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6.2.3　向量的数乘运算
【课标要求】　1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义．
【导学】
学习目标一　向量的数乘运算
　师问：如图，已知非零向量a作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．它们的长度和方向分别是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？
生答：
例1 (多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是(　　)
A．当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反
B．当λ＝0时，λa与a是共线向量
C．|λa|＝λ|a|
D．当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同
总结：λ的正负决定向量λ≠的方向，的模．
跟踪训练1　设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|>|λ||a|
学习目标二　向量的线性运算
　师问：类比实数的乘法运算律，那么数乘向量有什么运算律呢？
生答：
例2 (1)化简：[(3a－2b)＋5a－(6a－9b)].
(2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.
总结：(1)向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项，合并同类项等变形手段．
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
跟踪训练2　(1)(2a＋8b)－(4a－2b)＝(　　)
A．－3a－6b B．6b－3a
C．2b－3a　 D．3a－2b
(2)已知向量x，y满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则x＝________，y＝________(用a，b表示)．
学习目标三　用已知向量表示其他向量
例3 如图所示，平行四边形AOBD中，设向量＝b，又，用a，b表示.
用已知向量表示其他向量的两种方法
跟踪训练3　梯形ABCD中，，设＝n，则＝(　　)
A．－＋2n B．－2n
C．m－2n D．－m＋2n
学习目标四　向量共线定理
　师问：(1)若向量a，b是共线向量且a≠0，是否存在一个实数λ，使得b＝λa
(2)若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且，那么x与y有什么关系？
生答：
例4 已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值.
【一题多变】　本例条件不变，将(2)改为：欲使ke1＋2e2和2e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
总结：(1)证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得(或等)即可．
(2)利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数对应相等求解．
跟踪训练4　(1)已知a，b为不共线的非零向量，＝3a－3b，则(　　)
A．A，B，C三点共线 　B．A，B，D三点共线
C．B，C，D三点共线 　D．A，C，D三点共线
(2)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)平行，则λ＝________．
【导练】
1．10(a＋b)－(a－b)＝(　　)
A．9a＋9b B．9a＋11b
C．11a＋9b D．11a＋11b
2．在 ABCD中，2a，＝3b，则＝(　　)
A．a＋b　　B．a－b C．2a＋3b　　D．2a－3b
3．如图所示，已知在△ABC中，D是△ABC的边AB的中点，则＝(　　)
A.
B．
C．
D．
4．设e1，e2是两个不共线向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则实数k＝________．
【导思】
已知在△ABC中，O为其内任一点，满足＝0，且＝＝，则△ABC为________三角形．
6．2.3　向量的数乘运算
导　学
学习目标一　生答：＝＝a＋a＋a＝3a.
＝＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.
显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍．
例1　解析：根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确；对于B，当λ＝0时，λa＝0，0与a是共线向量，故B正确；对于C，|λa|＝|λ||a|，故C错误；对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa与a同向，或者都与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
跟踪训练1　解析：对于A，只有λ<0时，a与λa的方向相反，所以A错误；对于B，因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，所以B正确；对于C，因为|－λa|＝|λ||a|，只有当|λ|≥1时，才有|－λa|≥|a|，所以C错误；对于D，因为|－λa|＝|λ||a|，所以D错误．故选B.
答案：B
学习目标二　生答：设λ，μ为任意实数，(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
例2　解析：(1)
＝(3a－2b＋5a－2a＋3b)
＝(6a＋b)＝3a＋b.
(2)把已知中的两个等式看成关于m，n的方程，联立得方程组解得
跟踪训练2　解析：(1)原式＝a＋4b－4a＋2b＝6b－3a.
(2)由已知得
①×3＋②×2得x＝3a＋2b，①×4＋②×3，得y＝4a＋3b.
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
答案：(1)B　(2)3a＋2b　4a＋3b
学习目标三
例3　解析：∵＝＝a－b，
∴＝＝＝＝b＋(a－b)＝a＋b；
又＝a＋b，∴＝＝＝＝a＋b；
∴＝＝a＋b－a－b＝a－b.
跟踪训练3　解析：＝＝2＝－＋2＝－m＋2n.故选A.
答案：A
学习目标四　生答：(1)存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
(2)x＋y＝1.(老师给出证明)
例4　解析：(1)证明：∵＝e1＋e2，
＝＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.
∴共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ke1＋e2和e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
即(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
∵e1与e2不共线，
∴解得k＝±1.
一题多变　解析：∵ke1＋2e2和2e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋2e2＝λ(2e1＋ke2)，
即(k－2λ)e1＝(λk－2)e2，
∵e1，e2不共线，∴解得k＝±2.
跟踪训练4　解析：(1)由于a，b为不共线的非零向量，向量，向量显然没有倍数关系，根据向量共线定理，它们不共线，A，C选项错误；＝＝a＋5b＝，于是A，B，D三点共线，B选项正确；又＝＝－a＋13b，显然和也没有倍数关系，D选项错误．故选B.
(2)∵a＋λb与－(b－2a)平行，则有－(b－2a)＝k(a＋λb)，ka＋λkb＝2a－b，∴可得λ＝－.
答案：(1)B　(2)－
导　练
1．解析：根据向量运算公式可知，10(a＋b)－(a－b)＝10a＋10b－a＋b＝9a＋11b.故选B.
答案：B
2．解析：＝＝2a＋3b.故选C.
答案：C
3．解析：因为D是AB中点，所以＝＝＝，故选C.
答案：C
4．解析：由题意知，ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋kλe2.
∵e1，e2不共线，
∴解得或
∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，∴λ＝－，k＝－4.
答案：－4
导　思
解析：
如图，设BC边的中点为M，则＝2，
∴2＝0，即＝－2，故A，O，M三点共线．
∵M为BC边的中点，
∴O在中线AM上．
同理可证，O为△ABC中线的交点．
又∵在△OBC中，||＝||，
∴OM⊥BC，即AM⊥BC，可得AB＝AC.
同理可得BA＝BC，所以AB＝BC＝AC.
故△ABC为等边三角形．
答案：等边

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