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浙教版数学八年级上学期重难点复习5：一元一次不等式（组）含参问题
一、根据不等式(组)的解集求参数
1．（2025八上·丽水期末）已知不等式组的解为，则下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵不等式组的解为，
∴
∴
即a>b.
故答案为：A.
【分析】不等式组的解集确定规律“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”，由此列出再根据不等式的基本性质即可作答.
2． 若关于x的不等式组 的解集为x<3，则k的取值范围为(　　)
A．k>1 B．k<1 C．k≥1 D．k≤1
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】
由得 x<3
由得 x不等式组的解集为x<3
k+23
即 k≥1
故答案为：D
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，根据不等式组的解集为x<3可得k+23，则k≥1。
3．（2024八上·杭州期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式，
可得：，
∵原不等式组的解集是，
∴，
解得：，
故答案为：C．
【分析】先求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据不等式的解集为x＞2，可得到关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围.
4．（2025八上·余姚期末）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式得，，
解不等式得，，
∵关于x的不等式组有四个整数解，
∴ 该不等式组的解集为8＜x＜2-4a，
∵的四个整数是9，10，11，12，
∴，
解得，
∴a的取值范围是，
故答案为：A．
【分析】首先根据解不等式的步骤分别解出不等式中每一个不等式的解集，再根据不等式组有且只有四个整数解，结合口诀“大小小大中间找”得到该不等式组的解集，然后找出解集范围内的四个整数解，即可得出a的取值范围．
5．（2023八上·宁波月考）若不等式有解，则实数最小值是　 　 ．
【答案】4
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：当x＜1时， ，-2(x-1)-3(x-3)≤a，
解得，x≥，
∵ x＜1，
∴＜1，
∴ a＞6；
当1≤x≤3时，
∴2(x-1)-3(x-3)≤a，
解得，x≥7-a，
∴1≤7-a≤3，
解之：4≤a≤6；
当x＞3时，原不等式变形为
2（x-1）+3（x-3）≤a，
解之：x≤，
∴＞3，
解之：a＞4，
∴实数a的最小值为4.
故答案为：4.
【分析】分情况讨论：当x＜1时，可缓解绝对值，可得到不等式的解集为x≥，代入可得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围；当1≤x≤3时，可得到x≥7-a，据此可得到关于a的不等式，然后求出a的取值范围；当x＞3时可得到x≤，据此可得到关于a的不等式，然后求出a的取值范围；根据a的取值范围，可得到a的最小值.
6．（2019八上·无锡开学考）是否存在这样的整数m，使得关于x，y的方程组 的解满足x<0且y>0？若存在，求出整数m；若不存在，请说明理由。
【答案】解：解方程组 得： ，
根据题意，得： ，
解得：-2＜m＜1
则整数m=-1，0.
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点：y的系数互为相反数，因此将两方程相加，消去y，可求出x的值，再将y的值代入原方程组中的第一个方程，求出x的值，即可得到方程组的解；再根据x<0且y>0，建立关于m的不等式组，解不等式组求出m的取值范围，就可得到整数m的值。
7． 已知关于x，y的方程组 的解满足x为非正数，y为负数，求a的取值范围.
【答案】解：
得 2x=2a-6，x=a-3
得 2y=-8-4a，y=-4-2a
x为非正数，y为负数，
a-30，即a≤3
-4-2a<0，即a>-2
-2【知识点】不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【分析】方程组的两个方程相加可得x=a-3，相减可得y=-4-2a，由x为非正数和y为负数可得a-30，即a≤3，-4-2a<0，即a>-2，则a的取值范围为-28．（2024八上·天心开学考）若一个不等式组A有解且解集为，则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式组B的解(即中点值满足不等式组)，则称不等式组B对于不等式组A中点包含．
（1）已知关于的不等式组：，以及不等式：，请判断不等式对于不等式组是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于的不等式组：和不等式组：，若对于不等式组中点包含，求的取值范围．
（3）关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之和为，求的取值范围．
【答案】（1）解：不等式对于不等式组中点包含，判断过程如下：
解不等式组：，得，
的中点值为，
在范围内，
不等式对于不等式组中点包含；
（2）解：对于不等式组中点包含，
不等式组和不等式组有解，
解不等式组：，得，
不等式组：，得，
，
解得：，
当时，不等式组的解集为，不等式组的解集为，
的中点值为，
对于不等式组中点包含，
，
解得：，
又，
．
（3）解：解不等式组得，，解不等式组得，，
的中点值为，
不等式组对于不等式组中点包含，
，
解得：，
所有符合要求的整数之和为，
整数可取，、，，或整数可取、、、、、，．
或．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】（1）先求出不等式组A的解集，再结合A的中点值为，最后判断即可；
（2）先求出不等式组C和D的解集，再求出C的中点值为，结合D对于不等式组中点包含，可得，最后求出m的取值范围即可；
（3）先求出不等式组E和F的解集，再结合不等式组对于不等式组中点包含，可得，求出m的取值范围，再求出n的取值范围即可.
二、有解无解问题
9．（2025八上·余姚期末）若关于 的方程 的解为自然数，且关于 的不等式组 无解，则符合条件的整数 的值的和为（ ）
A．5 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵ 关于 的不等式组 无解，不等式组变形得到，∴k＞-1；
变形为，
∵ 方程 的解为自然数 ，
∴9-3k≥0，综合得到 1 当k=0时，
当k=1时，
当k=2时，
当k=3时，
∴只有当k=1、3，满足整数 和方程 的解为自然数的条件。
∴ 符合条件的整数 的值的和为1+3=4.
故答案为：C。
【分析】本题首先求出不等式组中x的取值范围，然后根据“x无解”确定k＞-1；随后将关于x的方程变形，因为方程的解为自然数，而最小的自然数是0，这样就可以进一步确定k的取值范围。最后在k的取值范围内分别计算出k的整数对应的x的值，满足x是整数的值对应的k的值就是“符合条件的整数 的值”，最后求和即可。
10．（2023八上·长沙开学考）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解5-2x＞-3，解得：x＜4
解x-a＞0，解得：x＞a
此不等式无解，故a≥4
故答案为：a≥4
【分析】先把a看作已知数把两个不等式分别解出来，再由不等式组解题口诀求解即可。
11．（1）不等式组有解，求利用数轴m的取值范围．
（2）表示不等式组{x＞ax＞b的解集如图所示，求不等式组{x＜ax≤b的解集．
【答案】解：（1）m＜8；
（2）不等式组的解集图示，可得a＜b，
则不等式组的解集是：x＜a．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组解集的确定方法：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，即可求解．
12．（2024八上·新会开学考）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．
例如：不等式被不等式“包含”．
（1）下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是 ．
A、 B、 C、 D、
（2）若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值．
（3）已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）C
（2）解：关于x的不等式被“包含”，
∴
解得 ，
又∵，
解得．
∴，
∵，
∴，
∴M的最小值是19。
（3）解：解方程组得
∵，，
∴
解得，
∵k为整数，
∴k的值为，0，1，2；
不等式P：整理得，；
不等式Q：的解集为 ，
∵P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”
∴不等式P：的解集为 ，
∴，且，
解得，
∴。
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：A、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
B、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
C、不等式的解集为，
∴不等式能被不等式“包含”，符合题意
D、不等式组无解，
∴不等式组不能被不等式“包含”，不符合题意
故答案为：C。
【分析】（1）对选项中的各个不等式和不等式组进行求解，然后再根据题干要求，确定即可。
（2）根据题干信息，可得，求出a的解集，然后再根据已知条件：，求出b、c关于a的关系式，然后再将以上关系式代入 ，求出，最后再结合a的取值，即可求出M的最小值。
（3）根据已知条件，解方程组：解方程组，求出m、n关于k的值，然后再根据，，求出，然后再根据K的取值特性，求出k的值；最后再根据P、Q之间的包含关系：，进而求出k的，由此即可得到答案。
（1）解：A、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
B、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
C、不等式的解集为，
∴不等式能被不等式“包含”，符合题意
D、不等式组无解，
∴不等式组不能被不等式“包含”，不符合题意
故选C；
（2）解：关于x的不等式被“包含”，
∴
解得 ，
又∵，
解得．
∴，
∵，
∴，
∴M的最小值是19．
（3）解：解方程组得
∵，，
∴
解得，
∵k为整数，
∴k的值为，0，1，2；
不等式P：整理得，；不等式Q：的解集为 ，
∵P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”
∴不等式P：的解集为 ，
∴，且，
解得，
∴．
三、整数解问题
13．（2024八上·婺城期末）已知关于x的不等式组的整数解为1，2（其中m，n为整数），则满足条件的共有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得，；
解不等式得，；
∵不等式组的整数解为1，2，
∴，且，
则，．
∵，为整数，
∴，，8，9，
∴满足条件的（m，n）共有3对．
故选：C.
【分析】根据所给不等式组的整数解为1，2，得出，的取值范围，再根据，为整数即可解决问题．
14．（2025八上·苍南期末）不等式x-3≤0的非负整数解有（　　）个
A．3 B．4 C．2 D．5
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：x-3≤0
x≤3
∴非负整数解有：0，1，2，3共4个。
故答案为：B.
【分析】 本题考查不等式的非负整数解的求解方法 . 解决此类问题的关键在于准确理解题目要求的非负整数解，先求出解集，再筛选出符合条件的整数解。解题过程中，清晰地列出了满足条件的整数解，确保了答案的准确性。
15．（2021八上·金东期中）不等式 的整数解是1，2，3，4.则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
显然：
当 时，不等式的解集为： ，
不等式没有正整数解，不符合题意，
当 时，不等式的解集为：
不等式 的整数解是1，2，3，4，
由①得：
由②得：
所以不等式组的解集为：
故答案为：A.
【分析】当a>0时，不等式组的解集为：≤x≤，此时不等式组没有正整数解；当a<0时，不等式组的解集为≤x≤，结合不等式组的整数解可得0<≤1、4≤<5，联立可得a的范围.
16．（2020八上·下城期末）设m，n是实数，a，b是正整数，若 ，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：m，n是实数，则 、 和 都有可能，
①当 时，
∵ ，a，b是正整数
∴ ，
∴ ，
此时四个选项均成立；
②当 时，
a和b的大小不能确定，
此时A、B不一定成立，C不成立，D一定成立；
③当 时，
∵ ，a，b是正整数
∴ ，
∴ ，
此时A、B不成立，C、D成立；
综上可知D一定成立，
故答案为：D.
【分析】分别讨论 、 和 ，利用不等式的性质进行判断.
17．（2023八上·萧山月考）若不等式组，若不等式组有解，则a的取值范围是　 　，若不等式组刚好有两个整数解，则a的取值范围是　 　．
【答案】a＞-1；1≤a＜2
【知识点】一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： x+a≥0，则x≥-a；
1-2x＞x-2，则x＜1；
若不等式组有解，则-a＜1，a＞-1.
若不等式组刚好有两个整数解，则-2＜-a≤-1，解得：1≤a＜2.
故答案为：a＞-1，1≤a＜2.
【分析】先解出两个不等式的解集，根据不等式组有解，可得-a＜1，即可求得a的取值范围；再根据不等式组刚好有两个整数解，可得-2＜-a≤-1，即可求得.
18．（2023八上·佳木斯开学考）关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解： 解不等式，得x≤4，
解不等式，得a-2＜x，
∴不等式组的解为：a-2＜x≤4，
∵关于x的不等式组只有4个整数解，
∴这4个整数分别是4，3，2，1，
∴
解得.
故答案为：.
【分析】先解得不等式组的解，再根据整数解的个数，列出关于待定字母的不等式组（连不等式），解这个不等式组（连不等式）即可.
19．（2025八上·海曙期末）已知：点在第四象限．
（1）求的取值范围．
（2）我们把横、纵坐标均为整数的点称为“整数点”，请直接写出符合条件的“整数点” ．
【答案】解：（1）根据题意，得，解得；
（2）∵，
∴m的整数解为：0，1，2，
∴符合条件的“整数点A”有、、．
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）根据点的位置可得2m+1>0，3m-9<0，求出m的取值范围即可；
（2）然后取m的整数解，即可得到“整数点A”．
四、方程组与不等式组的结合
20．已知的解满足，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①-②得：
∵，
∴
∴
故答案为：C.
【分析】用①-②得到：结合""，即可得到：进而即可求解.
21．（2022八上·九龙开学考）若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解： 不等式组
，恰好有3个整数解，它们应该是3，2，1，故
又关于y的方程 解得
得到关于m的不等式组
解得
符合条件的所以m值：-3，-2，-1，0，1
它们的和是-5
故答案为：B
【分析】根据题意解不等式组和方程，找到公共解集；公共解集又组成新的不等式组，再次求解即能找到符合条件的所有整数。
22．（2024八上·九龙坡月考）定义一种新运算：
①若，则或；
②若，则；
③若，则的最小值为14；
④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组
的解满足：．
以上说法正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；解二元一次方程组；解一元一次不等式组
23．（2024八上·宁波月考）若，且，，设，则t的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解；不等式的性质
24．（2023八上·古南开学考） 若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有的和为　 　 ．
【答案】34
【知识点】二元一次方程组的解；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】
∵的不等式组有且只有个整数解，
解得：
则
解得13＜m≤19
∵关于，的二元一次方程组的解为整数
解得
∴ 满足条件的m的值是：15，19
则符合条件的所有的和为 34.
故答案为：34.
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的特殊解。根据不等式组的解集和要求，得出m的取值范围，根据二元一次方程的解和要求，共同得出符合条件的m的值即可。
25．（2023八上·自贡开学考）若数a使关于x的方程有非负数解，且关于y的不等式恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是 　 　．
【答案】-27
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
∵方程有非负数解，
∴，
即，
解得：，
不等式组，
由①得， ，
，
，
由②得，，
，
∴，
∵不等式恰好有两个偶数解，
∴偶数解为：2，0，
∴，
解得：，
∴，
因此满足题意的a值有：-7，-6，-5，-4，-3，-2，
则符合题意的所有整数a的和是：
.
故答案为：-27.
【分析】先求出关于x的方程的解，由方程有非负数解得到a的取值范围，再求出不等式组的解集，由不等式组恰好有两个偶数解，得到a的取值范围，综合两个取值范围得到符合条件的a值，相加即可.
26．（2024八上·钱塘期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为．
【答案】（1）解：∵方程组，
解得：，
∵ 方程组的解满足为非正数，为负数，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）得，
∴，，
∴原式；
（3）解：∵，
∴，
∵不等式的解为，
∴，
解得：，
由（1）得，
∴，
∵为整数，
∴．
【知识点】解一元一次不等式组；不等式的性质；加减消元法解二元一次方程组；绝对值的概念与意义；一元一次不等式的含参问题
【解析】【分析】（1）利用“加减消元法”解方程组得出，由方程组的解满足的条件得到关于的不等式组并解之即可；
（2）结合（1）中的取值范围判断出，，然后利用绝对值的意义进行化简即可；
（3）利用不等式的基本性质可得，结合（1）所求的范围知，继而可得整数的值．
27．已知方程组的解满足不等式4x﹣5y＜9．求a的取值范围．
【答案】解：两个方程相加得，x=5a，
两个方程相减得，y=﹣a+5，
∵4x﹣5y＜9，
∴20a﹣5（﹣a+5）＜9
∴a＜
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；解一元一次不等式
【解析】【分析】先利用加减消元法解二元一次方程组，求得用a表示的x、y，根据方程组的解满足不等式4x﹣5y＜9可得关于a的不等式，解不等式即可.
28．（2024八上·开福开学考）解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答例如：解不等式解：
①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或．
（1）请用以上方法解不等式关于的不等式：；
（2）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求整数的和；
（3）已知关于，的方程组满足方程组的未知数的值为整数，系数也为整数且求满足条件的和的值．
【答案】（1）解：当时，即时，
原式化为：，
解得：，此时，不等式的解集为；
当时，即时，
原式化为：，
解得：，此时，不等式的解集为；
综上可知，原不等式的解集为或；
（2）解：，
得，，
，
，
当时，即时，
原式化为：，
解得：，此时，不等式的解集为；
当时，即时，
原式化为：，
解得：，此时，不等式的解集为；
综上可知，原不等式的解集为，
为整数，
，，，，，，
它们的和为．
（3）解：，
得，，
，
，
未知数的值为整数，系数也为整数且，
，，
或，．
【知识点】解一元一次不等式；二元一次方程（组）的新定义问题；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法分类讨论：①当时，即时，②当时，即时，再分别列出不等式求解即可；
（2）先利用加减消元法的计算方法求出方程组的解，再分类讨论：①当时，即时，②当时，即时，再分别列出不等式求解即可；
（3）先利用加减消元法的计算方法求出方程组的解，再求出，最后参照题干的定义及计算方法求出x和n的值即可.
1 / 1浙教版数学八年级上学期重难点复习5：一元一次不等式（组）含参问题
一、根据不等式(组)的解集求参数
1．（2025八上·丽水期末）已知不等式组的解为，则下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
2． 若关于x的不等式组 的解集为x<3，则k的取值范围为(　　)
A．k>1 B．k<1 C．k≥1 D．k≤1
3．（2024八上·杭州期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八上·余姚期末）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023八上·宁波月考）若不等式有解，则实数最小值是　 　 ．
6．（2019八上·无锡开学考）是否存在这样的整数m，使得关于x，y的方程组 的解满足x<0且y>0？若存在，求出整数m；若不存在，请说明理由。
7． 已知关于x，y的方程组 的解满足x为非正数，y为负数，求a的取值范围.
8．（2024八上·天心开学考）若一个不等式组A有解且解集为，则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式组B的解(即中点值满足不等式组)，则称不等式组B对于不等式组A中点包含．
（1）已知关于的不等式组：，以及不等式：，请判断不等式对于不等式组是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于的不等式组：和不等式组：，若对于不等式组中点包含，求的取值范围．
（3）关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之和为，求的取值范围．
二、有解无解问题
9．（2025八上·余姚期末）若关于 的方程 的解为自然数，且关于 的不等式组 无解，则符合条件的整数 的值的和为（ ）
A．5 B．2 C．4 D．6
10．（2023八上·长沙开学考）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是　 　．
11．（1）不等式组有解，求利用数轴m的取值范围．
（2）表示不等式组{x＞ax＞b的解集如图所示，求不等式组{x＜ax≤b的解集．
12．（2024八上·新会开学考）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．
例如：不等式被不等式“包含”．
（1）下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是 ．
A、 B、 C、 D、
（2）若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值．
（3）已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
三、整数解问题
13．（2024八上·婺城期末）已知关于x的不等式组的整数解为1，2（其中m，n为整数），则满足条件的共有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
14．（2025八上·苍南期末）不等式x-3≤0的非负整数解有（　　）个
A．3 B．4 C．2 D．5
15．（2021八上·金东期中）不等式 的整数解是1，2，3，4.则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
16．（2020八上·下城期末）设m，n是实数，a，b是正整数，若 ，则（　　）
A． B．
C． D．
17．（2023八上·萧山月考）若不等式组，若不等式组有解，则a的取值范围是　 　，若不等式组刚好有两个整数解，则a的取值范围是　 　．
18．（2023八上·佳木斯开学考）关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是　 　．
19．（2025八上·海曙期末）已知：点在第四象限．
（1）求的取值范围．
（2）我们把横、纵坐标均为整数的点称为“整数点”，请直接写出符合条件的“整数点” ．
四、方程组与不等式组的结合
20．已知的解满足，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
21．（2022八上·九龙开学考）若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（　　）
A． B． C． D．
22．（2024八上·九龙坡月考）定义一种新运算：
①若，则或；
②若，则；
③若，则的最小值为14；
④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组
的解满足：．
以上说法正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．（2024八上·宁波月考）若，且，，设，则t的取值范围为　 　．
24．（2023八上·古南开学考） 若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有的和为　 　 ．
25．（2023八上·自贡开学考）若数a使关于x的方程有非负数解，且关于y的不等式恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是 　 　．
26．（2024八上·钱塘期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为．
27．已知方程组的解满足不等式4x﹣5y＜9．求a的取值范围．
28．（2024八上·开福开学考）解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答例如：解不等式解：
①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或．
（1）请用以上方法解不等式关于的不等式：；
（2）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求整数的和；
（3）已知关于，的方程组满足方程组的未知数的值为整数，系数也为整数且求满足条件的和的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵不等式组的解为，
∴
∴
即a>b.
故答案为：A.
【分析】不等式组的解集确定规律“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”，由此列出再根据不等式的基本性质即可作答.
2．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】
由得 x<3
由得 x不等式组的解集为x<3
k+23
即 k≥1
故答案为：D
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，根据不等式组的解集为x<3可得k+23，则k≥1。
3．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式，
可得：，
∵原不等式组的解集是，
∴，
解得：，
故答案为：C．
【分析】先求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据不等式的解集为x＞2，可得到关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围.
4．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式得，，
解不等式得，，
∵关于x的不等式组有四个整数解，
∴ 该不等式组的解集为8＜x＜2-4a，
∵的四个整数是9，10，11，12，
∴，
解得，
∴a的取值范围是，
故答案为：A．
【分析】首先根据解不等式的步骤分别解出不等式中每一个不等式的解集，再根据不等式组有且只有四个整数解，结合口诀“大小小大中间找”得到该不等式组的解集，然后找出解集范围内的四个整数解，即可得出a的取值范围．
5．【答案】4
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：当x＜1时， ，-2(x-1)-3(x-3)≤a，
解得，x≥，
∵ x＜1，
∴＜1，
∴ a＞6；
当1≤x≤3时，
∴2(x-1)-3(x-3)≤a，
解得，x≥7-a，
∴1≤7-a≤3，
解之：4≤a≤6；
当x＞3时，原不等式变形为
2（x-1）+3（x-3）≤a，
解之：x≤，
∴＞3，
解之：a＞4，
∴实数a的最小值为4.
故答案为：4.
【分析】分情况讨论：当x＜1时，可缓解绝对值，可得到不等式的解集为x≥，代入可得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围；当1≤x≤3时，可得到x≥7-a，据此可得到关于a的不等式，然后求出a的取值范围；当x＞3时可得到x≤，据此可得到关于a的不等式，然后求出a的取值范围；根据a的取值范围，可得到a的最小值.
6．【答案】解：解方程组 得： ，
根据题意，得： ，
解得：-2＜m＜1
则整数m=-1，0.
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点：y的系数互为相反数，因此将两方程相加，消去y，可求出x的值，再将y的值代入原方程组中的第一个方程，求出x的值，即可得到方程组的解；再根据x<0且y>0，建立关于m的不等式组，解不等式组求出m的取值范围，就可得到整数m的值。
7．【答案】解：
得 2x=2a-6，x=a-3
得 2y=-8-4a，y=-4-2a
x为非正数，y为负数，
a-30，即a≤3
-4-2a<0，即a>-2
-2【知识点】不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【分析】方程组的两个方程相加可得x=a-3，相减可得y=-4-2a，由x为非正数和y为负数可得a-30，即a≤3，-4-2a<0，即a>-2，则a的取值范围为-28．【答案】（1）解：不等式对于不等式组中点包含，判断过程如下：
解不等式组：，得，
的中点值为，
在范围内，
不等式对于不等式组中点包含；
（2）解：对于不等式组中点包含，
不等式组和不等式组有解，
解不等式组：，得，
不等式组：，得，
，
解得：，
当时，不等式组的解集为，不等式组的解集为，
的中点值为，
对于不等式组中点包含，
，
解得：，
又，
．
（3）解：解不等式组得，，解不等式组得，，
的中点值为，
不等式组对于不等式组中点包含，
，
解得：，
所有符合要求的整数之和为，
整数可取，、，，或整数可取、、、、、，．
或．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】（1）先求出不等式组A的解集，再结合A的中点值为，最后判断即可；
（2）先求出不等式组C和D的解集，再求出C的中点值为，结合D对于不等式组中点包含，可得，最后求出m的取值范围即可；
（3）先求出不等式组E和F的解集，再结合不等式组对于不等式组中点包含，可得，求出m的取值范围，再求出n的取值范围即可.
9．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵ 关于 的不等式组 无解，不等式组变形得到，∴k＞-1；
变形为，
∵ 方程 的解为自然数 ，
∴9-3k≥0，综合得到 1 当k=0时，
当k=1时，
当k=2时，
当k=3时，
∴只有当k=1、3，满足整数 和方程 的解为自然数的条件。
∴ 符合条件的整数 的值的和为1+3=4.
故答案为：C。
【分析】本题首先求出不等式组中x的取值范围，然后根据“x无解”确定k＞-1；随后将关于x的方程变形，因为方程的解为自然数，而最小的自然数是0，这样就可以进一步确定k的取值范围。最后在k的取值范围内分别计算出k的整数对应的x的值，满足x是整数的值对应的k的值就是“符合条件的整数 的值”，最后求和即可。
10．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解5-2x＞-3，解得：x＜4
解x-a＞0，解得：x＞a
此不等式无解，故a≥4
故答案为：a≥4
【分析】先把a看作已知数把两个不等式分别解出来，再由不等式组解题口诀求解即可。
11．【答案】解：（1）m＜8；
（2）不等式组的解集图示，可得a＜b，
则不等式组的解集是：x＜a．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组解集的确定方法：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，即可求解．
12．【答案】（1）C
（2）解：关于x的不等式被“包含”，
∴
解得 ，
又∵，
解得．
∴，
∵，
∴，
∴M的最小值是19。
（3）解：解方程组得
∵，，
∴
解得，
∵k为整数，
∴k的值为，0，1，2；
不等式P：整理得，；
不等式Q：的解集为 ，
∵P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”
∴不等式P：的解集为 ，
∴，且，
解得，
∴。
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：A、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
B、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
C、不等式的解集为，
∴不等式能被不等式“包含”，符合题意
D、不等式组无解，
∴不等式组不能被不等式“包含”，不符合题意
故答案为：C。
【分析】（1）对选项中的各个不等式和不等式组进行求解，然后再根据题干要求，确定即可。
（2）根据题干信息，可得，求出a的解集，然后再根据已知条件：，求出b、c关于a的关系式，然后再将以上关系式代入 ，求出，最后再结合a的取值，即可求出M的最小值。
（3）根据已知条件，解方程组：解方程组，求出m、n关于k的值，然后再根据，，求出，然后再根据K的取值特性，求出k的值；最后再根据P、Q之间的包含关系：，进而求出k的，由此即可得到答案。
（1）解：A、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
B、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
C、不等式的解集为，
∴不等式能被不等式“包含”，符合题意
D、不等式组无解，
∴不等式组不能被不等式“包含”，不符合题意
故选C；
（2）解：关于x的不等式被“包含”，
∴
解得 ，
又∵，
解得．
∴，
∵，
∴，
∴M的最小值是19．
（3）解：解方程组得
∵，，
∴
解得，
∵k为整数，
∴k的值为，0，1，2；
不等式P：整理得，；不等式Q：的解集为 ，
∵P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”
∴不等式P：的解集为 ，
∴，且，
解得，
∴．
13．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得，；
解不等式得，；
∵不等式组的整数解为1，2，
∴，且，
则，．
∵，为整数，
∴，，8，9，
∴满足条件的（m，n）共有3对．
故选：C.
【分析】根据所给不等式组的整数解为1，2，得出，的取值范围，再根据，为整数即可解决问题．
14．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：x-3≤0
x≤3
∴非负整数解有：0，1，2，3共4个。
故答案为：B.
【分析】 本题考查不等式的非负整数解的求解方法 . 解决此类问题的关键在于准确理解题目要求的非负整数解，先求出解集，再筛选出符合条件的整数解。解题过程中，清晰地列出了满足条件的整数解，确保了答案的准确性。
15．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
显然：
当 时，不等式的解集为： ，
不等式没有正整数解，不符合题意，
当 时，不等式的解集为：
不等式 的整数解是1，2，3，4，
由①得：
由②得：
所以不等式组的解集为：
故答案为：A.
【分析】当a>0时，不等式组的解集为：≤x≤，此时不等式组没有正整数解；当a<0时，不等式组的解集为≤x≤，结合不等式组的整数解可得0<≤1、4≤<5，联立可得a的范围.
16．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：m，n是实数，则 、 和 都有可能，
①当 时，
∵ ，a，b是正整数
∴ ，
∴ ，
此时四个选项均成立；
②当 时，
a和b的大小不能确定，
此时A、B不一定成立，C不成立，D一定成立；
③当 时，
∵ ，a，b是正整数
∴ ，
∴ ，
此时A、B不成立，C、D成立；
综上可知D一定成立，
故答案为：D.
【分析】分别讨论 、 和 ，利用不等式的性质进行判断.
17．【答案】a＞-1；1≤a＜2
【知识点】一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： x+a≥0，则x≥-a；
1-2x＞x-2，则x＜1；
若不等式组有解，则-a＜1，a＞-1.
若不等式组刚好有两个整数解，则-2＜-a≤-1，解得：1≤a＜2.
故答案为：a＞-1，1≤a＜2.
【分析】先解出两个不等式的解集，根据不等式组有解，可得-a＜1，即可求得a的取值范围；再根据不等式组刚好有两个整数解，可得-2＜-a≤-1，即可求得.
18．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解： 解不等式，得x≤4，
解不等式，得a-2＜x，
∴不等式组的解为：a-2＜x≤4，
∵关于x的不等式组只有4个整数解，
∴这4个整数分别是4，3，2，1，
∴
解得.
故答案为：.
【分析】先解得不等式组的解，再根据整数解的个数，列出关于待定字母的不等式组（连不等式），解这个不等式组（连不等式）即可.
19．【答案】解：（1）根据题意，得，解得；
（2）∵，
∴m的整数解为：0，1，2，
∴符合条件的“整数点A”有、、．
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）根据点的位置可得2m+1>0，3m-9<0，求出m的取值范围即可；
（2）然后取m的整数解，即可得到“整数点A”．
20．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①-②得：
∵，
∴
∴
故答案为：C.
【分析】用①-②得到：结合""，即可得到：进而即可求解.
21．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解： 不等式组
，恰好有3个整数解，它们应该是3，2，1，故
又关于y的方程 解得
得到关于m的不等式组
解得
符合条件的所以m值：-3，-2，-1，0，1
它们的和是-5
故答案为：B
【分析】根据题意解不等式组和方程，找到公共解集；公共解集又组成新的不等式组，再次求解即能找到符合条件的所有整数。
22．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；解二元一次方程组；解一元一次不等式组
23．【答案】
【知识点】二元一次方程的解；不等式的性质
24．【答案】34
【知识点】二元一次方程组的解；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】
∵的不等式组有且只有个整数解，
解得：
则
解得13＜m≤19
∵关于，的二元一次方程组的解为整数
解得
∴ 满足条件的m的值是：15，19
则符合条件的所有的和为 34.
故答案为：34.
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的特殊解。根据不等式组的解集和要求，得出m的取值范围，根据二元一次方程的解和要求，共同得出符合条件的m的值即可。
25．【答案】-27
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
∵方程有非负数解，
∴，
即，
解得：，
不等式组，
由①得， ，
，
，
由②得，，
，
∴，
∵不等式恰好有两个偶数解，
∴偶数解为：2，0，
∴，
解得：，
∴，
因此满足题意的a值有：-7，-6，-5，-4，-3，-2，
则符合题意的所有整数a的和是：
.
故答案为：-27.
【分析】先求出关于x的方程的解，由方程有非负数解得到a的取值范围，再求出不等式组的解集，由不等式组恰好有两个偶数解，得到a的取值范围，综合两个取值范围得到符合条件的a值，相加即可.
26．【答案】（1）解：∵方程组，
解得：，
∵ 方程组的解满足为非正数，为负数，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）得，
∴，，
∴原式；
（3）解：∵，
∴，
∵不等式的解为，
∴，
解得：，
由（1）得，
∴，
∵为整数，
∴．
【知识点】解一元一次不等式组；不等式的性质；加减消元法解二元一次方程组；绝对值的概念与意义；一元一次不等式的含参问题
【解析】【分析】（1）利用“加减消元法”解方程组得出，由方程组的解满足的条件得到关于的不等式组并解之即可；
（2）结合（1）中的取值范围判断出，，然后利用绝对值的意义进行化简即可；
（3）利用不等式的基本性质可得，结合（1）所求的范围知，继而可得整数的值．
27．【答案】解：两个方程相加得，x=5a，
两个方程相减得，y=﹣a+5，
∵4x﹣5y＜9，
∴20a﹣5（﹣a+5）＜9
∴a＜
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；解一元一次不等式
【解析】【分析】先利用加减消元法解二元一次方程组，求得用a表示的x、y，根据方程组的解满足不等式4x﹣5y＜9可得关于a的不等式，解不等式即可.
28．【答案】（1）解：当时，即时，
原式化为：，
解得：，此时，不等式的解集为；
当时，即时，
原式化为：，
解得：，此时，不等式的解集为；
综上可知，原不等式的解集为或；
（2）解：，
得，，
，
，
当时，即时，
原式化为：，
解得：，此时，不等式的解集为；
当时，即时，
原式化为：，
解得：，此时，不等式的解集为；
综上可知，原不等式的解集为，
为整数，
，，，，，，
它们的和为．
（3）解：，
得，，
，
，
未知数的值为整数，系数也为整数且，
，，
或，．
【知识点】解一元一次不等式；二元一次方程（组）的新定义问题；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法分类讨论：①当时，即时，②当时，即时，再分别列出不等式求解即可；
（2）先利用加减消元法的计算方法求出方程组的解，再分类讨论：①当时，即时，②当时，即时，再分别列出不等式求解即可；
（3）先利用加减消元法的计算方法求出方程组的解，再求出，最后参照题干的定义及计算方法求出x和n的值即可.
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