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9.2.3　向量的数量积
第1课时　向量数量积的定义、投影向量
【课前预习】
知识点一
1.|a||b|cos θ　a·b　a·b=|a||b|cos θ　0
2.　[0°,180°]
诊断分析
1.解:向量的线性运算结果是向量,而向量的数量积运算结果是数量.
2.解:数量积的符号是由两个非零向量的夹角θ决定的.当0°≤θ<90°时,非零向量的数量积为正数.当θ=90°时,非零向量的数量积为零.当90°<θ≤180°时,非零向量的数量积为负数.
知识点二
(1)a·b=0　(2)|a||b|　-|a||b|　|a|2　
(3)a∥b
诊断分析
(1)×　(2)√　[解析] (1)∵a∥b,∴当a与b同向时,a·b=|a|·|b|=8;当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|=-8.
知识点三
投影　投影向量　(|a|cos θ)　投影向量　数量积
a·b=·b
诊断分析
C　[解析] a在e上的投影向量为(|a|cos 30°)e=(4×cos 30°)e=2e.
【课中探究】
探究点一
例1　解:设a与b的夹角为θ.
(1)若a与b同向,则θ=0°,∴a·b=|a|·|b|cos 0°=4×5=20;若a与b反向,则θ=180°,∴a·b=|a|·|b|cos 180°=4×5×(-1)=-20.
(2)当a⊥b时,θ=90°,∴a·b=|a|·|b|cos 90°=0.
(3)当a与b的夹角为30°时,a·b=|a|·|b|cos 30°=4×5×=10.
变式　0　16　-16　[解析] 由题意知B=90°,A=C=45°,AC=4,∴·=0,·=||·||·cos 45°=4×4×=16,
·=||·||·cos 135°=4×4×=-16.
探究点二
例2　C　[解析] 由平面向量数量积的定义知①正确;当a,b反向共线时,a·b=-|a||b|,故②错误;③显然正确;若a+b=0,则a=-b,又a,b,c是三个非零向量,所以a·c=-b·c,所以|a·c|=|b·c|,故④正确;|a·b|=|a||b|·|cos θ|,a·b=|a||b|cos θ,所以|a·b|≥a·b,故⑤错误;当a与b的夹角为0°时,也有a·b>0,故⑥错误.综上可知,①③④正确.故选C.
变式　C　[解析] 对于①,设a,b的夹角为θ,∵a·b=|a||b|cos θ,a·b=±|a||b|,a,b为非零向量,∴cos θ=±1,∴θ=0或π,∴a∥b,故①正确;对于②,若a,b反向共线,则a,b的夹角为π,∴a·b=|a||b|·cos π=-|a||b|,故②正确;对于③,将向量a,b的起点平移到同一点,以表示向量a,b的有向线段为邻边作平行四边形,因为a⊥b,所以该平行四边形必为矩形,于是它的两条对角线长相等,则|a+b|=|a-b|,故③正确;对于④,|a|=|b|,则当a与c的夹角和b与c的夹角不相等时,|a·c|≠|b·c|,故④错误.综上可知,①②③正确.故选C.
探究点三
例3　解:(1)∵|b|=1,∴b为单位向量,
∴向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 120°·b=3×b=-b.
(2)∵|a|=3,∴=a,
∴向量b在向量a上的投影向量为|b|cos 120°·=1××a=-a.
变式　(1)A　(2)B　(3)-e　[解析] (1)在等边三角形ABC中,∵∠BAC=60°,∴向量在向量上的投影向量为,∴向量在向量上的投影向量为-.故选A.
(2)因为a在b上的投影向量为·=b,所以a·b=|b|2=.故选B.
(3)由题意得,向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 120°·e=2×·e=-e.9.2.3　向量的数量积
第1课时　向量数量积的定义、投影向量
1.D　[解析] 设a,b的夹角为θ,则θ=.因为|a|=2|b|,θ=,所以a在b上的投影向量为|a|cos θ·=cos θ·b=2cos·b=-3b.故选D.
2.B　[解析] A中说法显然正确;当a,b都是非零向量,且a⊥b时,a·b=0也成立,故B中说法错误;设a,b的夹角为θ,若a,b都是非零向量,则|a·b|=||a||b|cos θ|≤|a||b|,若a=0或b=0,则|a·b|=0=|a||b|,故C中说法正确;设a,b的夹角为θ,当a,b都是非零向量且共线时,θ=0或θ=π,则cos θ=±1,所以a·b=±|a||b|,当a=0或b=0时,a·b=0=|a||b|,也满足a·b=±|a||b|,故D中说法正确.故选B.
3.A　[解析] 设a,b的夹角为θ,则a在b上的投影向量为|a|cos θ·e=4e,∴|a|cos θ=4,∴a·b=|a||b|cos θ=4×3=12.故选A.
4.C　[解析] 设a,b的夹角为θ,则cos θ===-,因为θ∈[0°,180°],所以θ=120°,即a与b的夹角是120°.故选C.
5.D　[解析] a,b是两个单位向量,则|a|=|b|=1,但a,b方向不能确定,故选项A,B错误;设a,b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ=cos θ,只有a,b同向共线时,才有cos θ=1,故选项C错误;∵a2=|a|2=1,b2=|b|2=1,∴a2=b2,故选项D正确.故选D.
6.B　[解析] 若·>0,则·<0,所以cos B<0,又因为B∈(0,π),所以B为钝角,则△ABC为钝角三角形,必要性成立;若△ABC为钝角三角形,则B不一定为钝角,无法推出·>0,充分性不成立.故“△ABC为钝角三角形”是“·>0”的必要不充分条件.故选B.
7.B　[解析] 设与的夹角为θ,则·=||||cos θ=||×||=4×2=8.故选B.
8.ACD　[解析] e1在e2上的投影向量为|e1|·e2cos θ=e2cos θ,故A正确;e1·e2=|e1||e2|cos θ=cos θ,故B不正确;=|e1|2=1,=|e2|2=1,故C正确;作a=,b=,以OA,OB为邻边作平行四边形,则该平行四边形为菱形,其两条对角线互相垂直,所以(e1+e2)⊥(e1-e2),故D正确.故选ACD.
9.ABD　[解析] 对于A,由题意可知∠ACB=∠FCB=,则∠ACF=,所以·=0,故A正确;对于B,如图,设M,N分别为AB,HG的中点,连接IM,CN,则在上的投影向量为=,故B正确;对于C,因为与的夹角为,所以·<0,故C错误;对于D,在上的投影向量为=2,故D正确.故选ABD.
10.-28　[解析] 因为C=60°,BC=7,AC=8,所以·=-·=-7×8×cos 60°=-28.
11.　[解析] 因为a⊥b,所以根据向量加法的平行四边形法则可得向量a+b如图所示,又因为向量a+b与a的夹角为30°,所以|a|=|b|=.
12.-　[解析] 由+=2,可知点O为BC的中点,又O是△ABC的外心,所以AB⊥AC,则||=||,又因为||=||,所以∠ABO=60°.设与的夹角为θ,则θ=120°,所以向量在向量上的投影向量为||×cos 120°×=×=-.
13.解:(1)∵=,∴·==9.
(2)∵=-,∴·=-=-16.
(3)·=||||cos∠DAB=4×3×=6.
(4)∵=-,∴·=-·=
-||||cos∠DAB=-3×4×cos 60°=-6.
14.解:由已知得|c|=|a|+|b|,c=-a-b,∴向量a与b同向,而向量c与它们方向相反,∴a·b+b·c+c·a=3cos 0°+4cos 180°+12cos 180°=3-4-12=-13.
15.B　[解析] 因为θ∈,所以0,所以016.解:由投影向量的定义可知,当点P在线段CD(包括端点)上时,·取得最大值,
如图,延长DC,交AB的延长线于点T,
则·的最大值为·.
因为正八边形的外角为45°,即∠CBT=45°,AB=BC=2,
所以BT=2cos 45°=,AT=AB+BT=2+,
所以·=2(2+)=4+2,
故·的最大值为4+2.9.2.3　向量的数量积
第1课时　向量数量积的定义、投影向量
一、选择题
1.已知|a|=2|b|,且a,b的夹角为,则a在b上的投影向量为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.b B.-b
C.3b D.-3b
2.下列说法中错误的是 (　 )
A.对于任意向量a,都有0·a=0
B.若a·b=0,则a=0或b=0
C.对于任意向量a,b,都有|a·b|≤|a||b|
D.若a,b共线,则a·b=±|a||b|
3.已知|a|=6,|b|=3,向量a在b上的投影向量是4e(e是与b同向的单位向量),则a·b=(　 )
A.12 B.8
C.-8 D.2
4.已知|a|=,|b|=2,a·b=-3,则a与b的夹角是 (　 )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
5.[2024·南通高一期中] 若a,b是两个单位向量,则下列结论中正确的是 (　 )
A.a=b B.a∥b
C.a·b=1 D.a2=b2
6.在△ABC中,“△ABC为钝角三角形”是“·>0”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.[2024·盐城六校高一期中] 圆是中华民族传统文化的形态象征,象征着“圆满”和“饱满”,是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图是一个圆,圆心为O,点A,B是圆O上的两点,若||=4,则·= (　 )
A.4 B.8 C.8 D.16
8.(多选题)已知两个单位向量e1,e2的夹角为θ,则下列说法正确的是 (　 )
A.e1在e2上的投影向量为e2cos θ
B.e1·e2=1
C.=
D.(e1+e2)⊥(e1-e2)
9.(多选题)如图,I,J分别为CD,CE的中点,四边形ABCD、四边形BCEF和四边形GHIJ均为正方形,则 (　 )
A.·=0
B.在上的投影向量为
C.·>0
D.在上的投影向量为2
二、填空题
10.[2024·盐城五校高一期中] 已知△ABC中,BC=7,AC=8,C=60°,则·=　　　　.
11.[2024·重庆巴蜀中学高一期中] 已知非零向量a和单位向量b满足a⊥b,且向量a+b与a的夹角为30°,则|a|=　　　　.
12.[2024·淄博高一期中] 已知O是△ABC的外心,+=2,||=||,则向量在向量上的投影向量为　　　　.
三、解答题
13.如图,在平行四边形ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求:
(1)·;
(2)·;
(3)·;
(4)·.
14.若向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4,求a·b+b·c+c·a.
15.对任意两个非零的平面向量α和β,定义α°β=.若平面向量a,b满足|a|≥|b|>0,a与b的夹角θ∈,且a°b和b°a都是集合的元素,则a°b+b°a= (　 )
A. B.2
C. D.3
16.[2024·泰州中学高一月考] 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,图①是一个正八边形窗花,图②是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.若正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点,求·的最大值.(共38张PPT)
9.2 向量运算
9.2.3 向量的数量积
第1课时 向量数量积的定义、投影向量
探究点一 向量数量积的运算
探究点二 平面向量数量积的基本性质
探究点三 投影向量
【学习目标】
1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理
意义,会计算平面向量的数量积.
2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义,
体会平面向量数量积与投影向量的关系.
1.定义:已知两个非零向量和,它们的夹角是 ,我们把数量__
___________叫作向量和 的数量积，记作_____,即_________________.
我们规定：零向量与任一向量的数量积为___.
知识点一 向量的数量积
0
2.两个非零向量和的夹角公式:两个非零向量和的夹角 ，可以
由 _ ____求得.特别注意向量夹角的取值范围是__________.
【诊断分析】
1.向量的数量积的运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？
解：向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积运算结果是数量.
2.两个非零向量的数量积是否可为正数、负数和零，其数量积的符号
是由什么来决定的？
解：数量积的符号是由两个非零向量的夹角 决定的.
当 时，非零向量的数量积为正数.
当 时，非零向量的数量积为零.
当 时，非零向量的数量积为负数.
知识点二 数量积的性质
设,是非零向量,它们的夹角是 ,则
（1） _________.
（2）当与同向时,______;当与反向时, ________.
特别地,_____或 _______,此性质可用来求向量的模,
这两个等式实现了实数运算与向量运算的相互转化.
（3）对任意两个向量,, ,当且仅当______时等号成立.
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）已知，，且，则 .( )
×
[解析] ， 当与同向时，；
当与 反向时， .
（2）设向量与的夹角为 ,则的充要条件是 .
( )
√
知识点三 投影向量
投影向量:如图所示,设,是两个非零向量,表示向量, 表示向
量,过点作所在直线的垂线，垂足为点.我们将上述由向量
得到向量的变换称为向量向向量______, 向量称为向量
在向量 上的__________.
投影
投影向量
对于向量,,向量在向量 上的投影向量为_ ___________.
向量和的数量积就是向量在向量上的__________与向量 的
________，即______________.
投影向量
数量积
【诊断分析】
若,,与的夹角为 ,则在 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
[解析] 在上的投影向量为 .
√
探究点一 向量数量积的运算
例1 已知， .
（1）若，求 的值；
若与同向，则 ，
；
若与反向，则 ，
.
解：设与的夹角为 .
（2）若，求 的值；
解：当时， ， .
（3）若与的夹角为 ，求 的值.
解：当与的夹角为 时，
.
变式 在等腰直角三角形中，，则 ___，
____， _____.
0
16
[解析] 由题意知 ， ， ，
，
，
.
［素养小结］
求平面向量数量积的一般步骤：（1）求与的夹角 ， ；
（2）分别求和；（3）代入公式 ，求数量积
要特别注意书写时与 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，
也不能省去.
探究点二 平面向量数量积的基本性质
例2 给出以下结论:;②若非零向量, 共线,则
;;④已知,,是三个非零向量,若 ,
则;;⑥若非零向量,满足,则
与 的夹角为锐角.其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 由平面向量数量积的定义知①正确;当, 反向共线时,
,故②错误;③显然正确;若,则,又,,
是三个非零向量,所以,所以 ,故④正确;
, ,所以 ,故⑤
错误;当与的夹角为 时,也有 ,故⑥错误.综上可知,①③④
正确.故选C.
变式 已知,, 是三个非零向量,则下列说法中正确的个数为( )
①若,则 ;
②若,反向共线,则 ;
③若,则 ;
④若,则 .
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 对于①,设,的夹角为 , ,
，,为非零向量,,或 , ,
故①正确;对于②,若,反向共线,则,的夹角为 ,
,故②正确;对于③,将向量, 的起点
平移到同一点,以表示向量, 的有向线段为邻边作平行四边形,因为
，所以该平行四边形必为矩形,于是它的两条对角线长相等,则
,故③正确;对于④,,则当与的夹角和与
的夹角不相等时, ,故④错误.综上可知,①②③正确.故选C.
［素养小结］
当非零向量，满足，且，不共线时，与 的夹角为锐
角；当非零向量，满足，且，不共线时，与 的夹角
为钝角.
探究点三 投影向量
例3 已知,,向量与向量的夹角为 ,求:
（1）向量在向量 上的投影向量;
解：, 为单位向量,
向量在向量上的投影向量为.
（2）向量在向量 上的投影向量.
解：,, 向量在向量 上的投影向量为
.
变式（1） 已知等边三角形的边长为2,则向量在向量 上的
投影向量为( )
A. B. C. D.
[解析] 在等边三角形中, , 向量在向量 上
的投影向量为, 向量在向量上的投影向量为 .故选A.
√
（2）已知,若在上的投影向量为,则 ( )
A.3 B. C.2 D.
[解析] 因为在上的投影向量为,所以 .
故选B.
（3）若,,向量与向量的夹角为 ,与 方向相同
的单位向量为,则向量在向量 上的投影向量为____.
[解析] 由题意得,向量在向量 上的投影向量为
.
√
［素养小结］
对于非零向量,,向量在向量上的投影向量为 .
1.关于平面向量夹角的注意事项:
（1）在向量夹角定义中强调了“非零向量”,而向量又不能避开零向量.
事实上,由于零向量的方向不定,因此零向量与任一向量的夹角就没有
什么意义.教材中只是规定零向量与任一向量平行，但不谈零向量与
任一向量的夹角.
（2）根据两个向量的夹角的定义知，两个非零向量与 的夹角的取
值范围是 ，它包括零角、锐角、直角、钝角和平角这些情况，
在实际解答问题时容易出现遗漏或偏差，因此要引起我们的高度重
视.在具体解题时，要根据题意，把各种情况加以全面考虑.
2. ,既可以用来证明两向量垂直,也可以由两向量垂
直进行有关计算.
3.可以用来直接计算两个非零向量,的夹角 ,也可利
用夹角的取值情况建立方程（组）或不等式（组）,来求参数的值或
取值范围.
4.对平面向量数量积的理解
（1）运算结果:两向量与 的数量积是一个实数,不是一个向量,其值
可以为正（当,, 时）,可以为负（当 ,
, 时）,还可以为0（当或或
时）.
（2）写法:两个向量,的数量积与代数中两个数,的乘积 是两
码事,但表面看来又有点相似.
（3）求两个向量的数量积,首先应确定两个向量的模及向量的夹角,
其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.
（4）类比实数运算:在实数中,若,且,则 ;但是在数量
积中,若,且,则不能推出,因为其中 有可能为0.
1.求向量数量积的步骤
进行向量数量积的运算,需分三步走:求模 求夹角 求数量积.
涉及图形的数量积的运算,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,
这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.
例1（1） 在等腰三角形中， ， ，则
( )
A.8 B. C.16 D.
[解析] 由题意可知 ，
则 .
故选A.
√
（2）已知在中，，，则 的形
状是____________， ____.
等边三角形
[解析] 由题意得 ，则
，所以，
又因为 ，所以 ，
又因为，所以 是等边三角形，
则 .
2.向量数量积的性质
（1）非零向量,共线的充要条件是 ，因此，当
时，与的夹角有 和 两种可能；
（2）对于非零向量,， ；
（3）两个向量的数量积 与它们的夹角 有关，
夹角 的取值范围是 ．
3.向量的投影向量
向量在向量上的投影向量与向量在向量 上的投影向量不相同，
尽管都是向量，但是向量在向量上的投影向量一定与向量 共线，
向量在向量上的投影向量一定与向量 共线.
（1）求在 上的投影向量；
例2 如图，在等腰三角形中， ，
，为 的中点.
解：如图，连接 .
为的中点，， .
设与同方向的单位向量为 ,
由题可知，且与的夹角为 ，
在 上的投影向量为
.
（2）求在 上的投影向量.
解：如图，延长至点，使 ，
过点作延长线的垂线，交 的延
长线于点 .
易知，，则在上的投影向量即为在 上的投
影向量.
，，在上的投影向量为 ，
即在上的投影向量为 .9.2.3　向量的数量积
第1课时　向量数量积的定义、投影向量
【学习目标】
　　1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.
　　2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义,体会平面向量数量积与投影向量的关系.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
◆ 知识点一　向量的数量积
1.定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹角是θ,我们把数量　　　　　　叫作向量a和b的数量积,记作　　　　,即　　　　　　　　　　　.我们规定:零向量与任一向量的数量积为　　　　.
2.两个非零向量a和b的夹角公式:两个非零向量a和b的夹角θ,可以由cos θ=
　　　　　　求得.特别注意向量夹角的取值范围是　　　　　.
【诊断分析】 1.向量的数量积的运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别
2.两个非零向量的数量积是否可为正数、负数和零,其数量积的符号是由什么来决定的
◆ 知识点二　数量积的性质
设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,则
(1)a⊥b 　　　　　　.
(2)当a与b同向时,a·b=　　　　;当a与b反向时,a·b=　　　　　.
特别地,a·a=a2=　　　　或|a|=　　　　,此性质可用来求向量的模,这两个等式实现了实数运算与向量运算的相互转化.　
(3)对任意两个向量a,b,|a·b|≤|a||b|,当且仅当　　　　　　时等号成立.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1) 已知|a|=2,|b|=4,且a∥b,则a·b=8. (　 )
(2)设向量a与b的夹角为θ,则a·b>0的充要条件是cos θ>0. (　 )
◆ 知识点三　投影向量
投影向量:如图所示,设a,b是两个非零向量,表示向量a,表示向量b, 过点A作所在直线的垂线,垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b　　　　, 向量称为向量a在向量b上的　　　　　　　.
对于向量a,b,向量a在向量b上的投影向量为　　　　　　　　.
向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的　　　　　与向量b的　　　　,即　　　　　　.
【诊断分析】 若|a|=4,|e|=1,a与e的夹角为30°,则a在e上的投影向量为 (　 )　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.2e B.e
C.2e D.4e
◆ 探究点一　向量数量积的运算
例1 已知|a|=4,|b|=5.
(1)若a∥b,求a·b的值;
(2)若a⊥b,求a·b的值;
(3)若a与b的夹角为30°,求a·b的值.
变式 在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=4,则·=　　　　,·=　　　　,·=　　　　.
[素养小结]
求平面向量数量积的一般步骤:(1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π];(2)分别求|a|和|b|;(3)代入公式a·b=|a||b|cos θ,求数量积要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,也不能省去.
◆ 探究点二　平面向量数量积的基本性质
例2 给出以下结论:①0·a=0;②若非零向量a,b共线,则a·b=|a||b|;③a2=|a|2;④已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|;⑤|a·b|≤a·b;⑥若非零向量a,b满足a·b>0,则a与b的夹角为锐角.其中正确结论的个数为 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
变式 已知a,b,c是三个非零向量,则下列说法中正确的个数为 (　 )
①若a·b=±|a|·|b|,则a∥b;
②若a,b反向共线,则a·b=-|a|·|b|;
③若a⊥b,则|a+b|=|a-b|;
④若|a|=|b|,则|a·c|=|b·c|.
A.1 B.2
C.3 D.4
[素养小结]
当非零向量a,b满足a·b>0,且a,b不共线时,a与b的夹角为锐角;当非零向量a,b满足a·b<0,且a,b不共线时,a与b的夹角为钝角.
◆ 探究点三　投影向量
例3 已知|a|=3,|b|=1,向量a与向量b的夹角为120°,求:
(1)向量a在向量b上的投影向量;
(2)向量b在向量a上的投影向量.
变式 (1)已知等边三角形ABC的边长为2,则向量在向量上的投影向量为 (　 )
A.- B.
C.2 D.2
(2)已知|b|=3,若a在b上的投影向量为b,则a·b= (　 )
A.3 B.
C.2 D.
(3)若|a|=2,|b|=4,向量a与向量b的夹角为120°,与b方向相同的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量为　　　　.
[素养小结]
对于非零向量a,b,向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ.

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