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7.2.2　复数的乘、除运算
【课标要求】　1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2. 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3. 会利用复数代数形式的乘法和除法及运算律解决相关问题．
【导学】
学习目标一　复数的乘法运算
　师问：(1) 类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？
(2)类比实数的运算律，你认为复数满足哪些运算律？
生答：
例1 计算下列各题：
(1)；
(2)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2；
(3)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
总结：(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．
(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便．例如平方差公式、完全平方公式等．
　
跟踪训练1　(1)若＝(3＋i)(2－i)，则z＝(　　)
A．5＋i B．7＋i
C．5－i D．7－i
(2)设i为虚数单位，若复数(1－i)(1＋ai)是实数，则实数a＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
学习目标二　复数的除法运算
　师问：类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？
生答：
例2 计算：
(1)；
(2).
两个复数代数形式除法运算的一般步骤
跟踪训练2　(1)若复数z满足z(1＋i)＝4－3i，则z在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)(多选)已知复数z＝，则下列结论正确的是(　　)
A．z的虚部是1
B．在复平面内对应点落在第二象限
C．z(1－i)＝5－3i
D．z
学习目标三　复数范围内的解方程问题
　师问：对于实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)，在实数范围内，当Δ＝b2－4ac<0时，方程无解，那么在复数范围内还是无解吗？
生答：
例3 已知z＝2＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．
总结：与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解. 根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用．
跟踪训练3　已知1＋2i是关于x的实系数一元二次方程x2－2x＋m＝0的一个根，则m＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【导练】
1．(2－i)(1＋i)＝(　　)
A．3＋i B．1－2i
C．3－i D．3
2．若复数z＝，则＝(　　)
A．－i B．i
C．－i D．i
3．设z1＝3＋2i，z2＝1＋mi(其中i为虚数单位)，若z1z2为纯虚数，则实数m＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
4．在复平面内，复数对应的点位于第______象限．
【导思】
(多选)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则下列说法正确的是(　　)
A．若|z·(2＋i)|＝，则z·＝2
B．若|z|＝1，则的最大值为3
C．方程z2－5|z|＋6＝0在复数集中有6个解
D．若a＝0，b＝1，则z＋z2＋z3＋…＋z2 010＝1
7．2.2　复数的乘、除运算
导　学
学习目标一　生答：(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)①交换律：z1z2＝z2z1；②结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；③乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
例1　解析：(1)＝2－2＝－5.
(2)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2＝1－i2＋4＋i2＋4i＝5＋4i.
(3)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝9－12i＋33i－44i2＋2i＝53＋23i.
跟踪训练1　解析：(1)因为＝(3＋i)(2－i)＝7－i，所以z＝7＋i.故选B.
(2)(1－i)(1＋ai)＝1＋ai－i－ai2＝1＋a＋(a－1)i，它是实数，则a－1＝0，解得a＝1.故选C.
答案：(1)B　(2)C
学习目标二　生答：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子和分母都乘以(c－di)，化简后得结果，
即i(c＋di≠0)．
例2　解析：(1)＝－i.
(2)方法一　原式＝+＝i6＋＝－1＋i.
方法二　原式＝＝i6＋＝－1＋i.
跟踪训练2　解析：(1)因为z(1＋i)＝4－3i，所以z＝i，
所以复数z在复平面内所对应的点为，位于第四象限．故选D.
(2)由题意得z＝＝4＋i，对于A：z的虚部是1，故A正确；对于B：＝4－i，在复平面内对应点为(4，－1)落在第四象限，故B错误；对于C：z(1－i)＝(4＋i)(1－i)＝4－4i＋i＋1＝5－3i，故C正确；对于D：z＝(4＋i)(4－i)＝42－i2＝17，故D错误．故选AC.
答案：(1)D　(2)AC
学习目标三　生答：在复数范围内有解，解为
x1＝.
例3　解析：因为z＝2＋i是方程x2＋px＋q＝0的一个根，
所以(2＋i)2＋p(2＋i)＋q＝0，
即3＋q＋2p＋(p＋4)i＝0，
所以解得
所以方程为x2－4x＋5＝0，
因为x1＋x2＝4，
所以方程的另一个根是x＝2－i.
跟踪训练3　解析：因为1＋2i是关于x的实系数一元二次方程x2－2x＋m＝0的一个根，所以(1＋2i)2－2(1＋2i)＋m＝0，整理得m－5＝0即m＝5.故选D.
答案：D
导　练
1．解析：由题意可得(2－i)(1＋i)＝2＋i－i2＝3＋i.故选A.
答案：A
2．解析：由z＝i，得i.故选C.
答案：C
3．解析：z1z2＝(3＋2i)(1＋mi)＝3＋3mi＋2i－2m＝3－2m＋(3m＋2)i，因为z1z2为纯虚数，所以有 m＝.故选D.
答案：D
4．解析：因为i，
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
答案：四
导　思
解析：对于A，由z＝a＋bi(a，b∈R)，
可得z(2＋i)＝(a＋bi)(2＋i)＝2a＋2bi＋ai－b＝(2a－b)＋(2b＋a)i，
|z(2＋i)|＝，化简得a2＋b2＝2，
所以z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝2，故A正确；
对于B，由＝1＋＝3，故B正确；
对于C，由方程z2－5|z|＋6＝0，可得a2－b2＋2abi－6＝0，所以
当a＝0时，可得－b2－5＋6＝0，解得b＝±1，
当b＝0时，可得a2－5＋6＝0，解得a＝±2或a＝±3，
所以方程z2－5|z|＋6＝0有6个解，故C正确；
对于D，由a＝0，b＝1，可得z＝i，所以z＋z2＋z3＋…＋z2 010＝i＋i2＋i3＋…＋i2 010＝＝－1＋i，故D错误．故选ABC.
答案：ABC

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