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9.3.2　向量坐标表示与运算
第1课时　向量的坐标表示与向量线性运算的坐标表示
1.B　[解析] ∵a=(-5,5),b=(0,-3),∴a+b=(-5,5)+(0,-3)=(-5,2).故选B.
2.D　[解析] 由平面向量的坐标表示可知,当点A是原点时,点B的坐标是(-2,4).故选D.
3.B　[解析] 设点C的坐标为(x,y),则点D的坐标为,所以=,又=(0,-4),且=2,所以2×=0,2×=-4,解得x=-4,y=-2,故点C的坐标为(-4,-2).
4.C　[解析] 设=(x,y),则x=2024cos=1012,y=2024sin=1012,故=(1012,1012).
5.A　[解析] 设O(0,0),∵=2-3,∴=+2-3=(-1,2)+2(3,1)-3(1,-4)=(2,16),则点D的坐标为(2,16).故选A.
6.A　[解析] ∵A(1,2),B(3,2),∴=(2,0),又∵=a,∴∴x=-1,故选A.
7.D　[解析] 设c=(x,y),因为a,b,c对应的有向线段首尾相接能构成三角形,所以a+b+c=0,所以(4-8+x,-12+18+y)=(0,0),解得x=4,y=-6,故c=(4,-6).
8.A　[解析] 由题意知,与a的方向相反,又||=|a|,∴+a=0.设B(x,y),则=(x+1,y-2),∴解得故点B的坐标为(-7,10).
9.ACD　[解析] 设点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),第四个顶点为D(x,y),若=,即(-1,-3)=(3-x,-y),则解得即D(4,3);若=,即(3,-3)=(x+1,y),则解得即D(2,-3);若=,即(3,-3)=(-x-1,-y),则解得即D(-4,3).故选ACD.
10.(5,4)　[解析] 设O为坐标原点,则=(-1,-5),=3a=(6,9),故=+=(5,4),故点B的坐标为(5,4).
11.-3　[解析] 由题意得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n)=(9,-8),故解得
所以m-n=-3.
12.　[解析] 连接AB,设射线OC与AB交于点D(x,y),∵||=1,||=5,∴=5,则(x+3,y-4)=5(-x,1-y),即解得∴=,又∵||=2,∴==.
13.解:a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3),a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-4,7),3a=3(-1,2)=(-3,6),2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(7,-11).
14.解:(1)因为A(-5,0),B(3,-3),所以=(8,-3),
又因为D为边AB的中点,所以==(8,-3)=.
(2)因为A(-5,0),C(0,2),所以=(-5,-2).
因为D为边AB的三等分点,所以当D为靠近A的三等分点时,==(8,-3)=,所以=+=(-5,-2)+=,
则||==.
当D为靠近B的三等分点时,==(8,-3)=,所以=+=(-5,-2)+=,则||==.
综上,线段CD的长为或.
(3)不妨设=λ=(8λ,-3λ),0≤λ≤1,则=+=(-5,-2)+(8λ,-3λ)=(8λ-5,-3λ-2),
所以||2=(8λ-5)2+(-3λ-2)2=73λ2-68λ+29,
由二次函数的性质可知,当且仅当λ=-=时,||2取得最小值,此时=λ=.
15.A　[解析] 设O为坐标原点,由已知得=(,2),==,又A(1,2),所以=+=(1,2)+=,所以点P的坐标为.故选A.
16.解:设点P的坐标为(x,y),则=(x-2,y-3),=(3,1),=(5,7).
∵=+λ,∴(x-2,y-3)=(3,1)+λ(5,7),
即∴P(5λ+5,7λ+4).
(1)当点P在第一、三象限的角平分线上时,5λ+5=7λ+4,解得λ=.
(2)当点P在第三象限时,由解得λ<-1.
(3)=(3,1),=(2-5λ,6-7λ).假设四边形ABCP为平行四边形,则=,于是该方程组无解,假设不成立,故四边形ABCP不能成为平行四边形.9.3.2　向量坐标表示与运算
第1课时　向量的坐标表示与向量线性运算的坐标表示
【学习目标】
　　1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
　　2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
◆ 知识点一　向量的坐标
1.平面向量的坐标表示
如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴正方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对有序实数(x,y),使得a=xi+yj.我们把有序实数对　　　　称为向量a的(直角)坐标,记作　　　　　　.
2.起点为坐标原点的向量坐标与其终点坐标的关系:若O是坐标原点,设=xi+yj,则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标;反过来,点A的坐标(x,y)就是向量的坐标.
3.特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知向量i=(1,0),j=(0,1),m=4i-j,则m的坐标是(4,-1). (　 )
(2)在平面直角坐标系中,任意向量m的坐标都是唯一的. (　 )
2.如图,向量i,j是两个互相垂直的单位向量,向量a与i的夹角是30°,且|a|=4,以i,j为基底,向量a可以表示为　　　　.
◆ 知识点二　向量线性运算的坐标表示
已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)和实数λ,则有下表:
符号表示 文字描述
加法 a+b=　　　 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的　　　
减法 a-b=　　　 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的　　　
数乘 λa=　　　 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
【诊断分析】 已知向量a=(1,-2),b=(-1,-3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为 (　 )
A.-2,1 B.1,-2
C.2,-1 D.-1,2
◆ 知识点三　平面向量的坐标表示
如图,若A(x1,y1),B(x2,y2),则=　　　　.这就是说,一个向量的坐标等于该向量　　　　的坐标　　　　　　的坐标.
【诊断分析】 已知平面向量=(1,2),=(3,4),则向量= (　 )
A.(-4,-6) B.(4,6)
C.(-2,-2) D.(2,2)
◆ 探究点一　平面向量的坐标表示
例1 (1)已知向量a的终点在射线y=x(x≥0)上,且起点为坐标原点O,若|a|=,则向量a的坐标为 (　 )
A.(1,1) B.(-1,-1)
C.(,) D.(-,-)
(2)如图所示,在平面直角坐标系中,i,j分别为与x轴、y轴正方向相同的单位向量,,a是平面内的向量,且点A的坐标为(x,y),则下列说法正确的是　　　　.(填序号)
①向量a可以表示为a=mi+nj(m∈R,n∈R);
②只有当a的起点在原点时,a=(x,y);
③若a=,则终点A的坐标就是向量a的坐标.
变式 已知O是坐标原点,点A在第一象限,直线OA与x轴的夹角为60°,||=4.
(1)求向量的坐标;
(2)若B(,-1),求的坐标.
[素养小结]
在表示点、向量的坐标时,可利用向量、点的坐标定义求坐标,也可利用向量相等、加减法运算等求坐标.
◆ 探究点二　向量的坐标运算
例2 已知a=(-1,2),b=(2,1),求:
(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b.
变式 (1)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(2,-1),则c= (　 )
A.-a+b B.a-b
C.-a-b D.a+b
(2)已知三点A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),则3+2=　　　　,-2=　　　　.
[素养小结]
向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算法则进行,解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
拓展 已知O(0,0),A(1,2),B(3,3),且=t+.试问:
(1)t为何值时,点P在x轴上 y轴上 第一象限
(2)四边形ABPO能否为平行四边形 若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.
◆ 探究点三　线段定比分点的坐标及应用
例3 已知两点P1(2,-1),P2(-1,3),点P在直线P1P2上,且满足||=||,求点P的坐标.
变式 △ABC的三个顶点为A(2,1),B(1,3),C(5,5).
(1)若四边形ABCD为平行四边形,求点D的坐标;
(2)若M在BC边上,且S△ABM=2S△ACM,求的坐标.
[素养小结]
解决定比分点或者线段相关比例问题的两种思路:
(1)利用向量共线定理列方程组求解;
(2)利用定比分点坐标公式求解.9.3.2　向量坐标表示与运算
第1课时　向量的坐标表示与向量线性运算的坐标表示
一、选择题
1.已知向量a=(-5,5),b=(0,-3),则a+b= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(-5,1) B.(-5,2)
C.(-8,5) D.(-5,-8)
2.已知=(-2,4),则下列说法正确的是 (　 )
A.点A的坐标是(-2,4)
B.点B的坐标是(-2,4)
C.当点B是原点时,点A的坐标是(-2,4)
D.当点A是原点时,点B的坐标是(-2,4)
3.在△ABC中,A(2,3),B(8,-4),D是BC的中点,点G(2,-1)在AD上,且=2,则点C的坐标是 (　 )
A.(-4,2) B.(-4,-2)
C.(4,-2) D.(4,2)
4.在平面直角坐标系xOy中,||=2024,点A位于第一象限,且与x轴正半轴的夹角为,则向量= (　 )
A.(1012,1012)
B.(1012,1012)
C.(1012,1012)
D.(1012,1012)
5.已知点A(-1,2),B(2,3),C(3,-1),且=2-3,则点D的坐标为 (　 )
A.(2,16) B.(-2,-16)
C.(4,16) D.(2,0)
6.已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与相等,若A(1,2),B(3,2),则x的值为 (　 )
A.-1 B.-1或4
C.4 D.1或4
7.设向量a=(4,-12),b=(-8,18),若表示向量a,b,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c= (　 )
A.(1,-1) B.(-1,1)
C.(-4,6) D.(4,-6)
8.已知向量与a=(6,-8)的夹角为π,且||=|a|,若点A的坐标为(-1,2),则点B的坐标为 (　 )
A.(-7,10) B.(7,10)
C.(5,-6) D.(-5,6)
9.(多选题)[2024·江苏南通高一期中] 已知一平行四边形的三个顶点的坐标分别为(0,3),(-1,0),(3,0),则第四个顶点的坐标可以是 (　 )
A.(-4,3) B.(-5,3)
C.(4,3) D.(2,-3)
二、填空题
10.已知点A(-1,-5)和向量a=(2,3),若=3a,则点B的坐标为　　　　.
11.已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为　　　　.
12.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上,且||=2,则的坐标为　　　　.
三、解答题
13.已知向量a=(-1,2),b=(3,-5),求a+b,a-b,3a,2a+3b的坐标.
14.在△ABC中,A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),D为边AB上一点.
(1)若D为边AB的中点,求的坐标;
(2)若D为边AB的三等分点,求线段CD的长;
(3)当CD取得最小值时,求的值.
15.已知对任意平面向量=(x,y),将绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量=(xcos θ-ysin θ,xsin θ+ycos θ),这个过程也叫作把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(1,2),点B(1+,4),把点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P,则点P的坐标为 (　 )
A. B.
C. D.
16.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10)及=+λ(λ∈R).
(1)当λ为何值时,点P在第一、三象限的角平分线上
(2)若点P在第三象限,求λ的取值范围.
(3)四边形ABCP能成为平行四边形吗 若能,求出相应的λ的值;若不能,请说明理由.(共36张PPT)
9.3 向量基本定理及坐标表示
9.3.2 向量坐标表示与运算
第1课时 向量的坐标表示与向量线性运算的坐标表示
探究点一 平面向量的坐标表示
探究点二 向量的坐标运算
探究点三 线段定比分点的坐标及应用
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 向量的坐标
1.平面向量的坐标表示如图，在平面直角
坐标系中，分别取与轴， 轴正方向相同
的两个单位向量, 作为基底，对于平面内
的向量 ，由平面向量基本定理可知，有
且只有一对有序实数 ，使得
.我们把有序实数对______称为向量 的（直角）坐标，记作
__________.
2.起点为坐标原点的向量坐标与其终点坐标的关系：若 是坐标原点，
设，则向量的坐标就是终点 的坐标；反过来，
点的坐标就是向量 的坐标.
3.特殊向量的坐标：,, .
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）已知向量,,,则的坐标是 .
( )
√
（2）在平面直角坐标系中,任意向量 的坐标都是唯一的.( )
√
2.如图,向量,是两个互相垂直的单位向量,向量
与的夹角是 ,且,以,为基底,向量 可以
表示为_____________.
知识点二 向量线性运算的坐标表示
已知向量,和实数 ，则有下表:
符号表示 文字描述
加法 两个向量和的坐标分别等于这两
个向量相应坐标的____
减法 两个向量差的坐标分别等于这两
个向量相应坐标的____
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这
个实数乘原来向量的相应坐标
和
差
【诊断分析】
已知向量,,,且,则 ,
的值分别为( )
A.,1 B.1, C.2, D. ,2
[解析] 由可得 ，
则解得
√
知识点三 平面向量的坐标表示
如图，若,,则
_________________.这就是说，一个向
量的坐标等于该向量______的坐标
___________的坐标.
终点
减去起点
【诊断分析】
已知平面向量，，则向量 ( )
A. B. C. D.
[解析] 向量 .故选C.
√
探究点一 平面向量的坐标表示
例1（1） 已知向量的终点在射线 上,且起点为坐标原
点,若,则向量 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知, ，即
.
√
（2）如图所示,在平面直角坐标系中,, 分别
为与轴、轴正方向相同的单位向量,,
是平面内的向量,且点的坐标为 ,则下列
说法正确的是______.（填序号）
①③
①向量 可以表示为 ;
②只有当的起点在原点时， ;
③若,则终点的坐标就是向量 的坐标.
[解析] 由平面向量的基本定理知,有且只有一对实数, ,使得
,所以①正确.
只有当时, ,所以②错误,③正确.故填①③.
变式 已知是坐标原点，点在第一象限，直线与 轴的夹角为
, .
（1）求向量 的坐标；
解：设，则， ，
，，
， .
（2）若，求 的坐标.
解： .
［素养小结］
在表示点、向量的坐标时，可利用向量、点的坐标定义求坐标，也
可利用向量相等、加减法运算等求坐标.
探究点二 向量的坐标运算
例2 已知, ,求:
（1） ;
解： .
（2） ;
解： .
（3） .
解： .
变式（1） 若向量,,,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 设,即 ,
则解得所以 .故选B.
√
（2）已知三点,,,则 ________,
__________.
[解析] ,,,, ,
,
,
.
［素养小结］
向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算法则进行,解
题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
拓展 已知,,,且 .试问:
（1）为何值时,点在轴上 轴上 第一象限
解：, 点 的坐标为 .
若点在轴上,则,得.
若点在轴上,则 ,得.
若点在第一象限,则解得,
故当 时 , 点 在第一象限.
（2）四边形能否为平行四边形 若能,求出相应的 值;若不能,请
说明理由.
解：由题得, .
若四边形为平行四边形,则,即解得 .
所以当时,四边形 为平行四边形.
探究点三 线段定比分点的坐标及应用
例3 已知两点，，点在直线 上，且满足
，求点 的坐标.
解：若点在线段上，则点分线段所成的比 ，
，，则点的坐标为.
若点 在线段的延长线上，则点分线段所成的比 ，
， ，则点的坐标为 .
故点的坐标为或 .
变式 的三个顶点为,, .
（1）若四边形为平行四边形,求点 的坐标;
解：设,因为四边形为平行四边形，所以 ，
则,即解得
所以点 的坐标为 .
（2）若在边上,且,求 的坐标.
解：设,因为,所以 ,
则，即 解得
则,
所以 .
［素养小结］
解决定比分点或者线段相关比例问题的两种思路:
（1）利用向量共线定理列方程组求解;
（2）利用定比分点坐标公式求解.
1.向量的正交分解的实质
向量的正交分解是平面向量分解中常见的一种情形,也是一种特殊情形.
2.点的坐标与向量的坐标的联系与区别
（1）区别：①表示形式不同,向量 中间用等号连接,而点
中间没有等号.
②意义不同,点的坐标表示点 在平面直角坐标系内的位置,向
量既表示向量的大小,又表示向量的方向.另外, 既可以
表示点,又可以表示向量,叙述时应指明是点还是向量.
（2）联系:向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅
当向量的起点是原点时,向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同.
3.平面向量的坐标运算
（1）在进行平面向量的坐标运算时,应先将平面向量用坐标表示出来,
再根据向量的坐标运算法则进行计算.
（2）已知向量的坐标进行向量的加、减法运算，则直接应用两个向
量和、差的运算法则进行.
（3）在求一个向量的坐标时,可以先求出这个向量的起点坐标和终点
坐标,再由终点坐标减去起点坐标得到向量的坐标.
（4）在求一个点的坐标时,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置
向量的坐标.
1.平面向量的坐标表示
（1）平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形
式，用两个单位向量，构成基底，若，则 ．
（2）由向量的坐标的定义知，两个向量相等的充要条件是它们的横、
纵坐标对应相等，即且，其中 ，
．
（3）向量 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位
置没有关系,只与其相对位置有关系.若是表示向量 的有向线段,
, 的坐标分别为,,则向量 的坐标为 .
例1 已知向量，点，则点 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 设点B的坐标为，则 ，
因为，所以解得
所以点B的坐标为 ，故选B.
√
2.平面向量的坐标运算
（1）向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差．
（2）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体
位置无关．
（3）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平
移前后，其坐标不变．
例2 已知向量，，，其中 ，
，则 的值为___.
8
[解析] 因为，所以 ，
所以,，故 ．
3.几个结论:
（1）线段中点坐标公式:设,,则线段 的中点坐标
是 .
（2）已知的三个顶点,,,则 的
重心坐标为 .
（3）定比分点坐标公式：若, ,且
,则 .
解：由题知，平分，
，， ，，，
则 , ，
由角平分线定理可知， .
设点的坐标为 ，则， ，
故点的坐标为 .
例3 已知的三个顶点分别为，， ，
的平分线交边于点，求点 的坐标.9.3.2　向量坐标表示与运算
第1课时　向量的坐标表示与向量线性运算的坐标表示
【课前预习】
知识点一
1.(x,y)　a=(x,y)
诊断分析
1.(1)√　(2)√　2.a=2i+2j
知识点二
(x1+x2,y1+y2)　和　(x1-x2,y1-y2)　差　(λx1,λy1)
诊断分析
B　[解析] 由c=λ1a+λ2b可得(3,4)=(λ1,-2λ1)+(-λ2,-3λ2),则解得
知识点三
(x2-x1,y2-y1)　终点　减去起点
诊断分析
C　[解析] 向量=-=(1,2)-(3,4)=(-2,-2).故选C.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)A　(2)①③　[解析] (1)由题意知,a=(cos 45°)i+(sin 45°)j=i+j,即a=(1,1).
(2)由平面向量的基本定理知,有且只有一对实数m,n,使得a=mi+nj,所以①正确.只有当a=时,a=(x,y),所以②错误,③正确.故填①③.
变式　解:(1)设A(x,y),则sin 60°=,cos 60°=,∴y=||·sin 60°=4×=6,x=||·cos 60°=4×=2,∴A(2,6),∴=(2,6).
(2)=-=(2,6)-(,-1)=(,7).
探究点二
例2　解:(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7).
(2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).
(3)a-b=(-1,2)-(2,1)=-=.
变式　(1)B　(2)(11,13)　(-7,-14)　[解析] (1)设c=xa+yb,即(2,-1)=x(1,1)+y(-1,1)=(x-y,x+y),则解得所以c=a-b.故选B.
(2)∵A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),∴=(1,5),=(4,-1),=(-5,-4),∴3+2=3(1,5)+2(4,-1)=(3+8,15-2)=(11,13),-2=(-5,-4)-2(1,5)=(-5-2,-4-10)=
(-7,-14).
拓展　解:(1)∵=t+=(3+t,3+2t),∴点P的坐标为(3+t,3+2t).
若点P在x轴上,则3+2t=0,得t=-.若点P在y轴上,则3+t=0,得t=-3.若点P在第一象限,则解得t>-,故当t>-时点P在第一象限.
(2)由题得=(1,2),=(-t,-2t).
若四边形ABPO为平行四边形,则=,即解得t=-1.所以当t=-1时,四边形ABPO为平行四边形.
探究点三
例3　解:若点P在线段P1P2上,则点P(x,y)分线段P1P2所成的比λ=,∴x==,y==,则点P的坐标为.若点P在线段P2P1的延长线上,则点P(x,y)分线段所成的比λ=-,
∴x==8,y==-9,
则点P的坐标为(8,-9).
故点P的坐标为或(8,-9).
变式　解:(1)设D(x,y),因为四边形ABCD为平行四边形,所以=,则(x-2,y-1)=(4,2),即解得所以点D的坐标为(6,3).
(2)设M(x0,y0),因为S△ABM=2S△ACM,所以=2,则(x0-1,y0-3)=2(5-x0,5-y0),即解得则M,所以==.

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