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2.2.2 有理数的除法
一、选择题

1.计算的结果是（ ）
A. B. C. D.

2.计算的结果是（ ）
A. B. C. D.

3.二进制在计算机科学中有着广泛的应用．计算机内部的所有操作都是基于二进制完成的，包 括数据的存储、传输和处理．此外，二进制还用于数字电路设计、通信技术等领域，所以我们很有必要研究二进制．将十进制中数“”转换为二进制数为（ ）
A. B. C. D.

4.若，则 的取值不可能是
A. B. C. D.

5.鞋号表明了鞋子的大小，我国年发布了新鞋号标准，新鞋号标准对应于世纪年代后期到定的旧鞋号标准，部分鞋号对照知下：
新鞋号 …
旧鞋号 …
则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题

1.新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则________________．

2.我国晋代杰出书法家王羲之所作的《兰亭集序》文章开篇写道“永和九年，岁在癸丑，暮春之初，……”这里的年份和时间，使用了我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，干支是天干和地支的合称，其中天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，年一循环，如年为乙巳年，年为丙午年，为丁未年，…年为辛亥年，年为壬子年…，则年是_____________年．
三、解答题

1.小刚在课外书中看到这样一道有理数的混合运算题：
计算：
她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地解答了这道题．
（1）前后两部分之间存在着什么关系？
（2）先计算哪步分比较简便？并请计算比较简便的那部分．
（3）利用中的关系，直接写出另一部分的结果．
（4）根据以上分析，求出原式的结果．

2.阅读下面解题过程：
计算：
解：
回答：
（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第_______步，错因是_______，第二处是_______，错因是_______．
（2）正确结果应是_______．

3.数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质，数论被高斯誉为“数学中的皇冠”，而哥德巴赫猜想就是“皇冠上的明珠”，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想研究方面就取得国际最领先地位，为我国赢得世界荣誉．现在我们来研究整数的一种简单的现象：定义：对于一个非自然数，如果这个自然数分别除以自然数、（、互为质数）有相同余数（余数不能为），那么自然数叫做、的“公平数”．例如： 所以是和的“公平数”．又例如： ，所以是和的“公平数”．
（1）判断：、是否为和的“公平数”，请说明理由．
（2）求：在自然数中以内和的“公平数”．

4.阅读下列材料：计算．
解法一：原式．
解法二：原式．
解法三：原式的倒数为
．
故原式．
（1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的．
（2）请你选择一种合适的解法解答下列问题：计算：．

5.数学老师布置了一道思考题“计算：．”，甲和乙两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题．
甲同学的解法：
解：原式．
乙同学的解法：
解：原式的倒数为
．
原式．
（1）你觉得_____同学的解法更好；
（2）请你用自己觉得更好的方法解答下面的问题：
计算：．
参考答案与试题解析
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
有理数的除法
【解析】
根据有理数的除法法则计算即可，除以应该数，等于乘以这个数的倒数．
【解答】
解：．
故选：．
2.
【答案】
C
【考点】
有理数的乘除混合运算
【解析】
根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可转化成有理数的乘法，根据有理数的乘法，可得答案．
【解答】
，
故选．
3.
【答案】
A
【考点】
有理数的除法
【解析】
本题考查有理数的运算，根据二进制转化为十进制的方法：除以取余法，进行求解即可．
【解答】
解：
，
转换成二进制为；
故选．
4.
【答案】
A
【考点】
有理数的除法
【解析】
根据，分①当，，都是正数时，②当，，有一个为正数，另两个为负数时，③当，，有两个为正数，一个为负数时，④当，，三个数都为负数时，四种情况讨论得出结论即可．
【解答】
解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数．
①当，，都是正数，即，，时，
则：；
②当，，有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，
则：；
③当，，有两个为正数，一个为负数时，
不妨设，，，
则：；
④当，，三个数都为负数时，
则：；
综上所述：的值为或或或．
故选：．
5.
【答案】
C
【考点】
有理数除法的应用
【解析】
本题考查有理数的运算，及找规律，根据表格数据观察得出规律求解，即可解题．
【解答】
解：根据表格数据观察可知，旧鞋号增加号，对应新鞋号增加号，
，，
即的值为，
故选：．
二、填空题
1.
【答案】
【考点】
有理数的乘除混合运算
【解析】
本题考查了有理数乘除混合运算，理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义将所求的式子进行转化，再计算有理数的乘除法即可得．
【解答】
解：由题意得：
，
故答案为：．
2.
【答案】
己未
【考点】
有理数除法的应用
【解析】
本题考查有理数除法的实际应用，根据题意，列出算式，利用余数进行判断即可．
【解答】
解：由题知，因为年为乙巳年，且天干每年一循环，地支每年一循环，
所以余，余，
则年对应的天干为“己”，对应的地支为“未”，
所以年是己未年．
故答案为：己未
三、解答题
1.
【答案】
（1）前后两部分互为倒数
（2）先计算后部分比较简单；
（3）
（4）
【考点】
有理数除法的应用
【解析】
（1）根据被除数和除数之间的关系得出互为倒数；
（2）根据乘法分配律进行计算得出答案；
（3）根据倒数的性质得出答案；
（4）根据有理数的加法计算法则得出答案.
【解答】
解：（1）前后两部分互为倒数；
（2）先计算后部分比较简便
（3）
（4）原式
2.
【答案】
，除以一个数相当于乘以这个数的倒数；，同级运算应从左到右的顺序依次进行计算
【考点】
有理数的乘除混合运算
【解析】
（1）根据除以一个数相当于乘以这个数的倒数和同级运算应从左到右的顺序依次进行计算，即可得出答案；
（2）根据有理数的乘除法则进行计算即可．
【解答】
（1）解：第一处是第步，错因是除以一个数相当于乘以这个数的倒数，第二处是，错因是同级运算应从左到右的顺序依次进行计算；
故答案为：，除以一个数相当于乘以这个数的倒数；，同级运算应从左到右的顺序依次进行计算；
（2）解：，
，
，
，
故答案为：．
3.
【答案】
（1）是和的“公平数”，不是和的“公平数”，理由见解析
（2）．
【考点】
有理数除法的应用
【解析】
（1）根据“公平数”的定义即可得；
（2）先求出和在以内的公倍数，再根据“公平数”的定义逐个找出即可得．
【解答】
解：（1）因为，，
所以是和的“公平数”；
因为，，
所以不是和的“公平数”；
（2）因为和的最小公倍数是，
所以和在以内的公倍数是，
①当和的公倍数是时，
余数为的“公平数”是，
余数为的“公平数”是，
余数为的“公平数”是，
余数为的“公平数”是，
即此时的“公平数”是；
②当和的公倍数是时，
余数为的“公平数”是，
余数为的“公平数”是，
余数为的“公平数”是，
余数为的“公平数”是，
即此时的“公平数”是；
综上，在自然数中以内和的“公平数”是．
4.
【答案】
（1）没有除法分配律，故解法一错误；
（2）过程见解析，．
【考点】
有理数的除法
【解析】
（1）根据有理数的运算法则进行判断，可得答案；
（2）根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，即可得出答案．
【解答】
（1）解：没有除法分配律，故解法一错误；
（2）原式的倒数为：
，
所以原式
5.
【答案】
（1）甲
（2）
【考点】
有理数的除法
【解析】
（1）根据解题过程判断即可；
（2）先求出代数式的倒数，再求原数解题即可．
【解答】
（1）解：乙；
（2）解：原式倒数为
；
原式．
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