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浙教版数学八年级上学期重难点复习4：等腰三角形的分类讨论
一、对边或角的讨论
1．（2020八上·长春月考）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰为3，底边为7时，由于3+3＜7，不能构成三角形，故此种情况须舍去；
当腰为7，底边为3时，能构成三角形，此时三角形的周长=7+7+3=17．
故答案为：B．
【分析】分腰为3和腰为7两种情况并结合三角形的三边关系解答即可．
2．（2023八上·凤凰月考）定义；等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】等腰三角形的概念
3．（2024八上·东台期中）在等腰三角形ABC中，若∠A＝70°，则∠B的度数是（　　）
A．40° B．55°
C．70° D．40°或55°或70°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当∠A是顶角时，，
当∠C是顶角时，∠A=∠B=70°，
当∠B是顶角时，，
故∠B的度数是40°或55°或70°，
故答案为：D．
【分析】由于所给∠A是锐角，故根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和定理，分①当∠A是顶角时，② 当∠C是顶角时，③当∠B是顶角时三种情况求解即可.
4．已知一等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形顶角的度数为　 　
【答案】或
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由已知等腰三角形的一个内角为80°，可知：有两种情况：
①如果这个角是顶角，那么可知： 这个等腰三角形顶角的度数为 80°；
②如果这个角是底角时，根据等腰三角形的性质：等腰三角形，两底角相等，∴另一个底角也是80°。由三角形内角和为180°可知：顶角是20°.
综上所述： 一等腰三角形的一个内角为80° ，这个等腰三角形顶角的度数为：80°或20°.
【分析】由于已知没有说这个80°的内角是这个等腰三角形的底角还是顶角，所以要分两种情况讨论：这个角是底角时或这个角是顶角时。再结合三角形内角和是180度，即可得到答案.
5．若一个等腰三角形的三边长分别为x，2x，5x-3，则这个等腰三角形的周长为　 　.
【答案】5
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵一个等腰三角形的三边长分别为x，2x，5x-3，
∴x=5x-3或2x=5x-3，
当x=5x-3时，有，
∴，
∵，
∴此时三边不构成三角形；
当2x=5x-3时，有x=1，
∴2x=5x-3=2，
∵1+2=3>2，
∴此时三边构成三角形；
综上，这个等腰三角形的周长为2+2+1=5，
故答案为：5.
【分析】由于未明确哪条边作为等腰三角形的腰和底边，则需分类讨论，明显x≠2x，于是分两种情况讨论：x=5x-3或2x=5x-3，然后解方程求出x的值，得每条边的长，最后利用三角形三边关系即可求解.
6．（2023八上·海曙期中）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
（1）理解概念：判断下列说法是否正确（对的打√，错的打×）
①全等三角形是“等角三角形”（　　）
②如图，在中，，，图中共有2对“等角三角形”（　　）
③如图，在中，，，无论为何值，都不可能是的“等角分割线”（　　）
（2）概念应用：如图，在中，为角平分线，，求证：为的等角分割线．
（3）在中，，是的等角分割线，直接写出的度数．
【答案】（1）①√；②×；③√
（2）解：，，，
∵平分，
，
，
∴是等腰三角形，
，，，
为的“等角分割线”；
（3）或或或
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）①根据全等三角形的性质可知三角形对应角相等，则有全等三角形是“等角三角形”成立；
②根据题意可以写出三对“等角三角形”，分别为与，与，与，答案错误；
③假设与成“等角三角形”，则要为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，则，与矛盾；
同理如果与成“等角三角形”，也有上述结论，
故无论为何值，都不可能是的“等角分割线”正确．
（3）①当是等腰三角形，时，，
∴；
②当是等腰三角形，时，，
∴，
∴；
③当是等腰三角形，时，，
∴；
④当是等腰三角形，时，，
设，则，
则，
∵，解得，
∴，
∴；
故的度数为或或或．
【分析】（1）①根据全等三角形的性质即可判断；②根据题意可以写出三对等角三角形可判断②错误；③如果与成“等角三角形”，则要为等腰三角形，根据等角三角形的定义即可判断；
（2）根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得，则有，然后根据等角三角形的定义即可证明；
（3）分类讨论：当是等腰三角形，和，当是等腰三角形，和，等腰三角形的性质、等角分割线定义和三角形外角和求得；
（1）解：①根据全等三角形的性质可知三角形对应角相等，则有全等三角形是“等角三角形”成立；
②根据题意可以写出三对“等角三角形”，分别为与，与，与，答案错误；
③假设与成“等角三角形”，则要为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，则，与矛盾；
同理如果与成“等角三角形”，也有上述结论，
故无论为何值，都不可能是的“等角分割线”正确．
（2），，
，
∵平分，
，
，
∴是等腰三角形，
，，，
为的“等角分割线”；
（3）解：①当是等腰三角形，时，，
∴；
②当是等腰三角形，时，，
∴，
∴；
③当是等腰三角形，时，，
∴；
④当是等腰三角形，时，，
设，则，
则，
∵，解得，
∴，
∴；
故的度数为或或或．
7．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 在等腰三角形ABC 中，∠A=110°，求∠B 的度数.(答案：35°)
例2 在等腰三角形ABC 中，∠A=40°，求∠B 的度数.(答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式 在等腰三角形ABC 中，∠A=80°，求∠B 的度数.
（1）请你解答以上的变式题.
（2）解(1)后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中，设 ，当∠B 有三个不同的度数时，请你探索x 的取值范围.
【答案】（1）若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝35°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×70°＝40°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝70°；
∴∠B＝35°或40°或70°
（2）解：①当 时，∠A 只能为顶角，∴∠B 的度数只有一个.
②当 时，若∠A 为顶角，则 若∠A 为底角，则. 或∠B=(180-2x)°，当 且 且180-2x≠x，即x≠60时，∠B 有三个不同的度数.
综上，当0【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）本题问 在等腰三角形ABC 中，∠A=80°，求∠B 的度数 ，由于∠A和∠B的位置不确定，所以需进行分类讨论，在等腰三角形中，角可分为顶角和底角，所以可分为：①∠A为顶角，则∠B必为底角；②∠为底角，则∠B可为顶角或底角，在此分类下需进行再次分类讨论即可；
（2）通过（1）问的三个问题，我们发现，∠B的度数的个数∠A度数的影响，例1中，∠A为钝角，∠B的度数只有一种可能，例2中，∠A为锐角，∠B的度数有三种可能，变式里，∠B的度数同样有三种可能，所以在分类讨论时，可把∠A分为钝角和锐角进行讨论.
二、遇中线，高或垂直平分线的讨论
8．（2023八上·海曙期中）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成两部分，已知这个等腰三角形的周长为，则这个等腰三角形的底边为（　　）．
A．8 B．20 C．40 D．8或40
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；二元一次方程组的应用-几何问题；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：设等腰三角形的腰长xcm，底边长分别为ycm，
由题意得：
或，
解得或，
当时，该等腰三角形的三边长为，，，
∵，
∴不能组成三角形，故舍去；
当时，该等腰三角形的三边长为，，，能构成三角形，
∴该等腰三角形的底边为，
故答案为：A．
【分析】设等腰三角形的腰长和底边长分别为、，根据题意分两种情况，分别列关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，然后由三角形三边关系定理“三角形任意两边之和大于第三边”检验即可判断求解．
9．（2024八上·吴江月考）如图，是等边的中线，，是直线上一动点，以为边作等边三角形，连接，下列说法正确的是（　　）
A．的最小值是2 B．的最大值是2
C．的最小值是4 D．的最大值是4
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
10．（2024八上·昌乐期末）在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，的垂直平分线交于点G，交于点F．当是等腰三角形时，与的不可能的数量关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
11．（2024八上·嘉善月考）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；二元一次方程组的应用-几何问题；等腰三角形的概念
12．（2024八上·重庆市月考）在中，，的垂直平分线与所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的底角为　 　．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
13．（2024八上·长乐期末）等腰三角形有一内角的度数为40°，一腰的垂直平分线与另一腰所在直线相交所成的锐角的度数为　 　．
【答案】50°或
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
14．（2024八上·广州期中）已知等腰中．，两腰的垂直平分线交于点，已知，则等腰三角形的顶角为　 　．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角
15．（2025八上·上海市期末）如图，在中，，点P为上一点，将线段绕点P顺时针旋转得线段，点Q在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为 　 　．
【答案】2或3或5
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
16．（2024八上·北京市期中）利用垂直平分线将三角形分割出等腰三角形：
（1）如图1所示，中，，的垂直平分线交于点，连接，那么图中出现的等腰三角形是 ；
（2）如图2所示，中，，的垂直平分线交于点，连接，那么图中出现的等腰三角形是 ；
（3）请利用上述方法，将图3中的直角三角形分割成三个等腰三角形．
【答案】（1）
（2），
（3）解：如图，作的垂直平分线交于点，连接，作的垂直平分线交于点，连接，
∴，，
∴，都是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴图中出现的等腰三角形是，和．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】（1）解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴是等腰三角形，
∴图中出现的等腰三角形是，
故答案为：；
（2）解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴图中出现的等腰三角形是，，
故答案为：，；
【分析】（1）根据垂直平分线性质可得，再根据等腰直角三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质可得，再根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，，再根据角之间的关系可得，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（3）作的垂直平分线交于点，连接，作的垂直平分线交于点，连接，根据垂直平分线性质可得，，再根据等腰三角形判定定理可得，都是等腰三角形，，再根据角之间的关系可得，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（1）解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴是等腰三角形，
∴图中出现的等腰三角形是，
故答案为：；
（2）解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴图中出现的等腰三角形是，，
故答案为：，；
（3）解：如图，作的垂直平分线交于点，连接，作的垂直平分线交于点，连接，
∴，，
∴，都是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴图中出现的等腰三角形是，和．
17．（2024八上·上城期中）定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”．
（1）判断命题真假：等边三角形存在“和谐分割线”是______命题；（填“真”或“假”）
（2）如图2，在Rt△ABC中，，试探索Rt△ABC是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在中，，若线段 是的“和谐分割线”，且 是等腰三角形，求出所有符合条件的的度数．
【答案】（1）假
（2）解：存在“和谐分割线”，理由如下：作的平分线交于点，如图
，，
，
，
在中，，
的三个内角与的三个内角相等，
，
是等腰三角形，
是“和谐分割线”；
过点作交于，如图，
，
，，
，
．
（3）解：
①如图所示：
当时，
，
根据“和谐分割线”的概念可知，，
，
，
，
解得；
②如图所示：
当时，
，
根据“和谐分割线”的概念可知，，
，
，
解得；
综上所述：的值为或．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】
（1）
解：等边三角形过一个顶点的线段不能分成一个等边三角形和一个等腰三角形，等边三角形存在“和谐分割线”是假命题．
故答案为：假．
【分析】
（1）由“和谐分割线”的概念知等边三角形中不可能存在“和谐分割线”；
（2）由直角三角形两锐角互余可得，则作的平分线交于点，则，即为“和谐分割线”，再在中应用特殊角的性质结合勾股定理即可求出的长；
（3）由“和谐分割线”的概念可分两种情况讨论：①当时，则，又，则，再由三角形的内角和定理可得，再求解即可；
②当时，则，又，则由三角形的外角性质知，再由三角形内角和定理知，再求解即可．
（1）解：等边三角形过一个顶点的线段不能分成一个等边三角形和一个等腰三角形，
等边三角形存在“和谐分割线”是假命题．
故答案为：假．
（2）解：存在“和谐分割线”，理由如下：
作的平分线交于点，如图
，，
，
，
在中，，
的三个内角与的三个内角相等，
，
是等腰三角形，
是“和谐分割线”；
过点作交于，如图，
，
，，
，
．
（3）解：①当时，
，
根据“和谐分割线”的概念可知，，
，
，
，
解得；
②当时，
，
根据“和谐分割线”的概念可知，，
，
，
解得；
综上所述：的值为或．
三、遇动点和动线段需要讨论
18．（2024八上·乐清月考）如图，在中，，，动点P从点C出发，以的速度沿折线移动到B，当点P在上运动时，则点P出发　 　秒时，为等腰三角形；当点P在上运动时，则点P出发　 　秒时，为等腰三角形．
【答案】6；12或13或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
19．（2024八上·余杭期中）在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点在线段AB上滑动，PM始终经过点，斜边PN交AC于点.在点滑动过程中，为等腰三角形时，则点与点的距离BP为　 　.
【答案】0或或 （不化简也对）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；分类讨论
【解析】【解答】解：在点P滑动过程中，为等腰三角形，共三种情况，
①当时，则
∴
过点P作于D，如图，
则为等腰直角三角形，
∴
∵
∴
在中，
∴
∵
∴
∴
∴
②当时，则
∴如图，
在中，
∴
∴
∴
∴
③当时，则
此时点B与点P重合，点D与点A重合，过点C作于E，如图，
∴
综上所述，点与点的距离BP为：0或或
故答案为：0或或.
【分析】在点P滑动过程中，为等腰三角形，需分三种情况讨论，①当时，则进而得到过点P作于D，则为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理求出BP即可；②当时，则进而得到然后在中根据含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理求出BP即可；③当时，则此时点B与点P重合，点D与点A重合，过点C作于E，由此可得到BP的长度，综上所述即可求解.
20．如图，四边形ABCD是长方形，AB=x，BC=4，点P为直线AD上的一点．若满足△BCP为等腰三角形的点P有且仅有3个，则x=　 　.
【答案】4或
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】①如图，当AB=BC时，满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，
△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰三角形(P3B=P3C).
则AB=BC=4.
②当AB则△P2BC是等边三角形，可知P2是AD的中点，BC=BP1=BP2=CP2=CP3，
在Rt△ABP2中，∵BP2=4，∠ABP2=30°，
∴AP2=2，
∴AB=.
③当AB>BC时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形.
故答案为4或.
【分析】分三种情况：AB=AD，AB当AB=AD时，AB=BC=4；
当AB当AB>BC时，不符合题意.
21．（2022八上·杭州期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度向运动，过点作交所在的直线于点，连结，设点运动时间为秒．当是等腰三角形时，则　 　秒．
【答案】或或
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解： 在中由勾股定理可得：
①当AB=BF=10时，
因为BC=6，
所以
在中由勾股定理可得：
又因为
所以
又在中：
所以
②当AF=BF时，
因为
所以
所以
③当时，
因为
所以
又
所以
由勾股定理得：
所以
所以综上：t的值为或或.
故答案为：或或.
【分析】分AB=BF=10、AF=BF、三种情况，根据等腰三角形的性质，运用勾股定理及等面积法进行计算即可求解.
22．（2024八上·义乌月考）如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒．
（1）当t＝3秒时，BP＝ cm；
（2）当t为何值时，连结CP，DP，△CDP为等腰三角形；
（3）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等．
【答案】（1）2
（2）①当P在AB上时，△PCD为等腰三角形，
∴ ，
在矩形ABCD中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
②当P在BC上时，△DCP为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
③当P在AD上时，△DCP为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述或或时，△CDP为等腰三角形．
（3）根据题意，如图，连接CQ，则AB＝CD＝4，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝，DQ＝5，
∴要使一个三角形与△DCQ全等，则另一条直角边必须等于DQ，
①当点P运动到时，C＝DQ＝5，此时△DCQ≌△CD，
∴点P的路程为：AB＋B＝4＋1＝5，
∴t＝5÷2＝2.5s，
②当点P运动到时，B＝DQ＝5，此时△CDQ≌△AB，
∴点P的路程为：AB＋B＝4＋5＝9，
∴t＝9÷2＝4.5s，
③当点P运动到时，A＝DQ＝5，此时△CDQ≌△AB，
∴点P的路程为：AB＋BC＋CD＋D＝4＋6＋4＋1＝15，
∴t＝15÷2＝7.5s，
④当点P运动到时，即P与Q重合时，D＝DQ＝5，此时△CDQ≌△CD，
∴点P的路程为：AB＋BC＋CD＋D＝4＋6＋4＋5＝19，
∴t＝19÷2＝9.5s，
综上所述，时间的值可以是：t＝2.5s，4.5s，7.5s或9.5s．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）当t＝3秒时，点P走过的路程为：2×3＝6，
∵AB＝4，
∴点P运动到线段BC上，
∴BP＝6 4＝2cm，
故答案是：2；
【分析】（1）根据题意知点P的速度为2cm/秒，当t＝3秒时，运动路程为6cm，此时点P运动到线段BC上，然后得到BP的长度；
（2）根据题意可知点P分别在AB、BC、 CD和AD 上运动，要使△CDP为等腰三角形，分情况讨论：①当P在CD上时，不存在三角形；②当点P在AB上时，PC=PD；③当P在BC上时，CD=CP；④当P在AD上时，CD=DP，分别计算点P的路径长即可计算出时间．
（3）根据题意， 连接CQ ，要使一个三角形与△DCQ全等， 则另一条直角边必须等于DQ ，然后确定则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即可计算出时间．
23．（2022八上·兰溪期中）如图，在直角三角形中，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． 分别从同时出发，当一个动点到达终点则另一动点也随之停止运动，
（1）求为何值时，为等腰三角形？
（2）是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？
（3）点在运动的过程中，是否存在某时刻， 直线把的周长分为两部分？若存在，求出，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2；（2）存在，；（3）存在，
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的概念
四、构造等腰三角形需要讨论
24．（2024八上·南湖月考）某项目化学习小组研究“等腰三角形”课题，将三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中一根木棒的长为，请在下列四个选项中选出另一边的长，使其能构成两种不同的等腰三角形（　　）
A．3 B．10 C． D．11
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
25．（2023八上·齐齐哈尔期中）如图，是等腰三角形，在所在平面内有一点，且使得，，均为等腰三角形，则符合条件的点共有（　　）
A．1个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
26．已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠CAB=108°，D是直线BC上一点(不与点B，C重合)，连结AD，若△ABD是等腰三角形，则∠DAC=　 　．
【答案】36°或126°或72°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
第一种情况，当AB=BD1时，∵∠CAB=108°，∴ ∠ABC=36°，
∵ AB=BD1，∴ ∠D1AB=∠D1=18°，∴ ∠D1AC=∠D1AB+∠CAB=126°；
第二种情况，当AB=BD2时，∵∠CAB=108°，∴ ∠ABC=36°，
∵AB=BD2，∴ ∠BAD2=72°，∴ ∠D2AC=∠CAB-∠BAD2=36°；
第三种情况，当AD3=BD3时，∵∠CAB=108°，∴ ∠ABC=36°，
∵AC=BD3，∴ ∠BAD3=36°，∴∠D3AC=∠CAB-∠BAD3=72°；
综上∠DAC=36°或126°或72°.
故答案为：36°或126°或72°.
【分析】分三种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质分别计算即可求出.
27．（2024八上·鼓楼期中）如图，中，，已知平面内有一点，使得与均为等腰三角形，则所有满足条件的点有　 　个．
【答案】
【知识点】等腰三角形的概念
28．如图所示的直角三角形ABD是某等腰三角形对称轴的一侧，请补全该等腰三角形.(只需画出图形)
【答案】解：如图，即为所求.
【知识点】等腰三角形的对称性；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】分两种情况进行讨论：当AD或BD所在直线作为等腰三角形对称轴时，根据等腰三角形的性质直接画出图形即可.
29．（2024八上·江北期中）如图是由25个边长为1的小正方形组成的5×5网格，请分别在3个网格图中画出3个互不全等的等腰三角形，要求：等腰三角形顶点在格点上，且腰长为5．
【答案】解：
【知识点】等腰三角形的概念
【解析】【分析】根据等腰三角形的特点，等腰三角形的腰是相等的，这样可以画出腰为5等腰直角三角形，还可以画出角度完全不同的两个腰为5的等腰三角形.
30．（2023八上·婺城月考）（1）如图1，线段的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个．
（2）如图1，如果与直线l所成的锐角为60°，以为一边画等腰三角形，并使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个．
想一想：如图2，中， ，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画　 　条．
算一算：如图3，在中，，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数．
【答案】（1）4；（2）2；想一想：5；算一算：5°或20°或80°或140°或42.5°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等腰三角形的概念
31．（2024八上·南山开学考）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线．
（1）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线．
（2）如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并直接写出每种分割之后两个等腰三角形的顶角度数．
（3）在中，为的等腰分割线，且，，请直接写出的度数．
【答案】（1）证明：是的垂直平分线，
，
，是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一条等腰分割线.
（2）第一种：等腰的顶角，等腰的顶角；第二种：等腰的顶角，等腰的顶角；等腰分割见解析
（3）或或
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；分类讨论
【解析】【解答】解：（2）解：如图1，
第一种：等腰的顶角，等腰的顶角；
第二种：等腰的顶角，等腰的顶角．
（3）解：如图2，
当，时，，
如图3，
当，时，，
如图4，
当，时，，
综上所述：或或。
【分析】（1）根据垂直平分线的性质，可得AE=CE，然后再根据是等腰三角形，易证，，进而即可求解。
（2）根据题意，可分为两种情况：当AC是腰时，然后再根据等腰三角形的性质和等腰分割的定义，可得AD=AC，AD=BD；当AC是底时，然后再根据等腰三角形的性质和等腰分割的定义，可得，AD=CD，AB=BD，据此即可画出图形；
（3）根据等腰分割的定义，可将情况分为：AD=AC，AD=CD及AC=CD三种情形，然后再根据等腰三角形的性质，即可求解。
（1）证明：是的垂直平分线，
，
，是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一条等腰分割线；
（2）解：如图1，
第一种：等腰的顶角，等腰的顶角；
第二种：等腰的顶角，等腰的顶角．
（3）解：如图2，
当，时，，
如图3，
当，时，，
如图4，
当，时，，
综上所述：或或．
32．（2024八上·北京市期中）为等边三角形，射线经过点A，，画点B关于射线的对称点D，连接、交直线于点E．
（1）如图，当时
①依题意补全图形；
②用等式表示线段、、的数量关系，并证明；
（2）若为等腰三角形，直接写出的度数．
【答案】（1）解：①过点作的垂线，交于点，截取，则点是点关于射线的对称点，连接、交直线于点E，如图：
②，证明如下：
在上截取，如图：
∵是等边三角形，
∴
由对称可知：
，
∵，
∴，，
∵
∴，
由对称可知：，，
∴，
∴是等边三角形，
∴， ，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）的值为或．
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）解：当是等腰三角形，①当时，如图：
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
②当时，如图：
∴垂直平分，
∵垂直平分，
，
③当时，如图：
∴垂直平分，
∴，，三点在同一条直线上，
(不合题意，舍去)，
综上所述，是等腰三角形，的值为或．
【分析】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）①根据垂直平分线的性质可得：过点作的垂线，交于点，截取，连接、交直线于点E；
②在上截取，则是等边三角形，利用等边三角形的性质可得：利用对称的性质可得：利用角的运算可推出，再根据等边三角形的性质可推出，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，根据，利用线段的运算可证明；
（2）分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等边三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质，再结合三点共线的性质可求出角的度数．
（1）解：①过点作的垂线，交于点，截取，则点是点关于射线的对称点，连接、交直线于点E，如图：
②，证明如下：
在上截取，如图：
∵是等边三角形，
∴
由对称可知：
，
∵，
∴，，
∵
∴，
由对称可知：，，
∴，
∴是等边三角形，
∴， ，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：当是等腰三角形，
①当时，如图：
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
②当时，如图：
∴垂直平分，
∵垂直平分，
，
③当时，如图：
∴垂直平分，
∴，，三点在同一条直线上，
(不合题意，舍去)，
综上所述，是等腰三角形，的值为或．
33．如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为．
（1）当点P在边上，且不与点、重合时，求证：；
（2）直接写出的长（用含t的代数式表示）；
（3）在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性）
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
根据点的运动过程可知，，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：根据题意可知，点从点到点所需时间为，
当时，，
当时，，
答：当时，的长为；当时，的长为
（3）解：当时，如图，
有5个等腰三角形：、、、、，
当时，如图，有4个等腰三角形：、、、，
答：当时，等腰三角形有5个；当时，等腰三角形有4个
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质证明△APE两个角是60°，然后根据SAS证明△BPE≌△ECQ；
（2）先表示AP＝AE＝t，当E在AC上时，EC＝2 t，当E在射线AC上时，EC＝t 2；
（3）当t＝1和t＝4时，图中等腰三角形的个数大于3，根据图形写出等腰三角形即可．
1 / 1浙教版数学八年级上学期重难点复习4：等腰三角形的分类讨论
一、对边或角的讨论
1．（2020八上·长春月考）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
2．（2023八上·凤凰月考）定义；等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（　　）
A． B． C．或 D．或
3．（2024八上·东台期中）在等腰三角形ABC中，若∠A＝70°，则∠B的度数是（　　）
A．40° B．55°
C．70° D．40°或55°或70°
4．已知一等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形顶角的度数为　 　
5．若一个等腰三角形的三边长分别为x，2x，5x-3，则这个等腰三角形的周长为　 　.
6．（2023八上·海曙期中）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
（1）理解概念：判断下列说法是否正确（对的打√，错的打×）
①全等三角形是“等角三角形”（　　）
②如图，在中，，，图中共有2对“等角三角形”（　　）
③如图，在中，，，无论为何值，都不可能是的“等角分割线”（　　）
（2）概念应用：如图，在中，为角平分线，，求证：为的等角分割线．
（3）在中，，是的等角分割线，直接写出的度数．
7．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 在等腰三角形ABC 中，∠A=110°，求∠B 的度数.(答案：35°)
例2 在等腰三角形ABC 中，∠A=40°，求∠B 的度数.(答案：40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式 在等腰三角形ABC 中，∠A=80°，求∠B 的度数.
（1）请你解答以上的变式题.
（2）解(1)后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中，设 ，当∠B 有三个不同的度数时，请你探索x 的取值范围.
二、遇中线，高或垂直平分线的讨论
8．（2023八上·海曙期中）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成两部分，已知这个等腰三角形的周长为，则这个等腰三角形的底边为（　　）．
A．8 B．20 C．40 D．8或40
9．（2024八上·吴江月考）如图，是等边的中线，，是直线上一动点，以为边作等边三角形，连接，下列说法正确的是（　　）
A．的最小值是2 B．的最大值是2
C．的最小值是4 D．的最大值是4
10．（2024八上·昌乐期末）在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，的垂直平分线交于点G，交于点F．当是等腰三角形时，与的不可能的数量关系是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024八上·嘉善月考）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是．
12．（2024八上·重庆市月考）在中，，的垂直平分线与所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的底角为　 　．
13．（2024八上·长乐期末）等腰三角形有一内角的度数为40°，一腰的垂直平分线与另一腰所在直线相交所成的锐角的度数为　 　．
14．（2024八上·广州期中）已知等腰中．，两腰的垂直平分线交于点，已知，则等腰三角形的顶角为　 　．
15．（2025八上·上海市期末）如图，在中，，点P为上一点，将线段绕点P顺时针旋转得线段，点Q在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为 　 　．
16．（2024八上·北京市期中）利用垂直平分线将三角形分割出等腰三角形：
（1）如图1所示，中，，的垂直平分线交于点，连接，那么图中出现的等腰三角形是 ；
（2）如图2所示，中，，的垂直平分线交于点，连接，那么图中出现的等腰三角形是 ；
（3）请利用上述方法，将图3中的直角三角形分割成三个等腰三角形．
17．（2024八上·上城期中）定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”．
（1）判断命题真假：等边三角形存在“和谐分割线”是______命题；（填“真”或“假”）
（2）如图2，在Rt△ABC中，，试探索Rt△ABC是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在中，，若线段 是的“和谐分割线”，且 是等腰三角形，求出所有符合条件的的度数．
三、遇动点和动线段需要讨论
18．（2024八上·乐清月考）如图，在中，，，动点P从点C出发，以的速度沿折线移动到B，当点P在上运动时，则点P出发　 　秒时，为等腰三角形；当点P在上运动时，则点P出发　 　秒时，为等腰三角形．
19．（2024八上·余杭期中）在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点在线段AB上滑动，PM始终经过点，斜边PN交AC于点.在点滑动过程中，为等腰三角形时，则点与点的距离BP为　 　.
20．如图，四边形ABCD是长方形，AB=x，BC=4，点P为直线AD上的一点．若满足△BCP为等腰三角形的点P有且仅有3个，则x=　 　.
21．（2022八上·杭州期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度向运动，过点作交所在的直线于点，连结，设点运动时间为秒．当是等腰三角形时，则　 　秒．
22．（2024八上·义乌月考）如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒．
（1）当t＝3秒时，BP＝ cm；
（2）当t为何值时，连结CP，DP，△CDP为等腰三角形；
（3）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等．
23．（2022八上·兰溪期中）如图，在直角三角形中，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． 分别从同时出发，当一个动点到达终点则另一动点也随之停止运动，
（1）求为何值时，为等腰三角形？
（2）是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？
（3）点在运动的过程中，是否存在某时刻， 直线把的周长分为两部分？若存在，求出，若不存在，请说明理由．
四、构造等腰三角形需要讨论
24．（2024八上·南湖月考）某项目化学习小组研究“等腰三角形”课题，将三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中一根木棒的长为，请在下列四个选项中选出另一边的长，使其能构成两种不同的等腰三角形（　　）
A．3 B．10 C． D．11
25．（2023八上·齐齐哈尔期中）如图，是等腰三角形，在所在平面内有一点，且使得，，均为等腰三角形，则符合条件的点共有（　　）
A．1个 B．4个 C．5个 D．6个
26．已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠CAB=108°，D是直线BC上一点(不与点B，C重合)，连结AD，若△ABD是等腰三角形，则∠DAC=　 　．
27．（2024八上·鼓楼期中）如图，中，，已知平面内有一点，使得与均为等腰三角形，则所有满足条件的点有　 　个．
28．如图所示的直角三角形ABD是某等腰三角形对称轴的一侧，请补全该等腰三角形.(只需画出图形)
29．（2024八上·江北期中）如图是由25个边长为1的小正方形组成的5×5网格，请分别在3个网格图中画出3个互不全等的等腰三角形，要求：等腰三角形顶点在格点上，且腰长为5．
30．（2023八上·婺城月考）（1）如图1，线段的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个．
（2）如图1，如果与直线l所成的锐角为60°，以为一边画等腰三角形，并使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个．
想一想：如图2，中， ，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画　 　条．
算一算：如图3，在中，，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数．
31．（2024八上·南山开学考）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线．
（1）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线．
（2）如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并直接写出每种分割之后两个等腰三角形的顶角度数．
（3）在中，为的等腰分割线，且，，请直接写出的度数．
32．（2024八上·北京市期中）为等边三角形，射线经过点A，，画点B关于射线的对称点D，连接、交直线于点E．
（1）如图，当时
①依题意补全图形；
②用等式表示线段、、的数量关系，并证明；
（2）若为等腰三角形，直接写出的度数．
33．如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为．
（1）当点P在边上，且不与点、重合时，求证：；
（2）直接写出的长（用含t的代数式表示）；
（3）在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰为3，底边为7时，由于3+3＜7，不能构成三角形，故此种情况须舍去；
当腰为7，底边为3时，能构成三角形，此时三角形的周长=7+7+3=17．
故答案为：B．
【分析】分腰为3和腰为7两种情况并结合三角形的三边关系解答即可．
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的概念
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当∠A是顶角时，，
当∠C是顶角时，∠A=∠B=70°，
当∠B是顶角时，，
故∠B的度数是40°或55°或70°，
故答案为：D．
【分析】由于所给∠A是锐角，故根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和定理，分①当∠A是顶角时，② 当∠C是顶角时，③当∠B是顶角时三种情况求解即可.
4．【答案】或
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由已知等腰三角形的一个内角为80°，可知：有两种情况：
①如果这个角是顶角，那么可知： 这个等腰三角形顶角的度数为 80°；
②如果这个角是底角时，根据等腰三角形的性质：等腰三角形，两底角相等，∴另一个底角也是80°。由三角形内角和为180°可知：顶角是20°.
综上所述： 一等腰三角形的一个内角为80° ，这个等腰三角形顶角的度数为：80°或20°.
【分析】由于已知没有说这个80°的内角是这个等腰三角形的底角还是顶角，所以要分两种情况讨论：这个角是底角时或这个角是顶角时。再结合三角形内角和是180度，即可得到答案.
5．【答案】5
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵一个等腰三角形的三边长分别为x，2x，5x-3，
∴x=5x-3或2x=5x-3，
当x=5x-3时，有，
∴，
∵，
∴此时三边不构成三角形；
当2x=5x-3时，有x=1，
∴2x=5x-3=2，
∵1+2=3>2，
∴此时三边构成三角形；
综上，这个等腰三角形的周长为2+2+1=5，
故答案为：5.
【分析】由于未明确哪条边作为等腰三角形的腰和底边，则需分类讨论，明显x≠2x，于是分两种情况讨论：x=5x-3或2x=5x-3，然后解方程求出x的值，得每条边的长，最后利用三角形三边关系即可求解.
6．【答案】（1）①√；②×；③√
（2）解：，，，
∵平分，
，
，
∴是等腰三角形，
，，，
为的“等角分割线”；
（3）或或或
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）①根据全等三角形的性质可知三角形对应角相等，则有全等三角形是“等角三角形”成立；
②根据题意可以写出三对“等角三角形”，分别为与，与，与，答案错误；
③假设与成“等角三角形”，则要为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，则，与矛盾；
同理如果与成“等角三角形”，也有上述结论，
故无论为何值，都不可能是的“等角分割线”正确．
（3）①当是等腰三角形，时，，
∴；
②当是等腰三角形，时，，
∴，
∴；
③当是等腰三角形，时，，
∴；
④当是等腰三角形，时，，
设，则，
则，
∵，解得，
∴，
∴；
故的度数为或或或．
【分析】（1）①根据全等三角形的性质即可判断；②根据题意可以写出三对等角三角形可判断②错误；③如果与成“等角三角形”，则要为等腰三角形，根据等角三角形的定义即可判断；
（2）根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得，则有，然后根据等角三角形的定义即可证明；
（3）分类讨论：当是等腰三角形，和，当是等腰三角形，和，等腰三角形的性质、等角分割线定义和三角形外角和求得；
（1）解：①根据全等三角形的性质可知三角形对应角相等，则有全等三角形是“等角三角形”成立；
②根据题意可以写出三对“等角三角形”，分别为与，与，与，答案错误；
③假设与成“等角三角形”，则要为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，则，与矛盾；
同理如果与成“等角三角形”，也有上述结论，
故无论为何值，都不可能是的“等角分割线”正确．
（2），，
，
∵平分，
，
，
∴是等腰三角形，
，，，
为的“等角分割线”；
（3）解：①当是等腰三角形，时，，
∴；
②当是等腰三角形，时，，
∴，
∴；
③当是等腰三角形，时，，
∴；
④当是等腰三角形，时，，
设，则，
则，
∵，解得，
∴，
∴；
故的度数为或或或．
7．【答案】（1）若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝35°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×70°＝40°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝70°；
∴∠B＝35°或40°或70°
（2）解：①当 时，∠A 只能为顶角，∴∠B 的度数只有一个.
②当 时，若∠A 为顶角，则 若∠A 为底角，则. 或∠B=(180-2x)°，当 且 且180-2x≠x，即x≠60时，∠B 有三个不同的度数.
综上，当0【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）本题问 在等腰三角形ABC 中，∠A=80°，求∠B 的度数 ，由于∠A和∠B的位置不确定，所以需进行分类讨论，在等腰三角形中，角可分为顶角和底角，所以可分为：①∠A为顶角，则∠B必为底角；②∠为底角，则∠B可为顶角或底角，在此分类下需进行再次分类讨论即可；
（2）通过（1）问的三个问题，我们发现，∠B的度数的个数∠A度数的影响，例1中，∠A为钝角，∠B的度数只有一种可能，例2中，∠A为锐角，∠B的度数有三种可能，变式里，∠B的度数同样有三种可能，所以在分类讨论时，可把∠A分为钝角和锐角进行讨论.
8．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；二元一次方程组的应用-几何问题；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：设等腰三角形的腰长xcm，底边长分别为ycm，
由题意得：
或，
解得或，
当时，该等腰三角形的三边长为，，，
∵，
∴不能组成三角形，故舍去；
当时，该等腰三角形的三边长为，，，能构成三角形，
∴该等腰三角形的底边为，
故答案为：A．
【分析】设等腰三角形的腰长和底边长分别为、，根据题意分两种情况，分别列关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，然后由三角形三边关系定理“三角形任意两边之和大于第三边”检验即可判断求解．
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
11．【答案】
【知识点】三角形三边关系；二元一次方程组的应用-几何问题；等腰三角形的概念
12．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
13．【答案】50°或
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
14．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角
15．【答案】2或3或5
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
16．【答案】（1）
（2），
（3）解：如图，作的垂直平分线交于点，连接，作的垂直平分线交于点，连接，
∴，，
∴，都是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴图中出现的等腰三角形是，和．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】（1）解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴是等腰三角形，
∴图中出现的等腰三角形是，
故答案为：；
（2）解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴图中出现的等腰三角形是，，
故答案为：，；
【分析】（1）根据垂直平分线性质可得，再根据等腰直角三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质可得，再根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，，再根据角之间的关系可得，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（3）作的垂直平分线交于点，连接，作的垂直平分线交于点，连接，根据垂直平分线性质可得，，再根据等腰三角形判定定理可得，都是等腰三角形，，再根据角之间的关系可得，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（1）解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴是等腰三角形，
∴图中出现的等腰三角形是，
故答案为：；
（2）解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴图中出现的等腰三角形是，，
故答案为：，；
（3）解：如图，作的垂直平分线交于点，连接，作的垂直平分线交于点，连接，
∴，，
∴，都是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴图中出现的等腰三角形是，和．
17．【答案】（1）假
（2）解：存在“和谐分割线”，理由如下：作的平分线交于点，如图
，，
，
，
在中，，
的三个内角与的三个内角相等，
，
是等腰三角形，
是“和谐分割线”；
过点作交于，如图，
，
，，
，
．
（3）解：
①如图所示：
当时，
，
根据“和谐分割线”的概念可知，，
，
，
，
解得；
②如图所示：
当时，
，
根据“和谐分割线”的概念可知，，
，
，
解得；
综上所述：的值为或．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】
（1）
解：等边三角形过一个顶点的线段不能分成一个等边三角形和一个等腰三角形，等边三角形存在“和谐分割线”是假命题．
故答案为：假．
【分析】
（1）由“和谐分割线”的概念知等边三角形中不可能存在“和谐分割线”；
（2）由直角三角形两锐角互余可得，则作的平分线交于点，则，即为“和谐分割线”，再在中应用特殊角的性质结合勾股定理即可求出的长；
（3）由“和谐分割线”的概念可分两种情况讨论：①当时，则，又，则，再由三角形的内角和定理可得，再求解即可；
②当时，则，又，则由三角形的外角性质知，再由三角形内角和定理知，再求解即可．
（1）解：等边三角形过一个顶点的线段不能分成一个等边三角形和一个等腰三角形，
等边三角形存在“和谐分割线”是假命题．
故答案为：假．
（2）解：存在“和谐分割线”，理由如下：
作的平分线交于点，如图
，，
，
，
在中，，
的三个内角与的三个内角相等，
，
是等腰三角形，
是“和谐分割线”；
过点作交于，如图，
，
，，
，
．
（3）解：①当时，
，
根据“和谐分割线”的概念可知，，
，
，
，
解得；
②当时，
，
根据“和谐分割线”的概念可知，，
，
，
解得；
综上所述：的值为或．
18．【答案】6；12或13或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
19．【答案】0或或 （不化简也对）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；分类讨论
【解析】【解答】解：在点P滑动过程中，为等腰三角形，共三种情况，
①当时，则
∴
过点P作于D，如图，
则为等腰直角三角形，
∴
∵
∴
在中，
∴
∵
∴
∴
∴
②当时，则
∴如图，
在中，
∴
∴
∴
∴
③当时，则
此时点B与点P重合，点D与点A重合，过点C作于E，如图，
∴
综上所述，点与点的距离BP为：0或或
故答案为：0或或.
【分析】在点P滑动过程中，为等腰三角形，需分三种情况讨论，①当时，则进而得到过点P作于D，则为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理求出BP即可；②当时，则进而得到然后在中根据含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理求出BP即可；③当时，则此时点B与点P重合，点D与点A重合，过点C作于E，由此可得到BP的长度，综上所述即可求解.
20．【答案】4或
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】①如图，当AB=BC时，满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，
△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰三角形(P3B=P3C).
则AB=BC=4.
②当AB则△P2BC是等边三角形，可知P2是AD的中点，BC=BP1=BP2=CP2=CP3，
在Rt△ABP2中，∵BP2=4，∠ABP2=30°，
∴AP2=2，
∴AB=.
③当AB>BC时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形.
故答案为4或.
【分析】分三种情况：AB=AD，AB当AB=AD时，AB=BC=4；
当AB当AB>BC时，不符合题意.
21．【答案】或或
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解： 在中由勾股定理可得：
①当AB=BF=10时，
因为BC=6，
所以
在中由勾股定理可得：
又因为
所以
又在中：
所以
②当AF=BF时，
因为
所以
所以
③当时，
因为
所以
又
所以
由勾股定理得：
所以
所以综上：t的值为或或.
故答案为：或或.
【分析】分AB=BF=10、AF=BF、三种情况，根据等腰三角形的性质，运用勾股定理及等面积法进行计算即可求解.
22．【答案】（1）2
（2）①当P在AB上时，△PCD为等腰三角形，
∴ ，
在矩形ABCD中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
②当P在BC上时，△DCP为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
③当P在AD上时，△DCP为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述或或时，△CDP为等腰三角形．
（3）根据题意，如图，连接CQ，则AB＝CD＝4，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝，DQ＝5，
∴要使一个三角形与△DCQ全等，则另一条直角边必须等于DQ，
①当点P运动到时，C＝DQ＝5，此时△DCQ≌△CD，
∴点P的路程为：AB＋B＝4＋1＝5，
∴t＝5÷2＝2.5s，
②当点P运动到时，B＝DQ＝5，此时△CDQ≌△AB，
∴点P的路程为：AB＋B＝4＋5＝9，
∴t＝9÷2＝4.5s，
③当点P运动到时，A＝DQ＝5，此时△CDQ≌△AB，
∴点P的路程为：AB＋BC＋CD＋D＝4＋6＋4＋1＝15，
∴t＝15÷2＝7.5s，
④当点P运动到时，即P与Q重合时，D＝DQ＝5，此时△CDQ≌△CD，
∴点P的路程为：AB＋BC＋CD＋D＝4＋6＋4＋5＝19，
∴t＝19÷2＝9.5s，
综上所述，时间的值可以是：t＝2.5s，4.5s，7.5s或9.5s．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）当t＝3秒时，点P走过的路程为：2×3＝6，
∵AB＝4，
∴点P运动到线段BC上，
∴BP＝6 4＝2cm，
故答案是：2；
【分析】（1）根据题意知点P的速度为2cm/秒，当t＝3秒时，运动路程为6cm，此时点P运动到线段BC上，然后得到BP的长度；
（2）根据题意可知点P分别在AB、BC、 CD和AD 上运动，要使△CDP为等腰三角形，分情况讨论：①当P在CD上时，不存在三角形；②当点P在AB上时，PC=PD；③当P在BC上时，CD=CP；④当P在AD上时，CD=DP，分别计算点P的路径长即可计算出时间．
（3）根据题意， 连接CQ ，要使一个三角形与△DCQ全等， 则另一条直角边必须等于DQ ，然后确定则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即可计算出时间．
23．【答案】（1）2；（2）存在，；（3）存在，
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的概念
24．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
25．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
26．【答案】36°或126°或72°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
第一种情况，当AB=BD1时，∵∠CAB=108°，∴ ∠ABC=36°，
∵ AB=BD1，∴ ∠D1AB=∠D1=18°，∴ ∠D1AC=∠D1AB+∠CAB=126°；
第二种情况，当AB=BD2时，∵∠CAB=108°，∴ ∠ABC=36°，
∵AB=BD2，∴ ∠BAD2=72°，∴ ∠D2AC=∠CAB-∠BAD2=36°；
第三种情况，当AD3=BD3时，∵∠CAB=108°，∴ ∠ABC=36°，
∵AC=BD3，∴ ∠BAD3=36°，∴∠D3AC=∠CAB-∠BAD3=72°；
综上∠DAC=36°或126°或72°.
故答案为：36°或126°或72°.
【分析】分三种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质分别计算即可求出.
27．【答案】
【知识点】等腰三角形的概念
28．【答案】解：如图，即为所求.
【知识点】等腰三角形的对称性；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】分两种情况进行讨论：当AD或BD所在直线作为等腰三角形对称轴时，根据等腰三角形的性质直接画出图形即可.
29．【答案】解：
【知识点】等腰三角形的概念
【解析】【分析】根据等腰三角形的特点，等腰三角形的腰是相等的，这样可以画出腰为5等腰直角三角形，还可以画出角度完全不同的两个腰为5的等腰三角形.
30．【答案】（1）4；（2）2；想一想：5；算一算：5°或20°或80°或140°或42.5°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等腰三角形的概念
31．【答案】（1）证明：是的垂直平分线，
，
，是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一条等腰分割线.
（2）第一种：等腰的顶角，等腰的顶角；第二种：等腰的顶角，等腰的顶角；等腰分割见解析
（3）或或
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；分类讨论
【解析】【解答】解：（2）解：如图1，
第一种：等腰的顶角，等腰的顶角；
第二种：等腰的顶角，等腰的顶角．
（3）解：如图2，
当，时，，
如图3，
当，时，，
如图4，
当，时，，
综上所述：或或。
【分析】（1）根据垂直平分线的性质，可得AE=CE，然后再根据是等腰三角形，易证，，进而即可求解。
（2）根据题意，可分为两种情况：当AC是腰时，然后再根据等腰三角形的性质和等腰分割的定义，可得AD=AC，AD=BD；当AC是底时，然后再根据等腰三角形的性质和等腰分割的定义，可得，AD=CD，AB=BD，据此即可画出图形；
（3）根据等腰分割的定义，可将情况分为：AD=AC，AD=CD及AC=CD三种情形，然后再根据等腰三角形的性质，即可求解。
（1）证明：是的垂直平分线，
，
，是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一条等腰分割线；
（2）解：如图1，
第一种：等腰的顶角，等腰的顶角；
第二种：等腰的顶角，等腰的顶角．
（3）解：如图2，
当，时，，
如图3，
当，时，，
如图4，
当，时，，
综上所述：或或．
32．【答案】（1）解：①过点作的垂线，交于点，截取，则点是点关于射线的对称点，连接、交直线于点E，如图：
②，证明如下：
在上截取，如图：
∵是等边三角形，
∴
由对称可知：
，
∵，
∴，，
∵
∴，
由对称可知：，，
∴，
∴是等边三角形，
∴， ，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）的值为或．
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】（2）解：当是等腰三角形，①当时，如图：
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
②当时，如图：
∴垂直平分，
∵垂直平分，
，
③当时，如图：
∴垂直平分，
∴，，三点在同一条直线上，
(不合题意，舍去)，
综上所述，是等腰三角形，的值为或．
【分析】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）①根据垂直平分线的性质可得：过点作的垂线，交于点，截取，连接、交直线于点E；
②在上截取，则是等边三角形，利用等边三角形的性质可得：利用对称的性质可得：利用角的运算可推出，再根据等边三角形的性质可推出，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，根据，利用线段的运算可证明；
（2）分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等边三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质，再结合三点共线的性质可求出角的度数．
（1）解：①过点作的垂线，交于点，截取，则点是点关于射线的对称点，连接、交直线于点E，如图：
②，证明如下：
在上截取，如图：
∵是等边三角形，
∴
由对称可知：
，
∵，
∴，，
∵
∴，
由对称可知：，，
∴，
∴是等边三角形，
∴， ，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：当是等腰三角形，
①当时，如图：
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
②当时，如图：
∴垂直平分，
∵垂直平分，
，
③当时，如图：
∴垂直平分，
∴，，三点在同一条直线上，
(不合题意，舍去)，
综上所述，是等腰三角形，的值为或．
33．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
根据点的运动过程可知，，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：根据题意可知，点从点到点所需时间为，
当时，，
当时，，
答：当时，的长为；当时，的长为
（3）解：当时，如图，
有5个等腰三角形：、、、、，
当时，如图，有4个等腰三角形：、、、，
答：当时，等腰三角形有5个；当时，等腰三角形有4个
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质证明△APE两个角是60°，然后根据SAS证明△BPE≌△ECQ；
（2）先表示AP＝AE＝t，当E在AC上时，EC＝2 t，当E在射线AC上时，EC＝t 2；
（3）当t＝1和t＝4时，图中等腰三角形的个数大于3，根据图形写出等腰三角形即可．
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