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4.1 整式
一、选择题

1.单项式的次数是（ ）
A. B. C. D.

2.如果是关于的三次多项式，那么的值为（ ）
A. B. C. D.

3.多项式的次数是（ ）
A. B. C. D.

4.下列图形都是由同样大小的基本图形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有个基本图形，第②个图形中一共有个基本图形，第③个图形中一共有个基本图形，第④个图形中一共有个基本图形，…，按此规律排列，则第个图形中基本图形的个数为（ ）
A. B. C. D.

5.下列说法正确的是（ ）
A.多项式是二次三项式 B.单项式的次数是
C.是单项式 D.单项式的系数是
二、填空题

1.多项式的次数是____________．

2.依照以下图形变化的规律，则第个图形中黑色正方形的数量是_______________．

3.数形结合思想是一种重要的数学思想方法．数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的．在数学活动中，老师提出一个数学问题：___________ （为正整数）．奋进小组进行了如下分析．如图，可以把求的和转化为求阴影方格的个数，它们把阴影方格的个数扩大一倍拼成一个大长方形，而大长方形中小方格数的一半就是阴影方格的个数．请你探究完成老师提出的问题．
三、解答题

1.已知多项式的次数为，项数为，常数项为．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，点表示数．
， ， ;
若将数轴对折，使得对折后点与点重合，此时点与点也重合，求点所表示的数；
若将数轴从点处对折，使得对折后，求点所表示的数．

2.问题解决策略：归纳
活动一：在城市规划中，街道的设计需要考虑到交通流量和交汇点的管理．每条街道可以看作平面上的一条直线，街道的交汇点即直线与直线的交点．通过计算交汇点数量的最大值，可以帮助优化交通网络的设计，提高交通效率．探究小组设计了一个数学活动，模拟了某个城市街道交汇点数量的最大值的问题．
【特例研究】如图，若长方形内有条直线，则最多可以得到个交点．
如图，若长方形内有条直线，根据交点个数的不同，有如图四种情况，请在图中作出第四种情况．
【类比发现】
请类比上面的分析过程，将你得到的数据填入下表中．
长方形内直线的条数 …
最多的交点个数 …
【猜想分析】若该城市某片区有条街道，假设条街道为条直线，则这条直线最多有______个交汇点；
活动二：
探究小组用归纳分析的方法研究课本页的第题，题目如下：对于，可以用个手指直观地展示出来：如图，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第个手指，将它弯起，此时它的左边有个手指，右边有个手指，“”正是“”的结果．类似地，，，，…，也可以用手指直观的展示出来．用数学语言揭示原理：从左数起，设弯下的手指为第根手指，便可以用一个含的等式来表示这个规律，请填写这个等式：____________；
探究小组还发现，用根小木棒也能展示从，，，…，的乘法运算．如图，往下移动第根木棒，则左边的两根木棒可表示个，右边的根表示个，则类似地，请用一个含未知数的等式来揭示原理，过程如下：设______，则表示这个规律的等式为______．

3.请把下列各式的序号填入相应的集合中．
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．
整式集合：；
单项式集合：；
多项式集合：．
参考答案与试题解析
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
单项式
【解析】
此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的次数的定义，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【解答】
解：单项式的次数是，
故此题答案为：．
2.
【答案】
D
【考点】
多项式
【解析】
根据题意列得,即可求得的值.
【解答】
由题意得：，得，
又，
，
，
故此题答案为
3.
【答案】
C
【考点】
多项式的项与次数
【解析】
根据多项式的项的定义，多项式的次数的定义即可确定其次数．
【解答】
解：由于组成该多项式的单项式（项）共有三个，，，
其中最高次数为，
所以多项式的次数分别是．
故选：．
4.
【答案】
C
【考点】
规律型：图形的变化类
【解析】
本题考查了图形变化的规律探索，找出图中哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的是本题的解题关键．
由前四幅图可知，后面一幅图的数量比前面一幅图多个，据此进行解答．
【解答】
解：第①个图形中共有个基本图形，而；
第②个图形中共有个基本图形，而；
第③个图形中共有个基本图形，而；
第④个图形中共有个基本图形，而；
…
第个图形中共有个基本图形．
故选：．
5.
【答案】
C
【考点】
多项式的概念的应用
单项式的系数与次数
【解析】
根据多项式、单项式、系数、常数项的定义分别进行判断，即可求出答案．
【解答】
．多项式是三次三项式，此选项错误；
．单项式的次数是，此选项错误；
．是单项式，此选项正确；
．单项式的系数是，此选项错误；
故选．
二、填空题
1.
【答案】
【考点】
多项式的项与次数
【解析】
本题考查了多项式的次数“次数最高的项的次数即为该多项式的次数”，熟记定义是解题关键．根据多项式的次数的定义求解即可得．
【解答】
解：在多项式中，项的次数是，项的次数是，项的次数是，
多项式的次数是，
故答案为：
2.
【答案】
【考点】
规律型：图形的变化类
【解析】
本题考查图形类规律探究，观察可知，当为偶数时，第个图形有个黑色正方形，当为奇数时，第个图形有个黑色正方形，据此进行求解即可．
【解答】
解：观察可知，当为偶数时，第个图形有个黑色正方形，当为奇数时，第个图形有个黑色正方形，
第个图形中黑色正方形的数量是；
故答案为：
3.
【答案】
【考点】
规律型：图形的变化类
【解析】
该题主要考查了图形规律类题目，解题的关键是找到题中规律．
根据题中规律即可解答．
【解答】
解：根据题意可得：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题
1.
【答案】
;
;
或或.
【考点】
多项式
数轴
【解析】
此题考查多项式定义，数轴点坐标表示，相反数定义，代数式表示线段长．
根据多项式定义即可得到此题答案；
根据中点坐标公式即可得到此题答案；
根据题意先计算出，再根据分情况讨论点所在的位置即可得到此题答案．
【解答】
解：多项式的次数为，项数为，常数项为，
多项式的次数及单项式次数最大项的次数即为多项式次数，
，
共计三项，分别是,
，
，
综上所述,；
解：点表示数，点表示数，点表示数，点表示数，
由得，
将数轴对折，使得对折后点与点重合，
中点表示的数为，
点与点也重合，
，
；
解：将数轴从点处对折，使得对折后，
对点的位置分情况讨论：
①当点在右侧时，
对折后，，
，解得，
②当点在线段中点时，
对折后，，
，解得，不符合题意舍去，
③当点在线段上时，
对折后，，
，解得，
④当点在线段上时，
对折后，，
，
，
，解得，不符合题意舍去，
⑤当点在线段中点时，
对折后，，
，即，，，
，故不符合题意舍去，
⑥当点在点左侧时，
对折后，，
，即，解得，
综上所述,点所表示的数为或或．
2.
【答案】
活动一：特例研究：见解析；类比发现：见解析；猜想分析：；活动二：，；从左数起，往下移动的为第根小棒；．
【考点】
规律型：图形的变化类
【解析】
特例研究：根据题意可知第四种情况为三条直线两两相交，有个交点，据此画图即可；
类比发现：根据分析可知条直线最多有条直线最多有个交点，运用结论求解即可；
猜想分析：根据类比发现的结论求解即可；
活动二：
根据材料观察分析可知当弯下的手指为第根手指，左边剩根手指，右边还剩根手指，进而得解；
同思路求解即可．
本题主要考查了规律的图形变化、有理数的运算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【解答】
解：特例研究：第四种情况如图所示：
类比发现：
由题意得，条直线最多只有个交点，
条直线最多有个交点，
条直线最多有个交点，
以此类推可知，条直线最多有个交点，
补全表格如图，
长方形内直线的条数 …
最多的交点个数 …
猜想分析：
由类比发现的结论可知：条直线最多有个交点，
条直线最多有个交点，
故答案为：；
活动二：
当弯下的手指为第根手指，则左边还剩根手指，即十位是，
右边还剩根手指，即个位是，
，
故答案为：，；
根据材料可发现与思路基本一致，
设从左数起，往下移动的为第根小棒，则左边还剩木棒，右边还剩木棒，
因此规律为：
故答案为：从左数起，往下移动的为第根小棒：．
3.
【答案】
①②③⑤⑦
①②⑦
③⑤
【考点】
单项式的概念的应用
整式的概念
多项式的概念的应用
【解析】
本题主要考查了整式的定义，单项式和多项式的判定，单项式的定义，由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式，再逐一判断即可；
【解答】
解：整式集合：{①，②，③，⑤，⑦ …}；
单项式集合：{①，②，⑦ …}；
多项式集合：{③，⑤ …}
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