则 D．若n=1，则
三、填空题
12．我们知道，如果结合，那么的子集的补集为且.类似地，对于集合，我们把集合且叫作集合与的差集，记作.例如，，，则有，.若，，则 .
13．将集合用列举法表示为 .
14．对于平面上的两个点，，若满足①，②，③前面两个不等式中至少有一个“”不成立，则称是相对于的一个优先点，记作“”. 已知点集.
（Ⅰ）若，，则可以构成 组优先点；
（Ⅱ）若点集，且集合中的任意两个点都不能构成一组优先点，则集合中的元素最多可以有 个．
四、解答题
15．已知全集，集合，集合．
（1）求及；
（2）若集合，，求实数的取值范围．
16．已知集合，集合，求．
17．已知集合A={x|x2－3x+2=0},B={x|x2－ax+3a－5=0},若A∩B=B，求实数a的值
18．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}， B＝{x|m＋1≤x≤m＋3}．
（1） 若B A，求实数m的取值范围；
（2） 当x∈Z时，求A的非空真子集个数；
（3） 当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
19．对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
(1)判断集合与是否为“和谐集”（不必写过程）；
(2)求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
(3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共2页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B B A C A C AD AD
题号 11
答案 BC
1．B
【分析】根据交集运算求解即可.
【详解】由得,所以
,
故选：B.
2．C
【详解】 ，
，选C
3．B
【详解】集合的子集为 因为要求非空的，故共有3个．
故答案为B．
4．B
【分析】通过集合的交并补混合运算直接得出答案.
【详解】， ，
，
，
，
故选：B.
5．A
【分析】根据集合计算，利用求参数的取值范围.
【详解】由得，.
由得，，
∴或，
∴，解得.
故选：A.
6．C
【分析】因为只有一个错误，故分类讨论，若①错，有两种情况，若②错则互相矛盾，若③错，有三种情况，若④错，有一种情况，分别求解即可得结果．
【详解】若①错，则，，，
有两种情况：，，，，
或，，，，；
若②错，则，，互相矛盾，故②对；
若③错，则，，，
有三种情况：，，，，；
，，，，；
，，，，；
若④错，则，，，
只有一种情况：，，，，
所以
故选：C
7．A
【分析】依次取集合中的元素，与集合中的所有元素相乘即可得答案.
【详解】解：根据，
取集合中的元素，与集合中的所有元素相乘均为；
取集合中的元素，与集合中的所有元素相乘得：；
取集合中的元素，与集合中的所有元素相乘得：；
所有.
故中元素的个数是个
故选：A.
【点睛】本题考查集合新定义问题，考查知识迁移应用能力，是基础题.
8．C
【分析】理解集合B中元素的特点，可以列举出它的所有元素.
【详解】因为x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A，所以集合，共4个元素，故选C.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，明确代表元素的含义是确定集合元素的首要条件.
9．AD
【分析】利用常用数集化简集合，再利用集合的关系与交并补运算即可得解.
【详解】因为，
又，所以，且，故A正确，B错误；
，，故C错误，D正确.
故选：AD.
10．AD
【分析】由条件可得，，列方程，不等式求.
【详解】因为的解集为，
所以，又，
所以，，
所以，，
所以，，
解得或.
故选：AD.
11．BC
【分析】先由非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S，判断出或，，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可
【详解】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.
∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或；
同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得： .
对于A: m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误；
对于B: ,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确；
对于C: 若，有，解得：，故C正确；
对于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正确.
故选：BC
【点睛】方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解.
12．.
【分析】按定义解题即可.
【详解】由定义可知.
故答案为：.
13．,,
【分析】将方程变形可得出为偶数且，由此可得出所求集合.
【详解】，，且、，为偶数且.
当时，；当时，；当时，.
故答案为.
【点睛】本题考查集合的表示，关键就是集合中的方程，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14．
【分析】（Ⅰ）根据优先点定义，采用列举的方式可求得结果；
（Ⅱ）由题意可得集合中的任意两个点都不满足和，分别在且，且和三种情况下讨论满足题意的中元素个数，综合结论可得结果.
【详解】（Ⅰ）由得：，
则满足“”的有：和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，共组；
（Ⅱ）集合中的任意两个点都不能构成一组优先点，
集合中的任意两个点都不满足和；
①若且，此时中元素只能成对出现，
若，，，此时，则和，均不构成一组优先点，但和构成一组优先点，不合题意；此时中仅有两个元素；
②若且，则与，情况相同，中仅有两个元素；
③若，若或，则满足或，不合题意，；
此时中有且仅有一个元素，不具备两个点，不合题意；
若集合中的元素最多有个.
故答案为：；.
15．（1），；（2）.
【解析】（1）解出集合中的不等式，化简集合即可.
（2）由条件建立不等式即可.
【详解】（1）由得，所以，
由
所以
所以
（2）因为，且
所以，
所以的取值范围为：
【点睛】本题为基础题，考查集合的运算.
16．，或
【分析】先分别求出集合A，集合B，由此能求出和．
【详解】解：∵集合，
集合或，
∴，
或．
【点睛】本题考查交集、并集的求法，考查不等式的解法，考查运算求解能力，是基础题．
17．2≤a＜10
【详解】A={x|x2-3x+2=0}={1,2},由x2-ax+3a-5=0，知Δ=a2-4(3a-5)=a2-12a+20=(a-2)(a-10).
A∩B=B等价于集合B是集合A的子集，
(1)当2＜a＜10时，Δ＜0,B=A;
(2)当a≤2或a≥10时，Δ≥0，则B≠.若x=1，则1-a+3a-5=0,得a=2,此时B={x|x2-2x+1=0}={1}A;
若x=2，则4-2a+3a-5=0，得a=1,此时B={2,-1}A.
综上所述，当2≤a＜10时，均有A∩B=B.
18．（1）{m|－3≤m≤2} ；（2）254 ；（3）{m|m<－5或m>4}．
【分析】（1）由题可得，即求；
（2）当时，，再求的非空真子集个数；
（3）由题可知，结合条件即得.
【详解】（1）要使B A成立，则，解得－3≤m≤2，
所以实数m的取值范围是{m|－3≤m≤2}．
（2） 当x∈Z时，A＝{－2， －1， 0， 1， 2， 3， 4， 5}，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254．
（3） 因为x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}， B＝{x|m＋1≤x≤m＋3}，又没有元素使x∈A与x∈B同时成立，即，
∴m＋3＜－2或m＋1＞5，
解得m＜－5或m＞4，
即实数m的取值范围是{m|m<－5或m>4}．
19．(1)不是“和谐集”，不是“和谐集”
(2)证明见解析
(3)7
【分析】（1）由“和谐集”的定义判断
（2）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明
（3）由（2）知为奇数，根据的取值讨论后求解
【详解】（1）对于，去掉2后，不满足题中条件，故不是“和谐集”，
对于，去掉3后，不满足题中条件，不是“和谐集”
（2）设中所有元素之和为，由题意得均为偶数，
故的奇偶性相同
①若为奇数，则为奇数，易得为奇数，
②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合B也是“和谐集”，
若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由①知为奇数
综上，集合中元素个数为奇数
（3）由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”，
当时，不妨设，若A为“和谐集”，
去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾，故时，集合不是“和谐集”
当，设，
去掉1后，，
去掉3后，，
去掉5后，，
去掉7后，，
去掉9后，，
去掉11后，，
去掉13后，，
故是“和谐集”，元素个数的最小值为7
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