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6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
【课标要求】　1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义．
2．在平面内，选定一组向量基底，会用这组基底表示其他向量．　
【导学】
学习目标一　平面向量基本定理
　师问：(1)如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量．你能将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量吗？
(2)上述问题中的分解方法是否唯一？
生答：
例1 (1)已知e1，e2 是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是(　　)
A．a＝2e1+e2，b＝
B．a＝4e1－2e2，b＝e2－2e1
C．a＝3e1＋3e2，b＝e1+e2
D．a＝e1－2e2，b＝2e1＋4e2
(2)(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是(　　)
A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)
D．若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
总结：(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
跟踪训练1　已知{a，b}是平面内的一个基底，则可以与向量m＝a－b构成平面另一个基底的向量是(　　)
A．0 B．b－a
C．a＋b D．2a－2b
学习目标二　用基底表示向量
例2 如图所示，在平行四边形ABCD中，点M为AB中点，点N在BD上，且3BN＝BD，记
(1)以a，b为基底表示
(2)求证：M，N，C三点共线．
题后师说
用基底表示向量的两种基本方法
跟踪训练2　如图，已知△ABC中，D为BC的中点，EC，AD，BE交于点F，设
(1)用a，b表示向量＝________；
(2)用a，b表示向量＝________．
学习目标三　平面向量基本定理的应用
例3 如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E，求BE∶EC.
总结：解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知的向量表示未知的向量，或找到已知的向量与未知的向量的关系，用方程的观点求出未知量．
跟踪训练3　在△ABC中，D，E分别是线段BC，AC的中点，，P是直线AD与EF的交点，则
【导练】
1．在△ABC中，M是BC的中点．若＝(　　)
A．(a＋b) B．(a－b)
C．a＋b D．a＋b
2．若{a，b}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是(　　)
A．{a－b，b－a} B．{2a＋b，a＋b}
C．{2b－3a，6a－4b} D．{a＋b，a－b}
3．已知非零向量不共线，且＝x+，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
4．在平行四边形ABCD中，如图，E，F依次是对角线AC上的两个三等分点，设＝a，＝b，试用a与b表示和，则＝________，＝________．
【导思】
如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设＝x，＝y，则x＋4y的最小值为(　　)
6．3　平面向量基本定理及坐标表示
6．3.1　平面向量基本定理
导　学
学习目标一　生答：(1)
＝e1，＝λ1e1，＝e2，ON＝λ2e2，根据向量加法的平行四边形法则，＝a＝＝λ1e1＋λ2e2.
(2)唯一．
例1　解析：(1)A选项，因为a＝4b，所以a，b共线，a，b不能作为基底，A错误；B选项，因为a＝－2b，所以a，b共线，a，b不能作为基底，B错误；C选项，因为a＝3b，所以a，b共线，a，b不能作为基底，C错误；D选项，设a＝mb，则e1－2e2＝，则无解，故a，b不共线，则a＝e1－2e2，b＝2e1＋4e2可以作为基底，D正确．故选D.
(2)∵e1，e2是平面α内两个不共线的向量，∴e1，e2可以作为平面α的一个基底．对于A，由平面向量基本定理可知λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量，A正确；对于B，对于平面α内任意向量a，有且仅有一个实数对(λ，μ)，使得a＝λe1＋μe2，B错误；对于C，当λ1＝μ1＝λ2＝μ2＝0时，λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2均为零向量，满足两向量共线，此时使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)成立的λ有无数个，C错误；对于D，由λe1＋μe2＝0得λe1＝－μe2，又e1，e2不共线，∴λ＝－μ＝0，即λ＝μ＝0，D正确．故选AD.
答案：(1)D　(2)AD
跟踪训练1　解析：易得向量m＝a－b与向量0，b－a，2a－2b平行，不能构成空间的一个基底，由题意及向量加法的平行四边形法则与向量减法法则可知a－b与a＋b不共线，所以a＋b与m＝a－b可构成平面的一个基底．故选C.
答案：C
学习目标二　
例2　解析：(1)
＝＝a＋＝a＋)＝
a＋(b－a)＝a＋b.
(2)证明：
∵＝＝a＋b，＝a＋b，
∴＝3，
∴∥，且与有公共点M，
∴M，N，C三点共线．
跟踪训练2　解析：＝＝b－a；∵D为BC的中点，AE＝EC，可得＝＝a，＝b，又∵＝2，则＝2，∴＝2b－a.
答案：(1)b－a　(2)2b－a
学习目标三
例3　解析：设＝a，＝b，|a|＝1，则|b|＝2，
由题知a·b＝|a||b|cos ∠ABC＝1×2×＝1，
则＝a＋b.
设＝λ，
所以＝＝＋λ＝－a＋λb.
因为AE⊥BD，所以·＝0，
即(－a＋λb)·(a＋b)＝－|a|2－a·b＋λa·b＋λ|b|2＝0，
即－1－1＋λ＋4λ＝0，解得λ＝，
所以BE∶BC＝2∶5，即BE∶EC＝2∶3.
跟踪训练3　解析：因为＝2，所以＝，因为E是线段AC的中点，所以＝，因为E，P，F共线，所以＝λ＋(1－λ)＝λ(1－λ).因为D是线段BC的中点，所以＝.因为A，P，D共线，所以＝k＝kk，则解得k＝，故＝.
答案：
导　练
1．解析：在△ABC中，M是BC的中点，又＝a，＝b，所以＝＝＝a＋b.故选D.
答案：D
2．解析：A选项，b－a＝－(a－b)，所以a－b，b－a共线，不能作为基底；B选项，2a＋b＝2，所以2a＋b，a＋b共线，不能作为基底；C选项，6a－4b＝－2(2b－3a)，所以6a－4b，2b－3a共线，不能作为基底；D选项，易知a＋b，a－b不共线，可以作为基底．故选D.
答案：D
3．解析：由＝λ，得＝λ()，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y＝2.故选A.
答案：A
4．解析：＝＝－＝－b＋(a＋b)＝a－b；＝＝－＝－a＋(a＋b)＝－a＋b.
答案： a－b　－a＋b
导　思
解析：由点G是△ABC的重心，＝x＝y，故＝)＝＝.因为G，M，N三点共线，故＝1，则x＋4y＝(x＋4y)＝＋2＝3，当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立．故选C.
答案：C

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