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§6　用导数研究函数的性质
6.1　函数的单调性
第1课时　导数与函数的单调性
1.D　[解析] 由题得y'=3x2-2x-1,令y'>0,得x>1或x<-,故函数的单调递增区间为,(1,+∞),故选D.
2.C　[解析] 由函数f(x)的图象可知,f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.所以当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,当x∈(-2,2)时,f'(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0.故选C.
3.A　[解析] 由题意知f'(x)=ex+(x-1)ex=xex,由f'(x)<0,得x<0,所以函数f(x)=(x-1)ex的单调递减区间是(-∞,0).故选A.
4.C　[解析] 由题图可知,当x∈(-2,-1)时,f'(x)>0,函数y=f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,函数y=f(x)单调递减,当x∈时,f'(x)>0,函数y=f(x)单调递增,结合选项可知只有C选项满足条件.故选C.
5.A　[解析] f(x)=(x2-x-1)ex+1的定义域为R,f'(x)=(x2+x-2)ex+1=(x+2)(x-1)ex+1.所以当-21时f'(x)>0,所以f(x)在(-2,1)上单调递减,在(-∞,-2)和(1,+∞)上单调递增,当x<-2时,x2-x-1>0,ex+1>0,所以f(x)>0.又f(0)=-e<0,故符合条件的函数图象为A.故选A.
6.A　[解析] 由函数图象与导函数符号的关系可知:当x∈(-∞,-3)∪(-2,1)时,f'(x)<0,当x∈(-3,-2)∪(1,+∞)时,f'(x)>0.故当x∈(-∞,-3)∪(-2,0)∪(1,+∞)时,x·f'(x)>0;当x∈(0,1)时,x·f'(x)<0;当x∈(-3,-2)时,x·f'(x)<0.故x·f'(x)<0的解集为(-3,-2)∪(0,1).故选A.
7.CD　[解析] 由题图可知,当x∈(-3,-1)或x∈(2,4)时,f'(x)<0,∴f(x)在(-3,-1),(2,4)上单调递减;当x∈(-1,2)时,f'(x)>0,∴f(x)在(-1,2)上单调递增.故A,B错误,C,D正确.故选CD.
8.AC　[解析] f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-=.由f'(x)≥0得函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞);由f'(x)≤0得函数f(x)的单调递减区间为(0,3].因为f(x)在区间[m-1,m+1]上单调,且f(x)的图象是一条连续曲线,所以或m-1≥3,解得19.(0,1)　[解析] 由题意知f'(x)=2x-=,其中x>0,令f'(x)<0,得010.　[解析] 因为f(x)=excos x,所以f'(x)=(cos x-sin x)ex,当00,令f'(x)=0,即cos x-sin x=0,得x=或x=.令f'(x)<0,得11.∪(2,+∞)　[解析] 由函数f(x)的图象可知,当x<或x>2时,f'(x)>0;当xf'(x)>0等价于或故不等式xf'(x)>0的解集为∪(2,+∞).
12.(-2,0)∪(0,2)　[解析] 因为函数f(x)的导函数f'(x)在(0,+∞)上满足f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.又f(2)=0,函数f(x)为奇函数,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(-2)=0,故当x∈(-∞,-2)∪(0,2)时,f(x)<0,当x∈(-2,0)∪(2,+∞)时,f(x)>0.因为=->0,所以x∈(-2,0)∪(0,2).
13.证明:y'=2+cos x,因为cos x∈[-1,1],所以1≤2+cos x≤3,
则y'>0恒成立,所以函数y=2x+sin x是R上的增函数.
14.解:(1)当a=1时,f(x)=,则f'(x)=,x≠1,所以f(0)==-1,f'(0)==-2,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-(-1)=-2(x-0),即y=-2x-1.
(2)当a=2时,f(x)=,则f'(x)=,x≠1.令f'(x)=0,得x=,当x<且x≠1时,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1)和,单调递增区间为.
15.C　[解析] 易知y=f(x)与y=f'(x)的图象如图:
当x=0或x=2时,f(x)=0,故g(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞),故排除B,D;当x∈时,f(x)-f'(x)<0,所以g'(x)=<0,故g(x)在上单调递减,同理当x∈(0,1)时,f(x)-f'(x)>0,g'(x)>0,g(x)在(0,1)上单调递增,故C正确,A错误.故选C.
16.(-1,+∞)　[解析] 观察题中图象知,对任意的x∈R,f'(x)>2恒成立.令g(x)=f(x)-2x-4,则g'(x)=f'(x)-2>0,则g(x)在R上是增函数,又g(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0,所以f(x)>2x+4等价于g(x)>g(-1),得x>-1,所以不等式f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).§6　用导数研究函数的性质
6.1　函数的单调性
第1课时　导数与函数的单调性
一、选择题
1.函数y=x3-x2-x-1的单调递增区间为(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C.(-∞,-1), D.,(1,+∞)
2.若可导函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的导函数f'(x)的图象可能是 (　 )
　 A　 　　　B　　　 　C　　 　D
3.[2023·江西赣州四中高二期末] 函数f(x)=(x-1)ex的单调递减区间是 (　 )
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
4.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的部分图象如图所示,则函数y=f(x)在[-2,2]上的大致图象可能是 (　 )
　　　　 A　　　　 　　　　　B
　　　 C　　　　　　 　　　D
5.已知函数f(x)=(x2-x-1)ex+1,则f(x)的大致图象为 (　 )
A　 B 　C 　D
6.函数y=f(x)的图象如图所示,则x·f'(x)<0的解集为(　 )
A.(-3,-2)∪(0,1)
B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(-2,-1)∪(0,+∞)
D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
7.(多选题)[2023·重庆荣昌中学高二期中] 如图为函数f(x)的导函数f'(x)的图象,则下列结论正确的是 (　 )
A.f(x)在(-3,1)上单调递增
B.f(x)在(1,3)上单调递减
C.f(x)在(2,4)上单调递减
D.f(x)在(-1,2)上单调递增
8.(多选题)若函数f(x)=x2-9ln x在区间[m-1,m+1]上单调,则实数m的取值可以是(　 )
A.4 B.0 C.2 D.3
二、填空题
9.[2023·江西萍乡高二期末] 函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是　　　　　　.
10.函数f(x)=excos x在(0,2π)上的单调递减区间是　　　　.
11.[2023·四川乐山延风中学高二期中] 已知定义在R上的函数f(x)的图象如图所示,则不等式xf'(x)>0的解集为　　　　　　.
12.[2023·江西抚州二中高二期末] 奇函数f(x)的导函数f'(x)在(0,+∞)上满足f'(x)>0,且f(2)=0,则不等式>0的解集为　　　　　　.
三、解答题
13.证明:函数y=2x+sin x是R上的增函数.
14.已知函数f(x)=.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)当a=2时,求函数f(x)的单调区间.
15.已知函数y=f(x)与其导函数y=f'(x)在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示,则g(x)= (　 )
A.在区间(0,1)上单调递减
B.在区间(1,4)上单调递减
C.在区间上单调递减
D.在区间上单调递减
16.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,f'(x)为f(x)的导函数,已知f'(x)的图象如图所示,则f(x)>2x+4的解集为　　　　. (共22张PPT)
§6 用导数研究函数的性质
6.1 函数的单调性
第1课时 导数与函数的单调性
探究点一 利用函数单调性解决函数与
导函数的图象问题
探究点二 求不含参数的函数的单调区间
【学习目标】
1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性.
3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
知识点一 导数的符号与函数的单调性的关系
1.若在某个区间上，函数的导数 ，则在这个区间上，函数
单调______； 若在某个区间上，函数的导数 ，则在
这个区间上，函数 单调______.
递增
递减
2.若在某个区间上， ,且只在有限个点为0，则在这个区间上，函数
单调______；若在某个区间上， ,且只在有限个点为0，则在
这个区间上，函数 单调______.
即对于可导函数来说,在某个区间上，“”是“ 在这个区间上
单调递增”的____________条件,“”是“ 在这个区间上单调递减”的
____________条件.
递增
递减
充分不必要
充分不必要
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在区间上,如果,那么函数在区间 上单调递增.
( )
√
（2）在区间上,如果,那么函数在区间 上单调递减.
( )
√
（3）如果在某个区间上，方程存在实数解,那么函数 是常函数. ( )
×
（4）“对任意,都有”是“在 上单调递增”的充要条
件.( )
×
知识点二 利用导数判断函数的单调性的一般步骤
第1步,确定函数 的________;
第2步,求出导函数 的______;
第3步,用的零点将的定义域划分为若干个______,列表给出 在各区
间上的______,由此得出函数 在定义域内的________.
定义域
零点
区间
正负
单调性
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数 在定义域内是增函数.( )
√
（2）函数的单调递减区间是 .( )
×
探究点一 利用函数单调性解决函数与导函数的图象问题
例1（1） 已知函数的导函数 的图象如图所示，则
的图象可能是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由题图可知，当时，，则在 上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
当时， ，则在 上单调递减.结合各选项，
只有D符合要求.故选D.
（2）设函数在定义域内可导， 的图象如图所
示，则其导函数 的图象可能是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由的图象可知，当时，函数单调递增，则 ，
故排除C，D；
当时， 先减、后增再减，
所以所对应的导数值应该先小于0，后大于0，再小于0，故排除B.故选A.
变式（1） 如果可导函数 的部分图象如图所示,那么
其导函数 的部分图象可能是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由函数在区间上的单调性可以得到其导函数 在
区间上的正负情况是正 负 正 负,故选A.
（2）在上可导的函数 的图象如图所示，则关
于的不等式 的解集为( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 由题图可知，当时，，若，则 ；
当时，，若，则；
当 时，，此时不等式无解；
当时， ，此时不等式无解.
综上可得，不等式的解集为 .故选A.
［素养小结］
原函数图象与导函数图象的关系：
（1）原函数在某区间上单调递增，则导函数在对应区间上的图象在 轴的上方
（允许图象上个别点在 轴上）；原函数在某区间上单调递减，则导函数在对应
区间上的图象在轴的下方（允许图象上个别点在 轴上）.
（2）原函数图象越陡峭，则导函数的函数值的绝对值越大.
探究点二 求不含参数的函数的单调区间
例2（1） 函数 的单调递减区间是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 易知的定义域是 ，
且，令，可得，
故 的单调递减区间为 ，故选A.
（2）求函数 的单调区间.
解：由,得.
由，得 或，
由，得.
故函数 的单调递增区间是和，单调递减区间是 .
变式 若函数，则 的单调递增区间是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由，可得 ，
令，解得，所以的单调递增区间是 ，故选B.
［素养小结］
利用导数判断可导函数在内的单调性,其步骤是:（1）求 ;（2）确
定在 内的符号;（3）得出结论.
1.在区间上,是在 上单调递增的充分不必要条件.例如:若
,则,所以,,而函数在 上是增
函数.
学生易误认为只要在上有,则在 上是常函数,要明白个别
数使得导数值为零不影响函数的单调性.同时要强调只有在这个区间上恒有
,函数 在这个区间上才为常函数.
2.函数在区间 上单调递增或单调递减的判定可依据单调性的定义或导
数,应根据问题的具体条件适当选用方法.有时需将区间 划分成若干个小区
间,在每个小区间上分别判定单调性.
3.利用导数研究多项式函数的单调性的一般步骤.
（1）求 .
（2）确定在 上的符号.
（3）若在上恒成立,则在上单调递增;若 在
上恒成立,则在 上单调递减.
例1 函数是定义在上的可导函数,则“在 上是增函数”是
“ ”的( )
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若函数在上是增函数,则在上恒成立,且在 的
任意子区间内都不恒等于0,此时推不出 .
根据导数与函数单调性的关系,
由显然能推出函数在上是增函数.
所以“函数在 上是增函数”是“ ”的必要不充分条件.
例2 若,,，则，， 的大小 关系为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 令，则，所以当时， ，
当时， ，
所以在上单调递增，在 上单调递减.
易知,, ,
因为,所以,即 .故选A.
例3 若函数，则满足的实数 的取值范
围是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以，
所以在 上单调递增，因为，所以，
解得 .故选D.§6　用导数研究函数的性质
6.1　函数的单调性
第1课时　导数与函数的单调性
【课前预习】
知识点一
1.递增　递减　2.递增　递减　充分不必要　充分不必要
诊断分析
(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
知识点二
定义域　零点　区间　正负　单调性
诊断分析
(1)√　(2)×
【课中探究】
探究点一
例1　(1)D　(2)A　[解析] (1)由题图可知,当x<0时,f'(x)<0,则f(x)在(-∞,0)上单调递减;当00,则f(x)在(0,2)上单调递增;当x>2时,f'(x)<0,则f(x)在(2,+∞)上单调递减.结合各选项,只有D符合要求.故选D.
(2)由y=f(x)的图象可知,当x∈(-∞,0)时,函数单调递增,则f'(x)≥0,故排除C,D;当x∈(0,+∞)时,y=f(x)先减、后增再减,所以所对应的导数值应该先小于0,后大于0,再小于0,故排除B.故选A.
变式　(1)A　(2)A　[解析] (1)由函数y=f(x)在区间[-4,4]上的单调性可以得到其导函数y=f'(x)在区间[-4,4]上的正负情况是正→负→正→负,故选A.
(2)由题图可知,当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,若xf'(x)<0,则x<-1;当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,若xf'(x)<0,则00,此时不等式xf'(x)<0无解;当x=±1时,f'(x)=0,此时不等式xf'(x)<0无解.综上可得,不等式xf'(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选A.
探究点二
例2　(1)A　[解析] 易知f(x)=x+-3ln x的定义域是(0,+∞),且f'(x)=1--=,令f'(x)<0,可得0(2)解:由f(x)=x3-3x+1,得f'(x)=3x2-3.由f'(x)=3x2-3>0,得x>1或x<-1,由f'(x)=3x2-3<0,得-1变式　B　[解析] 由f(x)=,可得f'(x)==,令f'(x)>0,解得6.1　函数的单调性
第1课时　导数与函数的单调性
【学习目标】
1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性.
3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
◆ 知识点一　导数的符号与函数的单调性的关系
1.若在某个区间上,函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调　　　　; 若在某个区间上,函数y=f(x)的导数f'(x)<0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调　　　　.
2.若在某个区间上,f'(x)≥0,且只在有限个点为0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调　　　　;若在某个区间上,f'(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调　　　　.
即对于可导函数y=f(x)来说,在某个区间上,“f'(x)>0”是“f(x)在这个区间上单调递增”的　　　　　　条件,“f'(x)<0”是“f(x)在这个区间上单调递减”的　　　　　　条件.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增. (　 )
(2)在区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. (　 )
(3)如果在某个区间上,方程f'(x)=0存在实数解,那么函数f(x)是常函数. (　 )
(4)“对任意x∈(a,b),都有f'(x)>0”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的充要条件. (　 )
◆ 知识点二　利用导数判断函数的单调性的一般步骤
第1步,确定函数y=f(x)的　　　　;
第2步,求出导函数f'(x)的　　　　;
第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个　　　　,列表给出f'(x)在各区间上的　　　　,由此得出函数y=f(x)在定义域内的　　　　.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)=x+ln x在定义域内是增函数. (　 )
(2)函数f(x)=ex-x的单调递减区间是(0,+∞). (　 )
◆ 探究点一　利用函数单调性解决函数与导函数的图象问题
例1 (1)已知函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则f(x)的图象可能是 (　 )
A　　B
C　　D
(2)设函数y=f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则其导函数y=f'(x)的图象可能是(　 )
　　　　　　 A　　　　　　　　 B
　　　　　 　C　　　　　 　　　D
变式 (1)如果可导函数y=f(x)的部分图象如图所示,那么其导函数y=f'(x)的部分图象可能是 (　 )
　　　　　　 A　　　　 　　　　B
　　　　　 　C　　 　　　　　　D
(2)在R上可导的函数y=f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式xf'(x)<0的解集为(　 )
A.(-∞,-1)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-2,0)∪(0,2)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
[素养小结]
原函数图象与导函数图象的关系:
(1)原函数在某区间上单调递增,则导函数在对应区间上的图象在x轴的上方(允许图象上个别点在x轴上);原函数在某区间上单调递减,则导函数在对应区间上的图象在x轴的下方(允许图象上个别点在x轴上).
(2)原函数图象越陡峭,则导函数的函数值的绝对值越大.
◆ 探究点二　求不含参数的函数的单调区间
例2 (1)函数f(x)=x+-3ln x的单调递减区间是 (　 )
A.(0,4)　　　　　　　　B.(0,5)
C.(4,+∞) D.(1,5)
(2)求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间.
变式 若函数f(x)=,则f(x)的单调递增区间是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
[素养小结]
利用导数判断可导函数f(x)在(a,b)内的单调性,其步骤是:(1)求f'(x);(2)确定f'(x)在(a,b)内的符号;(3)得出结论.

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