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单元素养测评卷(二)A
1.A　[解析] 因为函数f(x)=x2+2,所以该函数在区间[1,3]上的平均变化率为==4,故选A.
2.D　[解析] 由题意,=-=-f'(3)=2,所以f'(3)=-2.故选D.
3.B　[解析] 由题得y'=,当x=时,y'=4,所以曲线y=-在点处的切线斜率为4,所以曲线y=-在点处的切线方程是y+2=4,即y=4x-4,故选B.
4.D　[解析] y=ln x-x的定义域为(0,+∞),其导函数为y'=-1,令y'<0,得x>1,故y=ln x-x的单调递减区间为(1,+∞).故选D.
5.B　[解析] 若函数y=-x3+ax在(0,1)上单调递增,则y'=-3x2+a≥0在(0,1)上恒成立,又当0(-3)×12+a≥0,解得a≥3,所以“函数y=-x3+ax在(0,1)上单调递增”是“实数a>3”的必要不充分条件.故选B.
6.B　[解析] 当x>0时,f(x)=ex-sin x,f'(x)=ex-cos x>1-cos x≥0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,当x<0时,f(x)=e-x-sin x,f'(x)=-e-x-cos x<-1-cos x≤0,∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,排除A,D;由f(-x)=e|-x|-sin(-x)=e|x|+sin x可知f(-x)≠f(x),∴f(x)不是偶函数,f(x)的图象不关于y轴对称,排除C.故选B.
7.C　[解析] 因为f(x)是奇函数且是R上的单调函数,所以函数y=f(x3+1)+f(-3x-λ)有三个不同的零点等价于关于x的方程x3-3x+1=λ在R上有三个不同的实数解,即函数g(x)=x3-3x+1的图象与直线y=λ有三个不同的交点.由g(x)=x3-3x+1,得g'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).当x∈(-∞,-1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(-1,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以g(x) 的极大值为g(-1)=3,极小值为g(1)=-1,又当x趋于-∞时,g(x)趋于-∞,当x趋于+∞时,g(x)趋于+∞,所以λ的取值范围为(-1,3),故选C.
8.B　[解析] 因为 f(x+1)是奇函数,所以 f(-x+1)=-f(x+1),两边求导得-f'(-x+1)=-f'(x+1),即f'(-x+1)=f'(x+1),又g(x)=f'(x),所以g(-x+1)=g(x+1),即g(x)=g(-x+2),令x=2,可得g(2)=g(0),因为g(x)是定义域为R的奇函数,所以g(0)=0,即g(2)=0.因为g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x),又g(x)=g(-x+2),所以g(-x+2)=-g(-x),则g(x+2)=-g(x),g(x+4)=-g(x+2)=g(x),所以g(10)=g(2)=0.故选B.
9.ABC　[解析] 对于A,[log2(2x)]'==,故A中运算不正确;对于B,'==,故B中运算不正确;对于C,(3x)'=3xln 3,故C中运算不正确;对于D,(xsin 2x)'=sin 2x+x(sin 2x)'=sin 2x+x·2cos 2x=sin 2x+2xcos 2x,故D中运算正确.故选ABC.
10.BC　[解析] 取f(x)=2x,g(x)=2x+1,则满足f'(x)>0,g'(x)>0,h(x)=f(x)-g(x)=2x(1-2)=-2x,显然h(x)是减函数,故A错误;取f(x)=-x,g(x)=-2x,满足f'(x)<0,g'(x)<0,则h(x)=f(x)-g(x)=x,显然h(x)是增函数,故D错误;当f'(x)>0,g'(x)<0时,函数f(x)为增函数,g(x)为减函数,则-g(x)为增函数,所以h(x)=f(x)-g(x)为增函数,故B正确;当f'(x)<0,g'(x)>0时,f(x)为减函数,g(x)为增函数,-g(x)为减函数,所以h(x)=f(x)-g(x)为减函数,故C正确.故选BC.
11.ACD　[解析] 当x>0时,f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),当03时,f'(x)>0,当1f(x)在(0,1)上单调递增,且f(1)=5,当x∈(-1,a)时,函数f(x)的值域是[1,5],而f(x)在(-1,0)上单调递减,f(-1)=2,则a>1,又f(x)在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,所以f(a)=a3-6a2+9a+1≤5,即(a-1)2(a-4)≤0,得a≤4,因此112.-1　[解析] ∵f(x)=2xf'(e)+ln x,∴f'(x)=2f'(e)+,∴f'(e)=2f'(e)+,解得f'(e)=-,∴f(x)=-+ln x,∴f(e)=-2+1=-1.
13.　[解析] 由f(x)=(x2+ax+1)e-x,得f'(x)=(2x+a)e-x-(x2+ax+1)e-x,因为x=-1是函数f(x)=(x2+ax+1)e-x的极值点,所以f'(-1)=0,即(-2+a)e-(1-a+1)e=0,解得a=2,所以f(x)=(x2+2x+1)e-x,f'(x)=(2x+2)e-x-(x2+2x+1)e-x=(-x2+1)e-x.令f'(x)=0,则(-x2+1)e-x=0,得x=±1,随着x的变化,f'(x)和f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
y=f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
所以当x=1时,函数f(x)取得极大值f(1)=4e-1=.
14.[1,+∞)　[解析] 易知函数y=ex-a,y=ln(x+1)-b都是增函数,都至多有一个零点,∵(ex-a)[ln(x+1)-b]≥0恒成立,∴函数y=ex-a,y=ln(x+1)-b均有零点,且有公共零点,记为x0(x0>-1),则即∴a-b=-ln(x0+1)(x0>-1).设f(x)=ex-ln(x+1)(x>-1),则f'(x)=ex-,∴f'(0)=0,f'(x)在(-1,+∞)上是增函数,∴f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)min=f(0)=1,当x趋于+∞时,f(x)趋于+∞,∴a-b∈[1,+∞).
15.解:(1)∵y=x3-2x,∴y'=3x2-2,当x=2时,y'=10,∴曲线S在点A处的切线方程为y-4=10(x-2),即10x-y-16=0.
(2)设P(x0,-2x0)为切点,则切线的斜率为3-2,故切线方程为y-(-2x0)=(3-2)(x-x0).又切线过点B(1,-1),∴将点B的坐标代入切线方程得-1-(-2x0)=(3-2)(1-x0),解得x0=1或x0=-,故所求的直线方程为x-y-2=0或5x+4y-1=0.
16.解:(1)由题知f(x)=+x2-x3的定义域为R,f'(x)=+2x-x2===.令f'(x)<0,解得x>2或x<0,即函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞).
(2)由(1)可知函数f(x)在[-1,0]和[2,3]上单调递减,在(0,2)上单调递增,所以函数f(x)在x=0处取得极小值f(0)=0,在x=2处取得极大值f(2)=+.又f(-1)=e+,f(3)=>0,且e+>+,所以函数f(x)在[-1,3]上的最大值为f(-1)=e+,最小值为f(0)=0.
17.解:(1)函数f(x)=+1+aln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=-=.当a≤0时,f'(x)=<0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.当a>0时,f'(x)=,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上是减函数;当a>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增.
(2)当a=0时,f(x)=+1+0×ln x=+1,x∈(0,+∞),f(x)>1,符合题意.由(1)可知,当a<0时,f(x)在(0,+∞)上是减函数,f()=<1,不符合题意.当a>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,要想满足f(x)≥1,则f(x)min=f≥1.∵f=a+1-aln a,∴f≥1即为a-aln a≥0,化简得ln a≤1,即018.解:(1)因为线段AB为半圆弧AB的直径,所以∠ACB=90°,则BC==(千米),由题意可得可得0(2)由(1)知y=2x+4,其中00,此时函数y=2x+4单调递增,当219.解:(1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),因为f(x)=,所以f'(x)=.令g(x)=1--ln x,则g'(x)=,易知函数g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.又因为g(1)=0,所以当x∈(0,1)∪(1,+∞)时,g(x)<0,即f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(0,1),(1,+∞)上均单调递减.
(2)由λx2-λx≥(eλx-1)ln x,得(x-1)ln eλx≥(eλx-1)ln x①,当λ>0,x>1时,x-1>0,eλx-1>0,不等式①可化为≥,即f(eλx)≥f(x),由λ>0,x>1知eλx∈(1,+∞),由(1)知,f(x)在(1,+∞)上单调递减,故存在x∈(1,+∞),使eλx≤x成立.由eλx≤x两边同取自然对数,得λx≤ln x,即λ≤.令φ(x)=(x>1),则φ'(x)=,令φ'(x)=0,得x=e.当x∈(1,e)时,φ'(x)>0,函数φ(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,φ'(x)<0,函数φ(x)单调递减,则φ(x)max=φ(e)=,所以λ≤,又λ>0,所以λ的取值范围是.单元素养测评卷(二)A
第二章
时间:120分钟　分值:150分　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2023·天津实验中学高二期末] 已知函数f(x)=x2+2,则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为 (　 )
A.4 B.3
C.2 D.1
2.[2023·武汉部分重点中学期末] 已知函数f(x)可导,且满足=2,则函数f(x)在x=3处的导数为 (　 )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
3.曲线y=-在点处的切线方程是 (　 )
A.y=-4x B.y=4x-4
C.y=4x+4 D.y=-4x+4
4.函数y=ln x-x的单调递减区间为 (　 )
A.(-∞,1) B.(-1,1)
C.(0,1) D.(1,+∞)
5.“函数y=-x3+ax在(0,1)上单调递增”是“实数a>3”的(　 )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.函数f(x)=e|x|-sin x的图象大致是 (　 )
A B C D
7.已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数,若函数y=f(x3+1)+f(-3x-λ)有三个不同的零点,则实数λ的取值范围为 (　 )
A.(-3,1) B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(-1,3) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
8.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且f(x+1)是奇函数,记g(x)=f'(x),若g(x)是奇函数,则g(10)=(　 )
A.2 B.0 C.-1 D.-2
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2023·江苏盐城中学高二期末] 下列求导运算不正确的是(　 )
A.[log2(2x)]'=
B.'=
C.(3x)'=3xln x
D.(xsin 2x)'=sin 2x+2xcos 2x
10.[2024·江西大余中学高二期末] 设f(x),g(x)有公共的定义域,且都是单调函数,f(x),g(x)的导函数分别为f'(x),g'(x),h(x)=f(x)-g(x),则下列结论中正确的是(　　)
A.若f'(x)>0,g'(x)>0,则h(x)为增函数
B.若f'(x)>0,g'(x)<0,则h(x)为增函数
C.若f'(x)<0,g'(x)>0,则h(x)为减函数
D.若f'(x)<0,g'(x)<0,则h(x)为减函数
11.已知函数f(x)=则下列说法正确的是 (　 )
A.函数f(x)有一个极大值点
B.函数f(x)有一个极小值点
C.若当x∈(-1,a)时,函数f(x)的值域是[1,5],则1D.当1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数f(x)的导函数为f'(x),f(x)=2xf'(e)+ln x,则f(e)=　　　　.
13.若x=-1是函数f(x)=(x2+ax+1)e-x的极值点,则f(x)的极大值为　　　　.
14.若(ex-a)[ln(x+1)-b]≥0恒成立,则a-b的取值范围是　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知曲线S:y=x3-2x.
(1)求曲线S在点A(2,4)处的切线方程;
(2)求过点B(1,-1)且与曲线S相切的直线方程.
16.(15分)已知函数f(x)=+x2-x3.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值.
17.(15分)已知函数f(x)=+1+aln x(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
18.(17分)如图所示,两村庄A和B相距10千米,现计划在两村庄外以线段AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造自来水厂,并沿线段CA和CB铺设引水管道.根据调研分析,CA段的引水管道造价为2万元/千米,CB段的引水管道造价为m万元/千米,设CA=x千米,铺设引水管道的总造价为y万元,且已知当自来水厂建在半圆弧AB的中点时,y=30.
(1)求m的值,并将y表示为x的函数.
(2)y是否存在最大值 若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
19.(17分)已知函数f(x)=.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)已知λ>0,若存在x∈(1,+∞),使不等式λx2-λx≥(eλx-1)ln x成立,求λ的取值范围.

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