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浙教版数学八年级上学期重难点复习3：轴对称的应用
一、镜面对称
1．（2024八上·乾安期中）如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽路不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则（　　）
A．1 B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；镜面对称；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点与关于轴对称
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据平面镜成像原理，点与关于轴对称，然后根据关于y轴对称点横坐标互为相反数，纵坐标相同可求出x、y的值，再将x、y的值代入待求式子按有理数加减乘除混合运算的运算顺序计算即可求解．
2．（2025八上·汉阳期末）在平面直角坐标系中，将按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第1次关于轴对称，第2次关于轴对称，第3次关于轴对称，……，依次类推．若点，则将经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：点第一次关于轴对称后在第四象限，
点第二次关于轴对称后在第三象限，
点第三次关于轴对称后在第二象限，
点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置，
所以，每四次轴对称变换为一个循环组依次循环，
余1，
经过第次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为．
故选：B．
【分析】观察图形可知每四次轴对称变换为一个循环组依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限即可解答．
3．（2018-2019学年数学人教版（五四学制）八年级上册20.2 画轴对称图形 同步练习（1））当写有数字的纸条垂直于镜面摆放时(如图所示）：
下面是从镜子中看到的一串数 ，它其实是　 　.
【答案】526778022
【知识点】镜面对称
【解析】【解答】解：利用轴对称性质可知526778022
【分析】根据题意这串数字与镜中的数字关于镜面成轴对称的，根据轴对称的性质，即可得出答案。
4．镜中像 站在一个平面镜面前，大家总能看到自己的像.如果你站在两个有夹角的平面镜前，通常镜子中能看到不止两个你的像.那么当两个平面镜的夹角为60°时，共可以呈现　 　个你的像.
【答案】5
【知识点】轴对称的性质；镜面对称
【解析】【解答】解：如图所示
故答案为：5.
【分析】把360°按60°等分，可以分成6份，你可以看到6个像点发光，1个点是光源，其余5个是像，也可以用公式，设n为成像数，a为两个平面的夹角，则n=（360°/a）-1.
5．（2022八上·碑林期中）如图，等腰是由三块面向内的镜面组成的，其中，边上靠近点的三等分点处发出一道光线，经镜面两次反射后恰好回到点，若，则光线走过的路径是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，，分别是点关于直线和轴的对称点，连接AM，
，D为边上靠近点的三等分点，
可得，，，，，
，
设，分别是点关于直线和轴的对称点，
则，，
由光的反射原理可知，、、、四点共线，，，
光线走过的路径，
，
即光线走过的路径是．
故答案为：．
【分析】建立如图所示的直角坐标系，，分别是点关于直线和轴的对称点，连接AM，先求出M、N的坐标，由光的反射原理可知、、、四点共线，即得，，即得光线走过的路径，利用勾股定理求出即可.
6．（2021八上·寿阳期中）阅读下列材料并完成任务：“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图1，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为镜面，画出甲地的镜像点(垂直河边的等距离点)，然后连接乙地和甲地的镜像点，会跟河边相交一点，这个点就是马饮水的地方，马走的路程最短(两点之间直线距离最短)．
任务：
（1）请你帮海伦在图1的位置完成作图，并标出马饮水的地点P（画出草图即可）；
（2）如图2， ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1，-1)，B(-3，4)，C(3，2)．请你在x轴上找一点Q，使得QB+QC最小（保留作图痕迹）；
（3）应用：
如图3，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm．在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm处的点A处，点A与B的水平距离等干底面直径，求蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离．
【答案】（1）解：如图，马饮水处如下图所示
（2）如图，点Q如图所示
（3）如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
，
答：蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离是20cm．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据题意，通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L对称点，对称点与另一个对称点的连线与河边先的交点即所作的点；
（2）找出点C的对称点C'，连接BC'，与x轴交点即点Q；
（3） 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离。
二、光的反射
7．（2024八上·江门期中）如图，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子反射时，入射角等于反射角，即，．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意得，，
∵，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理及反射定律即可计算出∠4的度数.
8．（2024八上·镇海区期末）如图，在中，，从点射出的光线经过、反射恰好回到点，根据光的反射性质，有，，连结．若，以下结论正确的是（　　）
①，②，③，④平分．
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：设，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∴，，
假设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，此时与重合，不符合题意，
故②错误；
如图，作交延长线于，过作交于，交延长线于，则，，
∵，，，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
故④正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵中，，
∴，解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确，
综上所述，正确的有①③④．
故选：B．
【分析】设，，利用三角形内角和求出∠DEB和∠FDE即可判断结论①；根据反推回去，发现矛盾的地方，即可判断结论②；如图，作交延长线于，过作交于，交延长线于，则，，先证明，得到
，，，再证明，得到，即可判断平分，得到④正确；证明，得到，设，则，，利用勾股定理和面积依次求出，，，，再在中，利用勾股定理求出，最后计算，，即可判断③正确．
9．（2023八上·端州期中）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出，已知，且，则光线与镜面的夹角　 　.
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
10．（2024八上·南京月考）如图，一束光线从点射出，照在经过，的镜面上的点，经反射后，反射光线又照到竖立在轴位置的镜面，经轴再反射的光线恰好通过点，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；坐标与图形变化﹣对称
11．（2025八上·旺苍期末）我们知道在光的反射现象中，当光照射到平面镜上时反射角等于入射角．现有一束光线经过三块平面镜反射， 光路如图所示， 当时，　 　
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图，由题意，得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据反射定律：入射角等于反射角，可知：，再根据三角形的内角和定理，求出的度数，根据平角的定义求出的度数，根据四边形的内角和为360°，求出的度数即可．
12．（2024八上·江苏期末）【阅读材料】
【数学思考】
根据光的反射定律，结合“等角的余角相等”，上图中，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角对应相等．例如：在图1、图2中，设平面镜与平面镜的夹角，从点F射出一条光线，分别在点E，点G发生反射，则有，．
（1）如图1，光线经过2次反射又回到了点F，入射光线与第2次反射光线的夹角为．若，则_______度；
（2）如图2，光线经过2次反射，第2次反射光线为，请探索证明与α的数量关系，并直接写出当α为多少度时，；
（3）如图3，有三块平面镜，入射光线与平面镜的夹角，已知入射光线从平面镜开始反射，经过n（n为正整数，）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数（可用含有m的代数式表示）．
【答案】（1）40
（2），
（3）或
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；平行线的应用-求角度
13．（2024八上·巴东期中）在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．
（1）如图，入射光线经过次反射后与反射光线交于点．若，求的度数；
（2）如图，图，若，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线与所在的直线相交于点，，分别写出与之间满足的等量关系是______（直接写出两个结果）．
【答案】（1）
（2），．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质
14．（2024八上·诸暨月考）如图1，六分仪是一种测量天体高度的航海仪器，观测者手持六分仪，可得出观测点的地理坐标．
在图2所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线自动与刻度线保持平行（即），并与A处的镜面所在直线相交于点C，所在直线与水平线相交于点D，，观测角=　 　（用表示）．
小贴士： 如图3，光线经过镜面反射时，反射角等于入射角，所以图2中，
【答案】2
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵是的外角，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
【分析】先利用平行线的性质证得，再利用已知条件得到，然后根据三角形外角的性质得出，最后根据三角形内角和定理求解．
三、台球桌上的轴对称
15．如图为台球桌示意图，已知台球桌边框AB与BC垂直，球杆沿着直线m击打白球后，经过两次撞击后沿着直线n运动，已知∠ADF=46°，则∠GEC的度数为 (　　)
A．47° B．46° C．45° D．44°
【答案】D
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：由题意得∠BDE=∠ADF=46°，∠B=90°，
∴ ∠BED=90°-∠BEF=44°，
∴∠GEC=∠BED=44°.
故答案为：D
【分析】根据入射角等于反射角可得出∠BDE=∠ADF=46°，进而根据直角三角形两锐角互余可得出∠BED=44°，进而得出∠GEC=44°.
16．（2023八上·扎赉特旗月考）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，∠1=∠2．若∠3=25°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入底袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为(　　)
A．65° B．75° C．55° D．85°
【答案】A
【知识点】轴对称的性质
17．（2024八上·盐都月考）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是　 　.
【答案】2
【知识点】生活中的轴对称现象
18．（2024八上·石景山期末）台球技艺中包含了许多物理、数学的知识．图1是台球桌面的一部分，由于障碍球E的阻挡，击球者想通过正面击打主球M，使其撞击台球桌边框（仅碰撞一次），经过一次反弹后正面撞击到目标球F．球的反弹路径类似于光的反射光路．台球桌面抽象为长方形，球抽象为点，如图2，请在边上作出撞击点P，使得，并用数学知识进行证明．
锦囊：某同学阅读理解题意后，先画了一个草图（如图3）进行分析，发现“要保证，只需保证即可”．
【答案】解：如图，作点M关于的对称点，连接交于点P，点P即为所求；
证明：点与点M关于对称，
垂直平分，
，，
，
，
，即．
【知识点】生活中的轴对称现象；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】作点M关于的对称点，连接交于点P，根据垂直平分，可得，，根据等腰三角形三线合一可得，结合，即可求出答案.
19．（2022八上·海淀期中）操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置．
（1）如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________；
（2）在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．）
【答案】（1）解：如图，所以小球会击中的点是，
故答案为：

（2）解：如图所示，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质画出小球从起始点处出发的路径，即可求解；
（2）根据轴对称的性质（对应点连线与对称轴垂直），找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为
（1）解：如图，所以小球会击中的点是，
故答案为：
（2）解：如图所示，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为
四、折叠问题
20．（2025八上·台州期末）如图，将沿折叠得到，再将沿折叠得到，连接，交于点，连接，与相交于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质得，
∴，
由折叠的性质得，，
∵，
∴
，
故答案为：C．
【分析】由折叠得，得出，利用外角性质求出结论．
21．（2025八上·天元期末）如图，将面积为16的正方形纸片沿着折叠，使得点A落在点G处，再将沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，过点E作的平行线与交于点H，则EH的长为（　　）．
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
22．（2024八上·上城期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，首先沿着CD折叠，点B落在点E处，然后沿着FG折叠，使得点A与点E重合，则下列说法中（　　）
①EF⊥CE；②若BC＝3，AC＝4，那么．
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
【答案】A
【知识点】垂线的概念；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—面积关系
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A=90°.
∵△CBD沿CD折叠得到△CED，
∴∠CED=∠B，ED=BD，CE=CB.
∵△FAG沿FG折叠得到△FEG，
∴∠A=∠FEG，AG=GE，AF=EF.
∴∠CED+∠FEG=90°，
∴∠CEF=90°，
∴EF⊥CE， ①正确；
若 BC＝3，AC＝4， 则AB=5，
∵CD⊥AB，
∴.
∴，
∴.
设AF=x，在Rt△CFE中，CF2=EF2+CE2，
∴(4－x)2=x2+32.
解得.
即AF=
∴FG=， ②正确.
故答案为：A.
【分析】（1）由∠ACB=90°，得到∠B+∠A=90°，由两个折叠得到∠CED=∠B，∠A=∠FEG，于是可得∠CED+∠FEG=90°，结论得证；
（2）根据BC＝3，AC＝4得到AB和CD的值，从而得到BD和AG的值，.设AF=x，则CF=4-x，可在△EFG中利用勾股定理求出x的值。进而得到GF，结论得证.
23．（2024八上·白云期中）如图，中，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】解：当时，
，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，
则，
∴．
当时，点与重合，不符合题意，
综上所述，或，
故选：B．
【分析】分情况讨论：当时，根据等边对等角可得，由题意可得，再根据角之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；当时，，根据角之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
24．（2025八上·镇海区期末）在 Rt 中， 为斜边 上一点，将 沿 折叠，使点 落直线 上的 处．若 ，则折痕 　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： 如图， 当点 '在线段AC上时， 过点D作 于点H，
，
， ，
设
解得：
，
，
∴
∴ ；
如图，当点B'在线段CA的延长线上时，过点D作 于点H，
， ，
设
解得：
∴
∴ ；
综上所述，折痕(
故答案为：
【分析】分为当点 '在线段AC上或点B'在线段CA的延长线上两种情况，过点D作 于点H，设然后根据三角形的内角和和折叠的性质得到x的值，然后利用勾股定理解题即可.
25．（2024八上·嘉兴期末）如图，中，，点D是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为　 　．
【答案】或或
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠C=∠B=40°，∠BAC=100°.
∵ △ABD沿AD折叠得到△ADE，
∴∠BAD=∠EAD，∠B=∠E.
当与重叠部分是直角三角形时，有三种情况：
（1）AE⊥BC.
∴∠BAE=∠CAE=50°.
∴∠BAD=∠EAD=25°；
（2）AD⊥BC，
则BD=CD，∠BAD=∠CAD，C和E两点重合.
∴∠BAD=∠CAD=50°；
（3）DE⊥AC，如图：
∵∠E=40°，
∴∠EAF=50°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAF=150°.
∵∠BAD=∠EAD，
∴∠BAD=75°.
故答案为：25°或50°或75°.
【分析】根据折叠得到∠BAD=∠EAD，∠B=∠E，根据重叠部分是直角三角形分为3种情况进行讨论：（1）AE⊥BC；（2）AD⊥BC，（3）DE⊥AC，每种情况结合∠BAD=∠EAD再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可计算出结果.
26．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，点在内，平分，连接，把沿折叠，落在处交于，恰有若，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：延长AD交BC于点G，如图，
∵ AB=AC，AD平分∠BAC，
∴ AG⊥BC，
∵ CE⊥AB，
∴ ∠BFC=90°，
∴ ∠B+∠BCF=90°，
∵ △ADC翻折后得到△DCE，
∴ ∠ACD=∠DCE，
∵ ∠B=∠C，
∴ ∠C+∠BCF=90°，
即2∠DCE+2∠BCF=90°，
∴ ∠DCB=45°，
∴ △DCG为等腰直角三角形，
∴ DG=CG=BC=5，
∴ AG=AD+DG=12，
∴ AC=AB=13，
∵ S△ABC=BC·AG=AB·CF，
∴ CF=，
∴ EF=EC-CF=AC-CF=13-=；
故答案为：.
【分析】延长AD交BC于点G，根据等腰直角三角形的性质可得AG⊥BC，根据翻折的性质可得∠ACD=∠DCE，推出 ∠DCB=45°进而可得△DCG为等腰直角三角形，根据勾股定理可得AB=AC=13，再根据等面积法求得CF的长，根据EF=AC-CF即可求得.
27．（2024八上·萧山月考）如图，三角形纸片中，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，求的长．
【答案】
【知识点】勾股定理
28．（2024八上·襄阳月考）（1）如图1，将一张三角形纸片沿着折叠，使点C落在边上的处，若，则____________，其中是的____________线．
（2）如图2，将一张三角形纸片沿着折叠（点D、E分别在边和上），并使得点A和点重合，若，则____________．
（3）如图3，将长方形纸片沿着和折叠成图示的形状，和重合，的度数是多少？请说明理由．
【答案】（1），角平分；（2）；（3）．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）
1 / 1浙教版数学八年级上学期重难点复习3：轴对称的应用
一、镜面对称
1．（2024八上·乾安期中）如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽路不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则（　　）
A．1 B．0 C． D．
2．（2025八上·汉阳期末）在平面直角坐标系中，将按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第1次关于轴对称，第2次关于轴对称，第3次关于轴对称，……，依次类推．若点，则将经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．（2018-2019学年数学人教版（五四学制）八年级上册20.2 画轴对称图形 同步练习（1））当写有数字的纸条垂直于镜面摆放时(如图所示）：
下面是从镜子中看到的一串数 ，它其实是　 　.
4．镜中像 站在一个平面镜面前，大家总能看到自己的像.如果你站在两个有夹角的平面镜前，通常镜子中能看到不止两个你的像.那么当两个平面镜的夹角为60°时，共可以呈现　 　个你的像.
5．（2022八上·碑林期中）如图，等腰是由三块面向内的镜面组成的，其中，边上靠近点的三等分点处发出一道光线，经镜面两次反射后恰好回到点，若，则光线走过的路径是　 　．
6．（2021八上·寿阳期中）阅读下列材料并完成任务：“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图1，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为镜面，画出甲地的镜像点(垂直河边的等距离点)，然后连接乙地和甲地的镜像点，会跟河边相交一点，这个点就是马饮水的地方，马走的路程最短(两点之间直线距离最短)．
任务：
（1）请你帮海伦在图1的位置完成作图，并标出马饮水的地点P（画出草图即可）；
（2）如图2， ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1，-1)，B(-3，4)，C(3，2)．请你在x轴上找一点Q，使得QB+QC最小（保留作图痕迹）；
（3）应用：
如图3，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm．在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm处的点A处，点A与B的水平距离等干底面直径，求蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离．
二、光的反射
7．（2024八上·江门期中）如图，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子反射时，入射角等于反射角，即，．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八上·镇海区期末）如图，在中，，从点射出的光线经过、反射恰好回到点，根据光的反射性质，有，，连结．若，以下结论正确的是（　　）
①，②，③，④平分．
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
9．（2023八上·端州期中）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出，已知，且，则光线与镜面的夹角　 　.
10．（2024八上·南京月考）如图，一束光线从点射出，照在经过，的镜面上的点，经反射后，反射光线又照到竖立在轴位置的镜面，经轴再反射的光线恰好通过点，则点的坐标为　 　．
11．（2025八上·旺苍期末）我们知道在光的反射现象中，当光照射到平面镜上时反射角等于入射角．现有一束光线经过三块平面镜反射， 光路如图所示， 当时，　 　
12．（2024八上·江苏期末）【阅读材料】
【数学思考】
根据光的反射定律，结合“等角的余角相等”，上图中，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角对应相等．例如：在图1、图2中，设平面镜与平面镜的夹角，从点F射出一条光线，分别在点E，点G发生反射，则有，．
（1）如图1，光线经过2次反射又回到了点F，入射光线与第2次反射光线的夹角为．若，则_______度；
（2）如图2，光线经过2次反射，第2次反射光线为，请探索证明与α的数量关系，并直接写出当α为多少度时，；
（3）如图3，有三块平面镜，入射光线与平面镜的夹角，已知入射光线从平面镜开始反射，经过n（n为正整数，）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数（可用含有m的代数式表示）．
13．（2024八上·巴东期中）在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．
（1）如图，入射光线经过次反射后与反射光线交于点．若，求的度数；
（2）如图，图，若，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线与所在的直线相交于点，，分别写出与之间满足的等量关系是______（直接写出两个结果）．
14．（2024八上·诸暨月考）如图1，六分仪是一种测量天体高度的航海仪器，观测者手持六分仪，可得出观测点的地理坐标．
在图2所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线自动与刻度线保持平行（即），并与A处的镜面所在直线相交于点C，所在直线与水平线相交于点D，，观测角=　 　（用表示）．
小贴士： 如图3，光线经过镜面反射时，反射角等于入射角，所以图2中，
三、台球桌上的轴对称
15．如图为台球桌示意图，已知台球桌边框AB与BC垂直，球杆沿着直线m击打白球后，经过两次撞击后沿着直线n运动，已知∠ADF=46°，则∠GEC的度数为 (　　)
A．47° B．46° C．45° D．44°
16．（2023八上·扎赉特旗月考）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，∠1=∠2．若∠3=25°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入底袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为(　　)
A．65° B．75° C．55° D．85°
17．（2024八上·盐都月考）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是　 　.
18．（2024八上·石景山期末）台球技艺中包含了许多物理、数学的知识．图1是台球桌面的一部分，由于障碍球E的阻挡，击球者想通过正面击打主球M，使其撞击台球桌边框（仅碰撞一次），经过一次反弹后正面撞击到目标球F．球的反弹路径类似于光的反射光路．台球桌面抽象为长方形，球抽象为点，如图2，请在边上作出撞击点P，使得，并用数学知识进行证明．
锦囊：某同学阅读理解题意后，先画了一个草图（如图3）进行分析，发现“要保证，只需保证即可”．
19．（2022八上·海淀期中）操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置．
（1）如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________；
（2）在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．）
四、折叠问题
20．（2025八上·台州期末）如图，将沿折叠得到，再将沿折叠得到，连接，交于点，连接，与相交于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
21．（2025八上·天元期末）如图，将面积为16的正方形纸片沿着折叠，使得点A落在点G处，再将沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，过点E作的平行线与交于点H，则EH的长为（　　）．
A．3 B． C． D．
22．（2024八上·上城期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，首先沿着CD折叠，点B落在点E处，然后沿着FG折叠，使得点A与点E重合，则下列说法中（　　）
①EF⊥CE；②若BC＝3，AC＝4，那么．
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
23．（2024八上·白云期中）如图，中，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
24．（2025八上·镇海区期末）在 Rt 中， 为斜边 上一点，将 沿 折叠，使点 落直线 上的 处．若 ，则折痕 　 　．
25．（2024八上·嘉兴期末）如图，中，，点D是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为　 　．
26．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，点在内，平分，连接，把沿折叠，落在处交于，恰有若，，则　 　．
27．（2024八上·萧山月考）如图，三角形纸片中，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，求的长．
28．（2024八上·襄阳月考）（1）如图1，将一张三角形纸片沿着折叠，使点C落在边上的处，若，则____________，其中是的____________线．
（2）如图2，将一张三角形纸片沿着折叠（点D、E分别在边和上），并使得点A和点重合，若，则____________．
（3）如图3，将长方形纸片沿着和折叠成图示的形状，和重合，的度数是多少？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；镜面对称；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点与关于轴对称
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据平面镜成像原理，点与关于轴对称，然后根据关于y轴对称点横坐标互为相反数，纵坐标相同可求出x、y的值，再将x、y的值代入待求式子按有理数加减乘除混合运算的运算顺序计算即可求解．
2．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：点第一次关于轴对称后在第四象限，
点第二次关于轴对称后在第三象限，
点第三次关于轴对称后在第二象限，
点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置，
所以，每四次轴对称变换为一个循环组依次循环，
余1，
经过第次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为．
故选：B．
【分析】观察图形可知每四次轴对称变换为一个循环组依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限即可解答．
3．【答案】526778022
【知识点】镜面对称
【解析】【解答】解：利用轴对称性质可知526778022
【分析】根据题意这串数字与镜中的数字关于镜面成轴对称的，根据轴对称的性质，即可得出答案。
4．【答案】5
【知识点】轴对称的性质；镜面对称
【解析】【解答】解：如图所示
故答案为：5.
【分析】把360°按60°等分，可以分成6份，你可以看到6个像点发光，1个点是光源，其余5个是像，也可以用公式，设n为成像数，a为两个平面的夹角，则n=（360°/a）-1.
5．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，，分别是点关于直线和轴的对称点，连接AM，
，D为边上靠近点的三等分点，
可得，，，，，
，
设，分别是点关于直线和轴的对称点，
则，，
由光的反射原理可知，、、、四点共线，，，
光线走过的路径，
，
即光线走过的路径是．
故答案为：．
【分析】建立如图所示的直角坐标系，，分别是点关于直线和轴的对称点，连接AM，先求出M、N的坐标，由光的反射原理可知、、、四点共线，即得，，即得光线走过的路径，利用勾股定理求出即可.
6．【答案】（1）解：如图，马饮水处如下图所示
（2）如图，点Q如图所示
（3）如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
，
答：蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离是20cm．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据题意，通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L对称点，对称点与另一个对称点的连线与河边先的交点即所作的点；
（2）找出点C的对称点C'，连接BC'，与x轴交点即点Q；
（3） 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离。
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意得，，
∵，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理及反射定律即可计算出∠4的度数.
8．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：设，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∴，，
假设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，此时与重合，不符合题意，
故②错误；
如图，作交延长线于，过作交于，交延长线于，则，，
∵，，，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
故④正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵中，，
∴，解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确，
综上所述，正确的有①③④．
故选：B．
【分析】设，，利用三角形内角和求出∠DEB和∠FDE即可判断结论①；根据反推回去，发现矛盾的地方，即可判断结论②；如图，作交延长线于，过作交于，交延长线于，则，，先证明，得到
，，，再证明，得到，即可判断平分，得到④正确；证明，得到，设，则，，利用勾股定理和面积依次求出，，，，再在中，利用勾股定理求出，最后计算，，即可判断③正确．
9．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
10．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；坐标与图形变化﹣对称
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图，由题意，得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据反射定律：入射角等于反射角，可知：，再根据三角形的内角和定理，求出的度数，根据平角的定义求出的度数，根据四边形的内角和为360°，求出的度数即可．
12．【答案】（1）40
（2），
（3）或
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；平行线的应用-求角度
13．【答案】（1）
（2），．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质
14．【答案】2
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵是的外角，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
【分析】先利用平行线的性质证得，再利用已知条件得到，然后根据三角形外角的性质得出，最后根据三角形内角和定理求解．
15．【答案】D
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：由题意得∠BDE=∠ADF=46°，∠B=90°，
∴ ∠BED=90°-∠BEF=44°，
∴∠GEC=∠BED=44°.
故答案为：D
【分析】根据入射角等于反射角可得出∠BDE=∠ADF=46°，进而根据直角三角形两锐角互余可得出∠BED=44°，进而得出∠GEC=44°.
16．【答案】A
【知识点】轴对称的性质
17．【答案】2
【知识点】生活中的轴对称现象
18．【答案】解：如图，作点M关于的对称点，连接交于点P，点P即为所求；
证明：点与点M关于对称，
垂直平分，
，，
，
，
，即．
【知识点】生活中的轴对称现象；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】作点M关于的对称点，连接交于点P，根据垂直平分，可得，，根据等腰三角形三线合一可得，结合，即可求出答案.
19．【答案】（1）解：如图，所以小球会击中的点是，
故答案为：

（2）解：如图所示，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质画出小球从起始点处出发的路径，即可求解；
（2）根据轴对称的性质（对应点连线与对称轴垂直），找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为
（1）解：如图，所以小球会击中的点是，
故答案为：
（2）解：如图所示，找到关于的对称点，连接分别交于点，连接，则路径为
20．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质得，
∴，
由折叠的性质得，，
∵，
∴
，
故答案为：C．
【分析】由折叠得，得出，利用外角性质求出结论．
21．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
22．【答案】A
【知识点】垂线的概念；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—面积关系
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A=90°.
∵△CBD沿CD折叠得到△CED，
∴∠CED=∠B，ED=BD，CE=CB.
∵△FAG沿FG折叠得到△FEG，
∴∠A=∠FEG，AG=GE，AF=EF.
∴∠CED+∠FEG=90°，
∴∠CEF=90°，
∴EF⊥CE， ①正确；
若 BC＝3，AC＝4， 则AB=5，
∵CD⊥AB，
∴.
∴，
∴.
设AF=x，在Rt△CFE中，CF2=EF2+CE2，
∴(4－x)2=x2+32.
解得.
即AF=
∴FG=， ②正确.
故答案为：A.
【分析】（1）由∠ACB=90°，得到∠B+∠A=90°，由两个折叠得到∠CED=∠B，∠A=∠FEG，于是可得∠CED+∠FEG=90°，结论得证；
（2）根据BC＝3，AC＝4得到AB和CD的值，从而得到BD和AG的值，.设AF=x，则CF=4-x，可在△EFG中利用勾股定理求出x的值。进而得到GF，结论得证.
23．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】解：当时，
，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，
则，
∴．
当时，点与重合，不符合题意，
综上所述，或，
故选：B．
【分析】分情况讨论：当时，根据等边对等角可得，由题意可得，再根据角之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；当时，，根据角之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
24．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： 如图， 当点 '在线段AC上时， 过点D作 于点H，
，
， ，
设
解得：
，
，
∴
∴ ；
如图，当点B'在线段CA的延长线上时，过点D作 于点H，
， ，
设
解得：
∴
∴ ；
综上所述，折痕(
故答案为：
【分析】分为当点 '在线段AC上或点B'在线段CA的延长线上两种情况，过点D作 于点H，设然后根据三角形的内角和和折叠的性质得到x的值，然后利用勾股定理解题即可.
25．【答案】或或
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠C=∠B=40°，∠BAC=100°.
∵ △ABD沿AD折叠得到△ADE，
∴∠BAD=∠EAD，∠B=∠E.
当与重叠部分是直角三角形时，有三种情况：
（1）AE⊥BC.
∴∠BAE=∠CAE=50°.
∴∠BAD=∠EAD=25°；
（2）AD⊥BC，
则BD=CD，∠BAD=∠CAD，C和E两点重合.
∴∠BAD=∠CAD=50°；
（3）DE⊥AC，如图：
∵∠E=40°，
∴∠EAF=50°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAF=150°.
∵∠BAD=∠EAD，
∴∠BAD=75°.
故答案为：25°或50°或75°.
【分析】根据折叠得到∠BAD=∠EAD，∠B=∠E，根据重叠部分是直角三角形分为3种情况进行讨论：（1）AE⊥BC；（2）AD⊥BC，（3）DE⊥AC，每种情况结合∠BAD=∠EAD再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可计算出结果.
26．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：延长AD交BC于点G，如图，
∵ AB=AC，AD平分∠BAC，
∴ AG⊥BC，
∵ CE⊥AB，
∴ ∠BFC=90°，
∴ ∠B+∠BCF=90°，
∵ △ADC翻折后得到△DCE，
∴ ∠ACD=∠DCE，
∵ ∠B=∠C，
∴ ∠C+∠BCF=90°，
即2∠DCE+2∠BCF=90°，
∴ ∠DCB=45°，
∴ △DCG为等腰直角三角形，
∴ DG=CG=BC=5，
∴ AG=AD+DG=12，
∴ AC=AB=13，
∵ S△ABC=BC·AG=AB·CF，
∴ CF=，
∴ EF=EC-CF=AC-CF=13-=；
故答案为：.
【分析】延长AD交BC于点G，根据等腰直角三角形的性质可得AG⊥BC，根据翻折的性质可得∠ACD=∠DCE，推出 ∠DCB=45°进而可得△DCG为等腰直角三角形，根据勾股定理可得AB=AC=13，再根据等面积法求得CF的长，根据EF=AC-CF即可求得.
27．【答案】
【知识点】勾股定理
28．【答案】（1），角平分；（2）；（3）．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）
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